《高考风向标》高考数学一轮复习 第十章 第1讲 合情推理和演绎推理精品课件 理.ppt

第十章 推理与证明 1 合情推理与演绎推理 1 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 了解合情推理在数学发现中的作用 2 了解演绎推理的重要性 掌握演绎推理的基本模式 并能运用它们进行一些简单推理 3 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 2 直接证明与间接证明 1 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了 解分析法和综合法的思考过程 特点 2 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了解反证法 的思考过程 特点 利用归纳和类比的方法进行简单推理的选择题或填空题在 高考中有所体现 是容易题 推理是思维的基本形式之一 它由前提和结论两部分组成 论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程 推理既包括演绎推理 也包括合情推理 论证方法既包括 按形式划分的演绎法和归纳法 也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法 一般运用合情推理进行猜想 再运用演绎推理进行证明 中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得 的正确数学命题 论证某一数学命题真实性的初步的推理能力 第1讲 合情推理和演绎推理 1 合情推理 1 定义 根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比 然后提出猜想的推理叫合情推理 2 合情推理可分为 推理和 推理两类 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理 或者由个别事实概 归纳 类比 括出一般结论的推理 简言之 归纳推理是由 到 由 到 的推理 部分 整体 个别 一般 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推 理 简言之 类比推理是由 到 的推理 特殊 2 演绎推理从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理 简言之 演绎推理是由一般到特殊的推理 三段论 是演绎推理的一般模式 它包括 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情况 结论 根据一般原理 对特殊情况作出的判断 特殊 1 在平面直角坐标系中 直线一般方程为ax by c 0 圆心在 x0 y0 的圆的一般方程为 x x0 2 y y0 2 r2 则类似的 在空间直角坐标系中 直线的一般方程为 ax by cz d 球心在 x0 y0 z0 的球的一般方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 r2 2 在平面内 三角形的面积为s 周长为c 则它的内切 0 用类比推理的方法 可得三棱锥的内切球 球面与三棱锥的各个 面均相切 的半径r为 3vs 3 如图10 1 1 把1 3 6 10 15 21 这些数叫做三角形数 这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形 试求第七 个三角形数是 图10 1 1 28 4 类比是一个伟大的引路人 我们知道 等差数列和等比数列有许多相似的性质 请阅读下表并根据等差数列的结论 类似的得出等比数列的两个结论 bmqn m a4 考点1归纳推理 例1 在数列 an 中 a1 1 an 1 2an2 an n n 猜想这 个数列的通项公式是什么 这个猜想正确吗 说明理由 解析 在 an 中 a1 1 a2 2a122 a13 a3 2a22 a2 1224 2a32 a3 25 互动探究 1 对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式 22 1 3 32 1 3 5 42 1 3 5 7 23 3 5 33 7 9 11 43 13 15 17 19 根据上述分解规律 则52 1 3 5 7 9 若m3 m n 的分解中最小的数是73 则m的值为 9 解析 m3的分解中 最小的数依次为3 7 13 m2 m 1 由m2 m 1 73得m 9 oa ob oc 考点2 类比推理 例2 已知o是 abc内任意一点 连接ao bo co并 延长交对边于a b c 则 aa bb cc 1 这 是一道平面几何题 其证明常采用 面积法 oa aa ob bb oc cc s obc s s oca s oab s abc abcs abcs abcs abc 1 请运用类比思想 对于空间中的四面体v bcd 存在什么类似的结论 并用体积法证明 若不在同一平面内的射线op oq和or上分别存在点p1 p2 点q1 q2和点r1 r2 则类似的结论是什么 这个结论正确吗 说明理由 图10 1 4 这个结论是正确的 证明如下 图10 1 5 考点3 演绎推理 例3 已知集合m是满足下列性质的函数f x 的全体 存在非零常数t 对任意x r有f x t tf x 成立 1 函数f x x是否属于集合m 说明理由 2 设函数f x ax a 0 且a 1 的图像与y x的图像有公共点 证明f x ax m 3 若函数f x sinkx m 求实数k的取值范围 当t 1时 sin kx k sinkx成立 则k 2m m z 当t 1时 sin kx k sinkx成立 即sin kx k sinkx成立 则 k 2m m z 即k 2m 1 m z 实数k的取值范围是 k k m m z 1 对于 新定义题 题中会给出一个 新定义 解题的关键是理解和紧扣 定义 2 这类问题的两种常见问法 判断某一对象是否属于该定义的外延 运用 新定义 解决有关问题 相切 内切或外切 图10 1 6 图10 1 7 解析 这两个圆有两种情况 内切或外切 如图10 1 7 图10 1 8 错源 偏离问题的本质 abc中 若pa pb pc两两垂直 底面abc上的高为h 则得到的正确结论为 1111h2pa2pb2pc2 误解分析 本题主要错误是由平面几何相关知识类比到空间几何上时 不能抓住问题的本质 只是从形式上写出相关结论 正解 本题主要考查类比推理的相关知识 结合所给出的直角三角形中的结论 类比到空间中 易得 互动探究 4 2011年河南4月模拟 现有一个关于平面图形的命题 如图10 1 9 同一个平面内有两个边长都是a的正方形 其中一个的某顶点在另一个的中心 则这两个正方形重叠部分的个的某顶点在另一个的中心 则这两个正方体重叠部分的体积 恒为 a38 图10 1 9 例5 某少数民族的刺绣有着悠久的历史 如图10 1 10 1 2 3 4 为她们刺绣最简单的四个图案 这些图案都是由小正方形构成 小正方形数越多刺绣越漂亮 现按同样的规律刺绣 小正方形的摆放规律相同 设第n个图形包含f n 个小正方形 图10 1 10 1 求出f 5 的值 2 利用合情推理的 归纳推理思想 归纳出f n 1 与f n 之间的关系式 并根据你得到的关系式求出f n 的表达式 3 求 111f 1 f 2 1f 3 1 1f n 1 的值 解析 1 f 5 41 2 f 2 f 1 4 4 1 f 3 f 2 8 4 2 f 4 f 3 12 4 3 f 5 f 4 16 4 4 由上式规律 得出f n 1 f n 4n f n 1 f n 4n f n 1 f n 4n f n f n 1 4 n 1 f n 2 4 n 1 4 n 2 f n 3 4 n 1 4 n 2 4 n 3 f 1 4 n 1 4 n 2 4 n 3 4 2n2 2n 1 互动探究 5 已知抛物线y2 4x 点m 1 0 关于y轴的对称点为n 直线l过点m交抛物线于a b两点 1 证明 直线na nb的斜率互为相