《高考风向标》高考数学一轮复习 第四章 第4讲 导数的实际应用精品课件 理.ppt

第4讲导数的实际应用 利用导数解决生活 生产优化问题 其解题思路是 垂直 则a d a 2 b 12 c 12 d 2 2 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比 已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元 而其他与速度无关的费用是每小时96元 为使行驶每公里的费用总和 最小 则此轮船的航行速度为 c a 10公里 小时c 20公里 小时 b 15公里 小时d 25公里 小时 0 得x 8 x 3 做一个容积为256升的底面为正方形的长方体无盖水箱 则它的高为 分米时 材料最省 d a 1 b 2 c 3 d 4 解析 设长方体无盖水箱的底面边长为x分米 高为h分 米 则x2h 256 全面积s x2 4xh x2 1024x s 2x 10242 h 4 由本题的实际意义可知当高为4分米时 材料最省 直 则a 2 4 设曲线y eax在点 0 1 处的切线与直线x 2y 1 0垂 5 设有一长为8cm 宽为5cm的矩形铁片 在每个角上剪去同样大小的正方形 则剪去的正方形的边长 时 才能 使剩下的铁片折起来做成无盖盒子的容积最大 1cm 考点1 函数模型中的最优化问题 例1 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距m米 余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩 经预测 一个桥墩的工程费用为256万元 距离为x米的相邻两墩之间桥墩都视为点 且不考虑其他因素 记余下工程的费用为y万元 1 试写出y关于x的函数关系式 2 当m 640米时 需新建多少个桥墩才能使y最小 当640 f x 在区间 64 640 内为增函数 所以f x 在x 64处取得最小值 故需新建9个桥墩才能使最小 而运用导数知识 求复合函数的最值 x3 互动探究 1 统计表明 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y 升 关于行驶速度x 千米 小时 的函数解析式可以表示为 y 1128000 380 x 8 0 x 120 已知甲 乙两地相距100千 米 1 当汽车以40千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 2 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 令h x 0 得x 80 当x 0 80 时 h x 0 h x 是减函数 当x 80 120 时 h x 0 h x 是增函数 当x 80时 h x 取到极小值h 80 11 25 因为h x 在 0 120 上只有一个极值 所以它是最小值 答 当汽车以80千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少为11 25升 考点2 几何模型的最优化问题 例2 如图4 4 1某地有三家工厂 分别位于矩形abcd的顶点a b及cd的中点p处 已知ab 20km cb 10km q为ab中点 为了处理三家工厂的污水 现要在矩形abcd的区域上 含边界 且a b与等距离的一点o处建造一个污水处理厂 并铺设排污管道ao bo op 设排污管道的总长为ykm 图4 4 1 1 按下列要求写出函数关系式 设 bao rad 将y表示成 的函数关系式 设op x km 将y表示成x的函数关系式 2 请你选用 1 中的一个函数关系式 确定污水处理厂的位置 使三条排污管道总长度最短 互动探究 2 用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架 要求长方体的长与宽之比为2 1 问该长方体的长 宽 高各为多少时 其体积最大 最大体积是多少 错源 复合函数计算错误 例3 在长为100千米的铁路线ab旁的c处有一个工厂 工厂与铁路的距离ca为20千米 由铁路上的b处向工厂提供原料 公路与铁路每吨千米的货物运价比为5 3 为节约运费 在铁路的d处修一货物转运站 设ad距离为x千米 沿cd直线修一条公路 如图4 4 2 1 将每吨货物运费y 元 表示成x的函数 2 当x为何值时运费最省 图4 4 2 误解分析 忽略模型是复合函数 导致计算错误 纠错反思 这是一道实际生活中的优化问题 建立的目标函数是一个复合函数 故在计算导数过程中要用复合函数的求导法则 例4 今有一块边长a的正三角形的厚纸 从这块厚纸的三个角 按如图4 4 3那样切下三个全等的四边形后 做成一个无盖的盒子 要使这个盒子容积最大 则x 图4 4 3 互动探究 3 水以20米3 分的速度流入一圆锥形容器 设容器深30米 上底直径12米 试求当水深10米时 水面上升的速度为 图4 4 4 a 导数的实际应用 1 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 优化问题可归结为函数的最值问题 从而可用导数来解决 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 即将优化问题归结为函数最值问题 求导数f x 解方程f x 0 比较函数在区间端点和使f x 0的点的函数值大小 最大者为最大值 最小者为最小值 检验作答 即获得优化问题的答案 2 利用导数解决生活中的优化问题的注意事项 在解决实际优化问题时 不仅要将问题中涉及的变量关 系用函数表示 而且应注意确定该函数的定义域 在实际优化问题中 会遇到函数在定义域内只有一个点使f x 0的情形 如果函数f x 在这点有极值 则该极值就是所求的最大 小 值 在求实际问题的最大 小 值时 一定要考虑实际问题的意 义 不符合实际意义的解应舍去 将一张2m 6m的硬钢板按图纸的要求进行操作