2019届长沙市第一中学高三第五次月考数学（文）试题（解析版）

2019届湖南省长沙市第一中学高三第五次月考数学（文）试题一、单选题1已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）A4B8C9D16【答案】A【解析】先求出集合，根据可得集合的个数为集合的子集个数，计算可得结果.【详解】解：由已知，则集合中必有元素，满足条件的集合的个数为集合除去元素后的子集个数，即为集合的子集个数，为个，故选：A.【点睛】本题考查根据集合间的包含关系求集合的个数，是基础题.2下列函数中，值域为的是（ ）ABCD【答案】D【解析】求出每个函数的值域，然后判断即可.【详解】解：A. 的值域为，不符；B. 的值域为，不符；C. ，则值域为，不符；D. ，则值域为，符合，故选：D.【点睛】本题考查简单函数的值域的问题，是基础题.3已知过点和的直线与直线平行，则的值为（ ）ABC1D10【答案】B【解析】根据直线求出直线的斜率，再利用斜率公式列方程求解即可.【详解】直线的斜率等于，所以，所以，解得，故选:B.【点睛】本题考查直线的平行关系及斜率公式，是基础题.4传承传统文化再掀热潮，在刚刚过去的假期中，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的中国诗词大会火爆荧屏，如图的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的比赛得分，则下列说法正确的是（ ）A甲的平均数大于乙的平均数B甲的中位数大于乙的中位数C甲的方差大于乙的方差D甲的方差小于乙的方差【答案】C【解析】根据茎叶图中的数据分别求出甲、乙的平均数、方差、中位数，然后通过比较可得正确的结论【详解】由茎叶图中的数据可得：， ， ，又甲的中位数为26，乙的中位数为28甲的平均数小于乙的平均数，所以A不正确；甲的中位数小于乙的中位数，所以B不正确；甲的方差大于乙的方差，所以C正确，D不正确故选C【点睛】本题考查识图和计算能力，解题的关键是从茎叶图中得到两个选手的得分，然后分别计算出相应的数字特征，然后进行比较后得到答案，属于基础题5已知三棱锥中，两两垂直，且，则该三棱锥的表面积为（ ）ABC2D【答案】B【解析】先确定三棱锥四个面的形状，其中三个面为等腰直角三角形，一个面为等边三角形，分别求出它们的面积然后相加即可.【详解】该三棱锥的四个面中，三个面为等腰直角三角形，直角边长为1，故每个直角三角形的面积为，有一个面为等边三角形，边长为，故这个等边三角形的面积为，故表面积为.故选：B.【点睛】本题考查三棱锥的表面积计算，确定每个面的形状是关键，是基础题.6若角的终边过点(-1,2),则的值为AB-CD-【答案】B【解析】根据三角函数的定义求出后再根据倍角公式求出即可【详解】角的终边过点(-1,2)，故选B【点睛】本题考查三角函数的定义和倍角公式，考查对基本知识的理解和对基本公式的掌握情况，属于基础题7已知点，是抛物线上的动点，点在直线上的射影为，则的最小值是（ ）A6B5C4D3【答案】B【解析】根据抛物线定义，转化，由两点间线段最短，即可求解.【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，且，则的最小值为，故选：B.【点睛】本题考查抛物线定义，直观想象判断最近距离，属于中等题型.8某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）ABCD【答案】C【解析】由三视图可知，此几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据四棱锥的体积公式即可求出结果【详解】根据三视图可将其还原为如下直观图，=，答案选C【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸9若双曲线的两个焦点为为双曲线上一点，且，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】由双曲型定义得，再加上条件得，又，可得不等式，进而可求出的取值范围.【详解】设分别是左右焦点，则点为右支上一点，如图.依据双曲线定义知，则，则，所以，又，则.故选:B.【点睛】本题考查双曲线的定义以及离心率范围的求解，关注双曲线中的一些恒定的不等关系，在解决范围问题时可起到很大作用.10函数的零点个数是（ ）A1B2C3D4【答案】B【解析】分段函数分段研究，对每一段求导，并求出极值，并估算区间端点值，可得函数恒大于零，无零点，函数随着的变大，先正，再负，再正，有2个零点，可得结果.