高考数学 专题辅导与训练 2.1《数列的基本运算》课件 理 新人教版.ppt

热点考向1等差与等比数列的判断与证明 例1 12分 2011 湖北高考 成等差数列的三个正数的和等于15 并且这三个数分别加上2 5 13后成为等比数列 bn 中的b3 b4 b5 1 求数列 bn 的通项公式 2 数列 bn 的前n项和为sn 求证 数列 sn 是等比数列 解题指导 1 设等差数列的三个正数分别为a d a a d 由已知条件可构造含有a d的有关方程求解 2 由数列 bn 先求出sn 再利用定义证明数列 sn 是等比数列 规范解答 1 设等差数列的三个正数分别为a d a a d 依题意得a d a a d 15 解得a 5 所以 bn 中的b3 b4 b5依次为7 d 10 18 d 依题意有 7 d 18 d 100 解得d 2或d 13 舍 故 bn 的第3项为5 公比为2 由b3 b1 22 5 得b1 5分所以 bn 是以为首项 2为公比的等比数列 其通项公式为bn 2n 1 5 2n 3 7分 2 数列 bn 的前n项和为即sn 5 2n 2 10分所以 11分所以 sn 是以为首项 2为公比的等比数列 12分 判断或证明数列 an 是等差数列或等比数列的基本方法 在数列 an 中 a1 1 an 1 2an 2n 1 设bn 证明 数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 的前n项和sn 解析 1 an 1 2an 2n 1 即有bn 1 bn 1 又b1 1 所以 bn 是以1为首项 1为公差的等差数列 2 由 1 已知bn n 从而an n 2n 1 sn 1 20 2 21 3 22 n 1 2n 2 n 2n 1 2sn 1 21 2 22 3 23 n 1 2n 1 n 2n 得sn n 2n 1 20 21 22 2n 1 n 2n 2n 1 n 1 2n 1 热点考向2等差 比 数列的基本运算 例2 12分 2011 大纲版全国卷 设等比数列 an 的前n项和为sn 已知a2 6 6a1 a3 30 求an和sn 解题指导 解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a1和公比q的方程 求出a1和q 然后利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可 规范解答 设 an 的公比为q 由题设得 3分解得 6分当a1 3 q 2时 an 3 2n 1 sn 3 2n 1 9分 当a1 2 q 3时 an 2 3n 1 sn 3n 1 12分 互动探究 将问题中的条件 等比数列 改为 等差数列 如何 解析 设 an 的公差为d 由题设得解得 1 等差数列的性质 1 若m n p q 则am an ap aq m n p q n 2 若 an bn 都是等差数列 k m r 数列 kan mbn 仍为等差数列 3 sm s2m sm s3m s2m仍为等差数列 m n 4 am an m n d d m n n 且m n 5 项数为偶数2n的等差数列 an s2n n a1 a2n n an an 1 s偶 s奇 nd 项数为奇数2n 1的等差数列 an s2n 1 2n 1 an 2 等比数列的性质 1 若m n p q 则aman apaq m n p q n 2 在等比数列 an 中 每隔k项取出一项 按原来的顺序排列 所得新数列仍为等比数列 公比为qk 1 3 当数列 an 是各项都为正数的等比数列且公比为q时 数列 lgan 是公差为lgq的等差数列 4 当m n p m n p n 成等差数列时 am an ap成等比数列 1 若a 4 3a为等差数列的连续三项 则a0 a1 a2 a9的值为 a 2047 b 1062 c 1023 d 531 解析 选c 由条件知4a 8 a 2 a0 a1 a9 20 21 29 210 1 1023 2 已知等比数列 an 中 a3 前三项之和s3 则a1 解析 设等比数列 an 的公比为q 则消去a1得2q2 q 1 0 q 1或q 当q 1时 a1 当q 时 a1 6 答案 或6 热点考向3数列求和问题 例3 12分 2011 大纲版全国卷 设数列 an 满足a1 0 且 1 求 an 的通项公式 2 设bn 记sn 证明 sn 1 解题指导 解本题 1 问的关键是由式子得到 是等差数列 进而可求出数列 an 的通项公式 2 问化简求出bn 要观察到能采用裂项相消的方法求和 规范解答 1 由题意知 是公差为1的等差数列 2分 n 1 1 n 4分所以an n n 6分 2 bn 8分 12分 数列求和的常见方法 1 公式求和法 通过判断并证明一个数列是等差数列或等比数列后 直接利用等差 等比数列的求和公式求和 2 分组求和法 如果一个数列 cn 可以写成cn