高中数学1.2.3空间中的垂直关系优化训练新人教B版必修.docx

1.2.3 空间中的垂直关系5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.将直线与平面垂直的判定定理“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面”用集合符号语言表示为( )A.m,mn=B,ln,lml B.m,n,mn=B,lm,lnlC.m,n,mn=Bln,lm,l D.m,n,lm,lnl解析：将文字语言转化为集合符号语言时，比较好的方法是边读题，注意各个要求，边画图，同时用符号表示出来，它们同步进行，可以避免漏条件.另外由于这是一道选择题，也可以从选项入手排除错误选项，确定正确答案.答案：B2.关于直线m、n与平面、，有下列四个命题：m,n且，则mn；m,n且，则mn；m,n且，则mn；m,n且，则mn.其中真命题的序号是( )A. B. C. D.解析：若m,n且，则mn为假命题，可能出现直线相交的情况；若m,n且，则mn为假命题，可能出现直线相交的情况.在的条件下，m、n的位置关系不确定.答案：D3.PA正方形ABCD各边，连结PB、PC、PD、AC,则互相垂直的平面有_对.解析：由已知可得，PA、AB、AD、BC、CD均是某个平面的垂线，平面PAB平面ABCD，平面PAD平面ABCD，平面PAB平面PAD，平面PAB平面PBC，平面PAD平面PDC，平面PAC平面ABCD.答案：610分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面.下列叙述正确的是( )A.m,n,mn B.,m,nmnC.,m,nmn D.,=m,nmn 解析：此类题采用排除法解题，通过很好地找出反例，从而准确地判断出直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.答案：B2.设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A.若ab，a，则b B.若，a，则aC.若，a，则a D.若ab，a，b，则解析：对于A，直线b可能在平面内；对于B，直线a可能与平面斜交；对于C，直线a可能在平面内.因此，选D.答案：D3.如图1-2-3-1，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a,PB=PD=2a,则它的五个面中，互相垂直的面是_. 图1-2-3-1 图1-2-3-2解析：由勾股定理逆定理得PAAD,PAAB,PA面ABCD,PACD,PACB.由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论.答案：平面PAB平面PAD，平面PAB平面ABCD,平面PAB平面PBC,平面PAD平面ABCD，平面PAD平面PCD.4.如图1-2-3-2,已知a,a.求证：.解析：已知条件中已经有一条直线a与平面垂直，可以想到利用线面平行的性质定理，过a作辅助平面去截平面，从而在平面内找一条与直线a平行的直线.证明:过a作一平面，设=a，a，则aa.又a,则a,又a，由面面垂直的判定定理知.5.如图1-2-3-3,四棱锥PABCD的底面是矩形,侧面PAD是正三角形,且侧面PAD底面ABCD,E是侧棱PD的中点.图1-2-3-3(1)求证:PB平面EAC;(2)求证:AE平面PCD.解析：(1)要证线面平行,只需在面EAC中找一直线与PB平行即可.(2)只需在PCD中找两条相交直线与AE垂直即可.证明:(1)连结BD,BDAC=O,连结EO,则EO为PDB的中位线,则PBEO.所以PB平面EAC.(2)CD平面PADCDAE.AEPD,则AE平面PCD.6.如图1-2-3-4所示,已知ABCD是矩形,AB=a,AD=b,PA平面ABCD.PA=2c,Q是PA的中点.图1-2-3-4求:(1)点Q到BD的距离;(2)点P到平面BQD的矩离.解：(1)在矩形ABCD中,作AEBD,E为垂足,连结QE.QA平面ABCD,可证得QEBE,QE的长为点Q到BD的距离.在矩形ABCD中,AB=a,AD=b,AE=.在RtQAE中,QA=PA=c.QE=.Q到BD的距离为.(2)方法一:平面BQD经过线段PA的中点,点P到平面BQD的距离等于点A到平面BQD的距离.在AQE中,作AHQE,H为垂足.BDAE,BDQE,BD平面AQE.BDAH.AH平面BQE,即AH为点A到平面BQD的距离.在RtAQE中,AQ=c,AE=,AH=.点P到平面BDQ的距离为.方法二:本题也可用体积法求解.设点A到平面QBD的距离为h,由VABQD=VQABD,SBQDh=SABDAQ,h=.30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.给出以下四种说法：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.