【详解】解：对于函数，有，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，此时函数无零点；对于函数，有，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，又，当时，当时，此时函数有两个零点，综合得：函数的零点个数是2，故选：B.【点睛】本题考查导数研究函数的零点个数问题，考查了学生计算能力和分析能力，是中档题.11已知（其中，的最小值为，将的图象向左平移个单位得，则的单调递减区间是（ ）ABCD【答案】A【解析】利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得f（x）的解析式，利用函数yAsin（x+）的图象变换规律求得G（x）的解析式，利用余弦函数的单调性求得则G（x） 的单调递减区间【详解】f（x）sin（x+），其中0，（0，），f（x1）f（x2）0，|x2x1|min，T，2，f（x）sin（2x+）又f（x）f（x），f（x）的图象的对称轴为x，2k，kZ，又，f（x）sin（2x）将f（x）的图象向左平移 个单位得G（x）sin（2x）cos2x 的图象，令2k2x2k+，求得kxk，则G（x）cos2x 的单调递减区间是k，k，故选A【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数yAsin（x+）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题12已知函数与的图象上存在关于对称的点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】设曲线与曲线关于对称，由题意可化为与的图象有交点，进一步转化为方程有大于1的解，从而可得，从而可解.【详解】设曲线与曲线关于对称，点在曲线上，则在曲线上，代入解得，即；函数与的图象上存在关于对称的点，等价于与的图象有交点，即方程有大于1的解，即有大于1的解，又为定义域上的单调递增函数，则，解得.故选：A.【点睛】本题考查了函数的变换及函数与方程的关系，考查学生转化能力和分析能力，属于中档题.二、填空题13已知向量，若，则_.【答案】【解析】求出，由，得，代入坐标解方程即可.【详解】，.，.故答案为：.【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算，是基础题.14如果实数满足,若直线将可行域分成面积相等的两部分，则实数的值为_.【答案】-3【解析】【详解】作出不等式组对应平面区如图(三角形ABC部分):直线y=k(x1)过定点C(1,0)，C点也在平面区域ABC内，要使直线y=k(x1)将可行域分成面积相等的两部分，则直线y=k(x1)必过线段AB的中点D.由,解得,即B(1,4)，由,解得,即A(1,2)，AB的中点D (0,3)，将D的坐标代入直线y=k(x1)得3=k，解得k=3，故答案为3点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15在中，角所对的边分别是，若，且，则的面积等于_【答案】【解析】先由正弦定理得a=b，然后由余弦定理求得a、b，在用面积公式求得的面积.【详解】 化解得： 即：A=B又 解得：a=b= 【点睛】本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式，解题中主要利用正、余弦定理对边角进行转化.16已知菱形的边长为，将沿对角线折起，使得面面，则三棱锥的外接球的表面积为_.【答案】【解析】由题意画出图形，结合已知求出三棱锥外接球的半径，则外接球的表面积可求.【详解】如图，由已知可得，ABD与BCD均为等边三角形，取BD中点G，连接AG，CG，则AGBD，二面角ABDC为直二面角，则AG平面BCD，分别取BCD与ABD的外心E，F，过E，F分别作两面的垂线，相交于O，则O为三棱锥ABCD的外接球的球心，由BCD与ABD均为边长为的等边三角形，可得OEOF，三棱锥ABCD的外接球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题.三、解答题17已知等差数列的公差为2，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和，求使成立的最大正整数的值.【答案】，；【解析】（1）利用得到，解出可得通项公式（2）利用裂项相消法求后解不等式可得最大正整数的值【详解】（1）由题意知，即，解得，故，（2）由，得， ，由，解得故所求的最大正整数为5【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.18根据下列条件求方程.