an bn的形式 而数列 an 和 bn 为等差数列或等比数列 可采用分组求和法 3 倒序相加法 sn表示从第1项依次加到第n项的和 也可表示为从第n项依次加到第1项的和 将两式相加 发现规律 由此得出sn 4 裂项相消法 将数列的通项分成两个式子的和 即an f n 1 f n 然后累加抵消掉中间的很多项 此种方法适用于形如 的数列 其中数列 an 是各项不为0的等差数列 常见的裂项技巧有 等 5 错位相减法 如果数列 an 是由一个等差数列 bn 和一个等比数列 cn 的对应项之积组成的数列 即an bn cn 则前n项和求解采用错位相减法 解题思路 分解通项 确定公比q 将式子的两端同时乘以公比q 再利用两式相减求出前n项和 在裂项相消法中 裂项 是手段 相消 是目的 裂项后在抵消时有的是依次抵消 有的是间隔抵消 特别是间隔抵消时要注意规律性 已知等差数列 an 的前3项和为6 前8项和为 4 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn 4 an qn 1 q 0 n n 求数列 bn 的前n项和sn 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 则解之得a1 3 d 1 an 3 n 1 4 n 2 由 1 可得 bn n qn 1 则sn 1 q0 2 q1 3 q2 n qn 1 若q 1 将上式两边同乘以q得qsn 1 q1 2 q2 3q3 n 1 qn 1 n qn 得 q 1 sn nqn 1 q q2 qn 1 若q 1 则sn 1 2 3 n 综上 sn 转化思想 解答数列的通项公式问题1 由递推公式求数列的通项公式常见模型对于具有递推关系的数列问题 常常需要通过转化为常见的等差 等比数列 再利用等差 等比数列的相关公式或性质进行解答 其主要方法有累加法 累乘法 取倒数法 待定系数法等 1 形如an 1 an f n 的递推式 一般采用累加法 2 形如 f n 的递推式 一般采用累乘法 3 形如an 1 的递推式 一般采用取倒数法 4 形如an 1 aan b的递推式 一般采用待定系数法 2 求解通项公式的主要方法 1 定义法 直接利用等差或等比数列的定义求其通项 这种方法适用于已知数列类型的题目 通过已知条件求出数列的首项和公差或公比 然后代入通项公式即可 2 公式法 给出数列的前n项和公式sn 可根据sn与an之间的关系 求数列的通项公式 3 构造法 若已知数列的递推公式求解其通项公式 可根据题目中给出的递推关系 通过一些代数的变形技巧整理变形 然后采用累加法 累乘法 换元法等将其转化为等差数列或等比数列进行求解 3 求解时注意的问题 1 利用公式法进行转化时 应注意成立的前提条件是n 2 所以要对n 1进行验证 若成立 则通项公式为an sn sn 1 若不成立 则通项公式为an 2 在求解过程中时刻关注等价转化 对于有些问题要进行必要的讨论和说明 如 等比数列中的公比q 典例 2011 石家庄模拟 已知数列 an 满足a1 0 a2 2 且对任意m n n 都有a2m 1 a2n 1 2am n 1 2 m n 2 1 设bn a2n 1 a2n 1 n n 证明 数列 bn 是等差数列 2 设cn an 1 an qn 1 q 0 n n 求数列 cn 的前n项和sn 解题指导 本题主要考查数列的递推公式 等差数列的概念及求和公式 等比数列的求和公式 错位相减法数列求和等知识的应用 考查化归 分类整合等数学思想 考查灵活运用已知公式以及推理的能力 1 要证数列 bn 为等差数列 由等差数列的定义 需证bn 1 bn为常数 即 a2 n 1 1 a2 n 1 1 a2n 1 a2n 1 a2n 3 2a2n 1 a2n 1为常数 与所给公式a2m 1 a2n 1 2am n 1 2 m n 2比较可知 令2m 1 2n 3 即m n 2 便可解决问题 2 需先确定数列 cn 的通项公式 即求an 1 an的表达式 由bn a2n 1 a2n 1 8n 2 观察公式a2m 1 a2n 1 2am n 1 2 m n 2 保留a2n 1 故需出现an 可令a2m 1 an或am n 1 an 当2m 1 n时 am n 1 不便于计算 当m n 1 n时 即m 1时 a2m 1 a1 又a1 0 此时由a2m 1 a2n 1 2am n 1 2 m n 2得a1 a2n 1 2an 2 1 n 2 可求出an n 1 2 从而解决问题 规范解答 1 因为n n 令n 2 m 由已知可得a2n 3 a2n 1 2a2n 1 8 即 a2n 3 a2n 1 a2n 1 a2n 1 8 也即 a2 n 1 1 a2 n 1 1 a2n 1 a2n 1 8 bn 1 bn 8 数列 bn 是公差为8的等差数列 2 依题意可知数列 bn 是首项为b1 a3 a1 6 公差为8的等差数