第三课时　利用导数证明不等式专题.doc

第三课时利用导数证明不等式专题【选题明细表】知识点、方法题号构造法证明不等式1,2等价转化法证明不等式3,4,5,61.导学号 94626111设f(x)是R上的可导函数,且满足f(x)f(x),对任意的正实数a,下列不等式恒成立的是(B)(A)f(a)eaf(0)(C)f(a)f(0)ea解析:构造函数g(x)=f(x)ex,则g(x)=exf(x)-exf(x)e2x=f(x)-f(x)ex0,即g(x)=f(x)ex是增函数,而a0,所以g(a)g(0),即f(a)eaf(0).故选B.2.导学号 94626112已知函数f(x)=ln x-(x-1)22,g(x)=x-1,则当x1时,f(x)与g(x)的大小关系是f(x) g(x)(填“”“”或“不确定”).解析:令F(x)=f(x)-g(x)=ln x-(x-1)22-(x-1),x(1,+),则F(x)=1-x2x.当x(1,+)时,F(x)1时,F(x)1时,f(x)g(x).答案:0.当x(3,+)时,F(x)0.(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+),由f(x)=aex-bln x得f(x)=aex-bx,则f(1)=ae,f(1)=ae-b,由题意得ae=1e,ae-b=1e-1,故a=1e2,b=1.(2)证明:由(1)知f(x)=1e2ex-ln x,则f(x)=ex-2-1x,易知f(x)=ex-2-1x在(0,+)上单调递增,且f(1)0,所以f(x)=0在(0,+)上有唯一实根x0,且x0(1,2).当x(0,x0)时,f(x)0,从而当x=x0时f(x)取极小值,也是最小值,由f(x0)=0,得ex0-2=1x0,则x0-2=-ln x0.故f(x)f(x0)=ex0-2-ln x0=1x0+x0-221x0x0-2=0,所以f(x)0.5.导学号 94626115已知函数f(x)=1x+ln x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)证明:(1+1n)n+1e(e=2.718,nN*).(1)解:f(x)=1x+ln x,x(0,+),则f(x)=-1x2+1x=x-1x2,解f(x)0,得0x0,得x1.所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+).(2)证明:(1+1n)n+1e(n+1)ln(1+1n)1ln(1+1n)1n+1,令1+1n=x(11n+1,只需证ln x1-1x(11(1x2),由(1)知f(x)min=f(1),所以f(x)=1x+ln xf(1)=1,即ln x1-1x,因为11-1x,从而(1+1n)n+1e.6.导学号 94626116(2017河南省豫北重点中学高三4月联考)已知函数f(x)=ax-ln x-a(aR).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若a(0,+),x(1,+),证明:f(x)0),当a0时,x(0,+),f(x)0时,x(0,1a),f(x)0,函数f(x)单调递增,所以当a0时,函数f(x)在(0,+)上单调递减;当a0时,函数f(x)在（0,1a）上单调递减,在（1a,+）上单调递增.(2)证明:设g(x)=axln x-f(x)=axln x-ax+ln x+a,g(x)=aln x+1x,设(x)=aln x+1x,(x)=ax-1x2=ax-1x2.当a1时,ax-10,(x)0,所以(x)=aln x+1x在(1,+)上单调递增;所以(x)(1)=10,即g(x)0,g(x)在(1,+)上单调递增,所以g(x)g(1)=-a+a=0,不等式成立;当0a1时,x（1,1a）,(x)0,所以(x)在（1,1a）上单调递减,在（1a,+）上单调递增;所以(x)（1a）=a(1-ln a)0,即