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第五章平面向量 解斜三角形及其应用举例 第讲 5 第二课时 题型4判定三角形的形状 1 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 若 1 判断 abc的形状 2 若c 求k的值 解 1 因为又所以bccosa accosb 所以sinbcosa sinacosb 即sinacosb sinbcosa 0 所以sin a b 0 因为 a b 所以a b 所以 abc为等腰三角形 2 由 1 知a b 所以因为c 所以k 1 点评 本题应先将向量的关系式表示为三角形边角的关系式 在含边角关系式的恒等变形中 一是利用正弦定理将边的式子化为角的正弦式子 或利用余弦定理将余弦式化为边的式子 这是判断三角形形状问题中的两个基本转化方向 在 abc中 若b 60 且b2 ac 判断 abc的形状 解 因为b2 a2 c2 2accosb a2 c2 ac 又b2 ac 所以a2 c2 2ac 0 即 a c 2 0 即a c 又b 60 所以 abc是等边三角形 2 我炮兵阵地位于地面a处 两观察所分别位于地面点c和d处 已知cd 6000m acd 45 adc 75 目标出现于地面点b处时 测得 bcd 30 bdc 15 如图 求炮兵阵地到目标的距离 结果保留根号 题型5解斜三角形在实际问题中的应用 解 在 acd中 cad 180 acd adc 60 acd 45 根据正弦定理有同理 在 bcd中 cbd 180 bcd bdc 135 bcd 30 根据正弦定理有又在 abd中 adb adc bdc 90 根据勾股定理有所以炮兵阵地到目标的距离为m 点评 解决实际问题时 关键是把实际问题转化为我们熟悉的数学问题 即数学建模 若题目背景材料是有关距离和角度的问题 我们一般转化为解斜三角形问题 如图 海中小岛a周围40海里内有暗礁 一船正在向南航行 在b处测得小岛a在船的南偏东30 航行30海里后 在c处测得小岛在船的南偏东45 如果此船不改变航向 继续向南航行 问有无触礁的危险 解 在 abc中 bc 30 b 30 c 135 所以 a 15 由正弦定理知即所以于是 a到bc边所在直线的距离为 海里 由于它大于40海里 所以船继续向南航行没有触礁的危险 1 正 余弦定理是应用十分广泛的两个定理 它将三角形的边和角有机地联系起来 从而使三角形与几何产生联系 为求三角形的有关量 如面积 外接圆或内切圆的半径等提供了理论基础 也是判定三角形的形状 证明三角形中有关等式的重要依据 2 三角形中的恒等式或三角形的形状判断等问题 要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理 一般考虑两个方向进行变形
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