（1）已知顶点的坐标为，求外接圆的方程；（2）若过点的直线被圆所截的弦长为，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】（1）设圆的方程为，代入，列方程组求解即可；（2）求出圆心和半径，根据弦长可得圆心到直线的距离，设直线的方程为，利用点到直线距离公式列方程求解即可，另外不要忘了验证斜率不存在的情况.【详解】（1）设圆的方程为，把的顶点坐标，代入可得，解得故所求的的外接圆的方程为（或者可写成.（2）由，圆心，半径为3.由弦长为，可得圆心到直线的距离.当直线的斜率不存在时，显然直线满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，又过，则直线的方程为，即，圆心到直线的距离，解得，直线的方程为.综上满足题意的直线为：或.【点睛】本题考查待定系数法求圆方程，考查直线与圆相交的弦长问题，注意验证直线斜率不存在的情况，是中档题19如图1，梯形中，为的中点，将沿翻折，构成一个四棱锥，如图2. （1）求证：异面直线与垂直；（2）求直线与平面所成角的大小；（3）若三棱锥的体积为，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）60（3）【解析】（1）取中点，连接，通过证明平面，可得；（2）由（1）可得为直线与平面所成角，求出即可；（3）证明平面，可得，可得，进而可得为等边三角形，则可得平面，求出即可.【详解】（1）在图1中，取中点，连接，由已知，得四边形为矩形，且，得，则为等边三角形，故， 故图2中，又与是相交直线，得平面，则.（2）由（1），得平面，则直线与平面所成角为，即直线与平面所成角为60.（3）在平面内做，交于，因为平面，所以平面平面，又平面与平面的交线为，所以平面.，.中，则，故为等边三角形.在内作，交于，因为平面，所以平面平面，又平面与平面的交线为，平面，点到平面的距离为.【点睛】本题考查线线垂直的证明，线面角的计算，关键是找到线面角，另外还有点面的距离，可利用等体积法研究，是中档题.20已知圆，圆内一点，动圆经过点且与圆内切.（1）求圆心的轨迹的方程.（2）过点且不与坐标轴垂直的直线交曲线于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）由圆与圆内切可得，由椭圆的定义可得轨迹的方程；（2）设直线的方程为，与的方程联立，消去得：，利用韦达定理，可求出线段的中点坐标，进而可求出垂直平分线的方程为，令，可得点横坐标为，进而可得取值范围.【详解】（1）圆与圆内切，圆的半径为4，得，而，圆心的轨迹是以为焦点的椭圆.圆心的轨迹的方程为.（2）设直线的斜率为，由直线不与坐标轴垂直，故，直线的方程为，将直线的方程与的方程联立得：消得：，由韦达定理得：，设线段的中点坐标为，则.则垂直平分线的方程为.令，点横坐标为：，因为，所以，故点被坐标的取值范围是：.【点睛】本题考查椭圆定义求轨迹方程，考查直线与椭圆的的位置关系，充分利用韦达定理来来解决重点问题是关键，考查了学生计算能力，是基础题.21已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）令，若时有最大值，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）求出，则可得切线的斜率，利用点斜式可得直线方程；（2）求出，通过求导可得的单调性，再对，讨论，研究的单调性，研究其最大值的存在性，可得实数的取值范围.【详解】（1），则，所以曲线在处的切线方程为：，整理得：.（2），所以.令，则，由得，则在单调递增，又，即在上有唯一零点.当时，由得，所以在区间单调递增；在区间单调递减；此时存在最大值，满足题意；当时，由有两个不同零点及，所以在区间单调递减；在区间单调递增；此时有极大值，由有最大值，可得：，解得，即；综上所述：当时，在有最大值.【点睛】本题考核利用导数的几何性质求切线方程，考查利用导数研究函数的最值，是中档题.22在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；（2）若是直线上一点，是曲线上一点，求的最大值.【答案】（1），（2）1【解析】（1）将直线的参数方程中的参数消去，即可得直线的直角坐标方程，再利用可得直线的极坐标方程，曲线的极坐标方程可变形为，代入可得普通方程；（2）将点，代入各自曲线的极坐标方程，可得，整理得，根据正弦函数的性质可得最值.【详解】（1）直线的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为，整理得，转换为极坐标方程为.曲线的极坐标方程为，整理得，转换为直角坐标方程，即；（2）由于是直线上一点，则，是曲线上