江苏省连云港市田家炳中学高三数学 62等差数列复习课件.ppt

第二节等差数列 基础梳理 1 等差数列的定义一般地 如果一个数列 那么这个数列就叫做等差数列 这个 叫做等差数列的 通常用 表示 它的前一项所得的差都等于同一个常数 从第二项起 每一项减去 常数 公差 d 2 等差数列的通项公式一般地 对于等差数列 an 的第n项an 有an 这就是等差数列 an 的通项公式 其中a1为 d为 a1 n 1 d 首项 公差 三个数a a b组成的数列是等差数列 3 等差中项如果 那么a 叫做a和b的等差中项 把a 4 等差数列的前n项和公式设等差数列 an 的公差为d 其前n项和sn 或sn 二次函数且常数项为0 an2 bn 3 当数列的公差d 0时 数列为递增数列 当d 0时 数列为常数列 当d 0时 数列为递减数列 4 下标成等差数列且公差为m的项ak ak m ak 2m 组成公差为md的等差数列 5 2an an k an k n k 1 6 数列a1 a2 a3 a2 a3 a4 a3 a4 a5 仍是等差数列 7 若数列 an 是公差为d的等差数列 则数列 an b b为常数 是公差为 d的等差数列 8 若数列 an bn 是公差分别为d1 d2的等差数列 则数列 1an 2bn 1 2为常数 是公差为 1d1 2d2的等差数列 9 在等差数列 an 中 前m项的和为sm 前2m项的和为s2m 前3m项的和为s3m 则sm s2m sm s3m s2m也成等差数列 即有2 s2m sm sm s3m s2m 基础达标 已知条件p 数列 an 的通项是关于x的不等式x2 x 2n 1 x n n 的解集中整数的个数 条件q 数列 an 是等差数列 则p是q的 条件 解析 不等式x2 x 2n 1 x 即x x 2n 0 解得0 x 2n 其中整数有2n 1个 an 2n 1 由通项公式可得an an 1 2 所以数列 an 是等差数列 但数列 an 是等差数列 不能得出an 2n 1 所以不能得出数列 an 的通项是关于x的不等式x2 x 2n 1 x n n 的解集中整数的个数 故p是q的充分不必要条件 2 2011 南京师大附中期中考试 等差数列 an 的前n项和为sn s2 1 3m且s3 3 4m m r 则a6 a6 a1 5d m 5 m 5 3 必修5p45习题5改编 若等差数列 an 的前3项和s3 9且a1 1 则a2 解析 s3 a1 a2 a3 3a2 9 a2 3 4 必修5p45习题10改编 若数列 an 的前n项和sn n2 10n n 1 2 3 则此数列的通项公式为 数列 nan 中数值最小的项是第 项 解析 当n 2时 an sn sn 1 2n 11 当n 1时 a1 s1 9适合上式 an 2n 11 nan 2n2 11n n n 当n 3时 nan最小 5 已知首项为正数的等差数列 an 满足 a2008 a2009 0 a2008 a2009 0 则使前n项和sn 0成立的最大自然数n是 解析 由题意知 等差数列 an 中 从第1项到第2008项是正数 从第2009项开始为负数 s4016 2008 a1 a4016 2008 a2008 a2009 0 s4017 4017a2009 0 故n的最大值为4016 经典例题 题型一等差数列的基本运算 例1 1 已知 an 是等差数列 且a3 a9 4a5 a2 8 则该数列的公差是 2 2011 南通调研 设等差数列 an 的前n项和为sn 且a5 a13 34 s3 9 求数列 an 的通项公式及前n项和公式 分析 1 把数列公差d设出来 依条件可得出关于a1与d的方程组 可求出d 2 根据等差数列的通项公式 求和公式列方程组求解 变式1 1 2009 全国 已知等差数列 an 中 a3a7 16 a4 a6 0 求 an 的前n项和sn 设数列 an 的公差为d 则即解得或当a1 8 d 2时 sn 8n 2 n n 9 当a1 8 d 2时 sn 8n 2 n 9 n 题型二等差数列的判定 分析 1 由已知条件联想an sn sn 1 n 2 然后再利用等差数列的定义证明为常数 2 由 1 知 n 1 d 2 n 1 2 2n sn 当n 2时 an 2sn sn 1 又 当n 1时 a1 an 变式2 1 an 0 2 an 1 4sn an 1 2 4sn 1 an 1 1 2 当n 2时 4an a2n 2an a2n 1 2an 1 即 an an 1 an an 1 2 0 而an 0 an an 1 2 n 2 数列 an 是等差数列 又 2 a1 1 a1 1 an 2n 1 题型三等差数列性质的应用 例3 1 2011 泉州一中模拟 若a b c d成等差数列 且 a d 是f x x2 2x的顶点 则b c 2 sn是等差数列 an 的前n项和 已知s6 2 s9 5 则s15 分析 1 等差数列中 若m n p q m n p q n 则am an ap aq 2 由等差数列 an 的前n项和sn的性质 sm s2m sm s3m s2m 也成等差数列可求出s15 解 1 f x x 1 2 1 顶点为 1 1 b c a d 1 1 0 2 s9 s6 a7 a8 a9 3a8 3 a8 1 知s15 15 15a8 15 变式3 1 已知sn是公差为d的等差数列 an 的前n项和 且s6 s7 s5 则下列四个命题 d 0 s11 0 s12 0 s13 0中 真命题的序号为 题型四数列中的最值问题 2 a1 数列 an 的通项公式为an a1 n 1 1 n bn 1 1 函数f x 1 在和上分别是单调减函数 b3 b2 b1 1 当n 4时 1 bn b4 数列 bn 中的最大项是b4 3 最小项是b3 1 变式4 1 2010 青岛二中模拟 等差数列 an 的前n项和为sn 若s5 35 点a 3 a3 与b 5 a5 都在斜率为 2的直线l上 则sn的最大值为 s6最大 s6 6a1 d 36 易错警示 例 等差数列 an 中 a1 5 从第10项开始为正数 则公差d的取值范围为 错解由a10 5 9d 0 得d 正解 由题意知a10 5 9d 0且a9 5