高考数学总复习 第六单元 第四节 基本不等式课件.ppt

第四节基本不等式 利用基本不等式求最值 1 求函数的值域 2 已知正数a b满足a b 1 求的最小值 分析 1 求和的最小值 积应为常数 且需正数条件 2 巧用 1 代换 凑常数或者代入消元 解 1 当x 1时 x 1 0 当且仅当 即x 2时 取等号 f x 1 当且仅当 即x 0时 取等号 当x 1时 x 1 0 综上所述 的值域为 1 3 2 把a b 1代入得 当且仅当b2 2a2 即时取等号 规律总结 1 应用基本不等式求最值 要把握三个方面 一正 二定 三相等 一正 指各项都是正数 二定 指和或积为定值 三相等 指等号能取得 这三个方面缺一不可 2 形如函数的分式函数求最值时 常将其转化为如下形式的函数 ax 0 然后再用基本不等式求其最值 转化后 如ax 0 可提取 1 变为同正 变式训练1若x 1 求函数的最大值 解 x0 当且仅当 即x 3时取等号 f x 4 5 1 f x max 1 变式训练2已知a b c都是实数 求证 a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ac 证明 a2 b2 2ab b2 c2 2bc a2 c2 2ac 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 3 a2 b2 c2 a b c 2 即a2 b2 c2 a b c 2 由a2 b2 c2 ab bc ac a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 3ab 3bc 3ac a b c 2 3 ab bc ac a b c 2 ab bc ac 综上所述 a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ac 命题得证 基本不等式的实际应用 12分 某住宅小区为了使居民有一个优雅 舒适的生活环境 计划建一个八边形的休闲小区 其主体造型的平面图是由两个相同的矩形abcd和efgh构成的面积为200m2的十字型区域 现计划在正方形mnpq上建一花坛 造价为4200元 m2 在四个相同的矩形上 图中阴影部分 铺花岗岩地砖 造价为210元 m2 再在四个空角上铺草坪 造价为80元 m2 1 设总造价为s元 ad的长为xm 试建立s关于x的函数关系式 2 计划至少要投多少元 才能建造这个休闲小区 分析这是一道建筑工程类问题 解决本题的突破点是将总费用分成三个部分 1 花坛mnpq的费用 2 阴影部分铺花岗岩地砖的费用 3 草坪费 解 1 设dq y 则x2 4xy 200 3分s 4200 x2 210 4xy 80 4 y27分 2 10分当且仅当4000 x2 即x 时取等号 答 计划至少要投入11 8万元才能建造这个休闲小区 12分 规律总结用基本不等式解决实际问题时 一般都是求某个量的最值 先把要求最值的量表示为某个变量的函数 再利用基本不等式求该函数的最值 求最值时 仍要满足前面所说的三个求最值的要求 有些实际问题中 要求最值的量需要用几个变量表示 同时 这几个变量满足某个关系式 这时 问题变成了一个条件最值 可用前面条件最值的方法来求最值 变式训练3 如图 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间 一面可利用原有的墙 其他各面用钢筋网围成 1 现有可围36m长钢筋网的材料 每间虎笼的长 宽各设计为多少时 可使每间虎笼面积最大 2 若使每间虎笼面积为24m2 则每间虎笼的长 宽各设计为多少时 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小 解析 1 设每间虎笼的长为xm 宽为ym 面积为s 则4x 6y 36 即2x 3y 18 当且仅当2x 3y 即x y 3时 取等号 答 每间虎笼长4 5m 宽3米时 面积最大 2 设每间虎笼长为xm 宽为ym 钢筋网总长m 则xy 24 当且仅当2x 3y 即x 6 y 4时 取等号 答 每间虎笼长6m 宽4m时 四间虎笼的钢筋网总长最小 3 利用最值定理求最大值或最小值时应注意 1 x y一定都是正数 2 求积xy最大值时 应看和x y是否为定值 求和x y最小值时 看积xy是否为定值 3 等号是否能够成立 以上三点可简记为 一正二定三相等 4 对于不满足基本不等式结构的函数 可以通过定向凑配 转化为和为定值或积为定值的结构 再使用最值定理 5 使用重要不等式求最值时 若等号不成立 应改用单调性法 如 可令 此时在 上是增函数 故t 即x 0时 6 应用基本不等式解决实际问题时 要注意把要求最值的变量设为函数 列出函数解析式 要注意所设变量的范围 若x 0 y 0 x y 1