其中正确的个数是( )A.4 B.3 C.2 D.1解析：根据空间中线面平行、垂直的有关性质与判定易知错,正确，故选B.答案：B2.已知直线l和平面、,且l,l,给出以下3个论断:l;l;.从中任取两个作为条件,剩下的一个作为结论,那么( )A.一共可以写出6个命题,其中有2个命题正确B.一共可以写出3个命题,其中有2个命题正确C.一共可以写出6个命题,这6个命题都正确D.一共可以写出3个命题,这3个命题都正确解析：(1);(2);(3),其中(1)(3)为真命题.答案：B3.如果直线l、m与平面、满足：l=,l,m和m,那么必有( )A.且lm B.且mC.m且lm D.且解析：由已知有,又l=lm.故A对.答案：A4.若ABC所在平面外一点P，分别连结PA、PB、PC,则这四个三角形中直角三角形的个数最多为( )A.1 B.2 C.3 D.4解析：设ABC为Rt,过一锐角顶点A作PA平面ABC，则四个三角形都是直角三角形，应选D.答案：D5.已知m、n是不重合的直线，、是不重合的平面，给出下列四个命题：若m，m，则；若m，n，mn，则；若mn，m，则n；若m，m，则；其中正确命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析：都是教材上定理的变形，只有是错误的，因为两个不重合的平面内只有一条直线互相平行，是不能推出两平面平行的.答案：C6.已知平面外不共线的三点A、B、C到的距离都相等，则正确的结论是 ( )A.平面ABC必不垂直于 B.平面ABC必平行于C.平面ABC必与相交D.存在ABC的一条中位线平行于或在内解析：当三点A、B、C不在平面的同侧时，平面ABC与相交，相交时也可能垂直于,排除A、C.答案：D7.如图1-2-3-5,下列五个正方体图形中,l是正方体的一条体对角线,点M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出l面MNP的图形的序号是_.(写出所有符合要求的图形的序号)图1-2-3-5解析：正方体的体对角线与其不相交的面对角线垂直,可得中直线l平行于平面MNP中的两条相交直线，由能得出l平面MNP；但中平面MNP不与中的平面MNP平行，这样由不能得到l平面MNP；中易得lMP，而MN也与下底面对角线平行，所以同样可得l平面MNP；问题不易判断,这里略证一下:如图,E、F、G是正方体棱的中点,则过P、M、N的截面就是六边形PGMENF.lPF,lFN,l面PFN,即l面PGMENF,即l面PMN.答案：8.设x、y、z是空间的不同直线或不同平面,且直线不在平面内,下列条件中能保证“若xz,且yz,则xy”为真命题的是_.(填所有正确条件的代号)x为直线,y、z为平面 x、y、z为平面 x、y为直线,z为平面 x、y为平面,z为直线 x、y、z为直线解析：同垂直于一直线的两面平行,同垂直于一面的两线平行,同垂直于一面的线面也平行.(不包含的话)答案：9.在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1面ABC,且AB=BC,能否在侧棱BB1上找到一点E,恰使截面A1EC侧面AA1C1C?若能,指出E点的位置,并说明为什么;若不能,请说明理由.解：作EMA1C于M,截面A1EC面AA1C1C,EM面AA1C1C.取AC的中点N,AB=BC,BNAC.而面ABC面AA1C1C,BN面AA1C1C.BNEM.面BEMN面AA1C1C=MN.又BE面AA1C1C,BEMNA1A.AN=NC,A1M=MC.而BEMN为矩形,BE=MN=A1A,即E为BB1中点时,面A1EC面AA1C1C.10.如图1-2-3-6，OA、OB、OC分别是平面内过O点的三条射线,P是平面外一点,若POA=POB=POC,求证：PO.图1-2-3-6证明：若POA=POB=POC,作PH,HDOA于D,HEOB于E,连结PD、PE,则PDOA,PEOB.POA=POB,PO公共,RtPODRtPOE.PD=PE.HD=HE.点H在AOB的平分线上.同理,点H也在AOC的平分线上.点H是AOB的平分线与AOC的平分线的交点,即点O.PO平面,POOA.这与POA矛盾,假设不成立.POA=POB=POC=.PO.11.如图1-2-3-7，PA矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点.图1-2-3-7(1)求证：MN平面PAD；(2)求证：MNCD；(3)若PDA=45,求证：MN平面PCD.证明：(1)如图，取PD的中点E，连结AE、EN，则有ENCDABAM.故AMNE是平行四边形.MNAE.AE平面PAD，MN平面PAD,MN平面PAD.(2)PA平面ABCD，PAAB.又ADAB,AB平面PAD.ABAE,即ABMN.又CDAB,MNCD.(3)PA平面ABCD，PAAD.又PDA=45,E是PD的中点,AEPD，即MNPD.又MNCD,MN平面PCD.12.如图1-2-3-8,在三棱锥ABCA1B1C1中,AA1底面ABC,且ABC是等边三角形,在侧面三条对角线