双图法让解题更直观自然

“双图法” 让解题更直观自然524500 广东省吴川市第一中学 柯厚宝 导数是研究函数的单调性、极值、最值问题的有力工具，也是高考的热点.解决该类问题的常用方法是先求函数的导数，通过解不等式与确定的单调区间，进而求极值、最值.而在实际操作中，常会在解不等式时遇到麻烦，特别是所求的不等式中涉及参数讨论时，则更难处理.本文运用一种直观的方法“双图法”，解决此类问题. 所谓的“双图法”，就是运用导数研究函数的单调性时，由于其单调性与导数的正、负密切相关，于是我们可以直接画出(或一个与的正、负相关的函数)的图象，根据其正、负再在下方描绘出的大致图象，然后直观地求得的单调区间、极值与最值的一种方法.1直观探讨函数的单调性 求函数的单调区间时，我们只需同时描绘出(或与正、负相关的函数)与的图象，即可直观地得到的单调区间.例1求下列函数的单调区间：(1)； (2)，(3)； (4).图113解析：(1)可得，与的图象如图所示1，当或时，单调递增；当时，单调递减；故的递增区间为；递减区间为.(2)，令，图2当时，在上是增函数，在上也是增函数，当时，令得，与的图象如图所示2，当或时，单调递增，当或时，单调递减，综上，当时，的递增区为，递减区为；当时，的递增区为，递减区为.(3)，由得，令，由得或，图3当，即时，的单调递增区间是.当，即时，与的图象如图3所示，当或时，单调递增，当时，单调递减，图4当，即时，与的图象如图4所示，当或时，单调递增，当时，单调递减，综上，当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是和，递减区间是；当时，的单调递增区间是和，递减区间是.(4)，令，当时，在上单调递增，当时，令，由得，由得，由得，(i)若时，仅当时取等号，而，有，在上单调递增，(ii)若时，在上单调递增，图5(iii)若时，由得，与的图象如图5所示，当时，在上单调递增，当时，令，由得，由得，由得，(i)若时，仅当时取等号，而，有，在上单调递减，(ii)若时，在上单调递减，(iii)若时，由得，图6且，有，与的图象如图6所示，当或时，在上单调递减，当时，在上单调递增，综上，当时，的递增区间为；当时，的递增区间为，递减区间为；当时，的递减区间为.评注：“双图法”可将抽象的问题直观化，有效回避繁杂的不等式求解，且大大降低出错的机会.2直观探求函数的极值 运用“双图法”求得的单调性后，再添加一条横坐标即可直观地研究函数的极值与零点问题.例2已知函数，点.若过点可作曲线的条切线，求的取值范围.解析：设过点的直线与曲线切于点，则直线的斜率，又，则，图7方程有个不相等的实根，令，有，令得或，与的图象如图7所示，当或时，为增函数；当时，为减函数，图8，(1)如图8，当或，图9即或时，仅有一个零点，方程只有1个实根，此时过点仅可作曲线的1条切线；(2)如图9，当或，即或时，有两个零点，方程有两个不等实根，图10此时过点仅可作曲线的2条切线；(3)如图10，当，即时，有三个零点，方程有三个不等实根，此时过点仅可作曲线的3条切线；综上，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是；当时，的取值范围是.评注：运用“双图法”描绘出函数的图象，其极值、零点即可一目了然.3直观研究函数的最值 运用“双图法”求得的单调性，可直观地求得其最大值、最小值.例3当时，求函数在上的最大值与最小值.解析：，,(1)当时，由得，在上单调递增，0图11，；(2)当时，令得，当时，为减函数，当时，为增函数，与的图象如图11所示，当，即时，在上单调递增，；当，即时，则，若，即，也即时，若，即，也即时，当，即时，在上单调递减，；综上，当时，