空间向量与立体几何复习.doc

空间向量与立体几何一、高考考试大纲中对“空间向量与立体几何”部分的要求：（1）空间向量及其运算了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.（2）空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.二、基础知识归纳：1.向量的数量积：已知非零向量，则叫做的数量积。2.两向量夹角的求法：，立体几何中有关夹角的问题，一般用此式解决。3. 4.已知两点A(x1,y1，z1),B(x2,y2,z2)，则向量,线段AB的中点M的坐标是，A,B两点间的距离是4.若，则.5.用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”：(1)化为向量问题:建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；(2)进行向量运算:通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角问题；(3)回到向量问题:把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。6.设A，B，平面的法向量是，直线AB与平面所成的角是，则7.设A，B，平面的法向量是，点A到平面的距离（一）、利用向量处理平行与垂直问题（特别是探索性问题）ABCA1B1C1Myz例1、 在直三棱柱中，, ,是得中点。求证：练习：棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D面PAC？ABCDEFxyzMN例2 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且,求证：平面练习1、在正方体中,E,F分别是BB1,CD中点，求证：D1F平面ADEA1xD1B1ADBCC1yzEFABCDEPxyzF2、如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中, ，点E在PD上,且PE:ED= 2: 1.在棱PC上是否存在一点F, 使BF平面AEC?证明你的结论.（二）、利用空间向量求空间的角的问题A1xD1B1ADBCC1yzE1F1HG例1 在正方体中,E1，F1分别在A1B1,C1D1上，且E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求BE1与DF1所成的角的大小。 A1xD1B1ADBCC1yzE1F例2 在正方体中, F分别是BC的中点，点E在D1C1上,且D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小A1xD1B1ADBCC1yzE例3 在正方体中,求二面角的大小。A1xD1B1ADBCC1yzEF例4 已知E,F分别是正方体的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小； （2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角的大小。（三）、利用空间向量求空间的距离的问题例1 直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=，底面ABC中，C=90，AC=BC=1，求点B1到平面A1BC的距离。例2如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。例3直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB，F为CE上的点，且BF平面ACE（）求证：AE平面BCE； （）求二面角B-AC-E的大小； （）求点D到平面ACE的距离。三、基础训练：1.如图5所示，、分别是O、O1的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是O1的直径，,.(I)求二面角的余弦值； (II)求直线与所成角的正弦值.图52.如图,=l , A, B,点A、B在直线l 上的射影分别为A1、B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求:() 直线AB分别与平面,所成角的余弦值; ()二面角A1ABB1的正切值. 四、巩固练习： 1.如图,在直四棱柱中,已知,， （）设是的中点，求证：平面；（）求二面角的余弦值BCDAE2.如图，已知长方体,直线与平面所成的角为,垂直于为的中点 （）求异面直线与所成的角的正弦值；（）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值； （）求点到平面的距离3. 如图,在中,斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角动点的斜边上 （I）求证：平面平面；（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；（III）求与平面所成角的最大值4.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（1）求证：AB1面A1BD； （2）求二面角AA1DB的大小；（3）求点C到平面A1BD的距离。空间向量与立体几何考点系统复习一、利用向量处理平行与垂直问题（特别是探索性问题）ABCA1B1C1Myz例1、 在直三棱柱中，, ,是得中点。求证：证明：如图，建立空间坐标系练习：棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D面PAC？解：以D为原点建立如图所示的坐标系，设存在点P（0，0，z），=(-a,0,z)，=(-a,a,0)，=(a,a,a)，B1D面PAC，a2+az=0z=a，即点P与D1重合点P与D1重合时，DB1面PAC例2 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且,求证：平面证明：建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF长分别为3a,3b,3cABCDEFxyzMN又平面CDE的一个法向量由得到因为MN不在平面CDE内所以NM/平面CDE练习1、在正方体中,E,F分别是BB1,CD中点，求证：D1F平面ADE证明：设正方体棱长为1，建立如图所示坐标系D-xyzA1xD1B1ADBCC1yzEF,因为所以 所以平面2、如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中, ，点E在PD上,且PE:ED= 2: 1.在棱PC上是否存在一点F, 使BF平面AEC?证明你的结论.解答：根据题设条件，结合图形容易得到：ABCDEPxyzF假设存在点F。又， 则必存在实数使得，把以上向量得坐标形式代入得 即有所以，在棱PC存在点F，即PC中点，能够使BF平面AEC。二、利用空间向量求空间的角的问题例1 在正方体中,E1，F1分别在A1B1,C1D1上，且E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求BE1与DF1所成的角的大小。A1xD1B1ADBCC1yzE1F1HG解：设正方体棱长为4，以为正交基底，建立如图所示空间坐标系,，15例2 在正方体中, F分别是BC的中点，点E在D1C1上,且D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小A1xD1B1ADBCC1yzE1F解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz为D1AC平面的法向量，所以直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值为A1xD1B1ADBCC1yzE例3 在正方体中,求二面角的大小。解： 求出平面与平面的法向量例4 已知E,F分别是正方体的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角的大小。解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyzA1xD1B1ADBCC1yzEF（1）A1D与EF所成角是（2）,（3）,，二面角的正弦值为三、利用空间向量求空间的距离的问题例1 直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=，底面ABC中，C=90，AC=BC=1，求点B1到平面A1BC的距离。解1：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A（1,0,0），B（0,1,0），C（0,0,0）A1（1,0,），B1（0,1,），C1（0,0,） =（1,1,）， =（1,0,） =（1,1,0）设平面A1BC的一个法向量为，则即所以，点B1到平面A1BC的距离例2如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。解：（I）略（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则异面直线AB与CD所成角的大小为（III）解：设平面ACD的法向量为则令得是平面ACD的一个法向量，又点E到平面ACD的距离例3如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB，F为CE上的点，且BF平面ACE（）求证：AE平面BCE；（）求二面角B-AC-E的大小；（）求点