高中数学 第八讲 函数的性质—奇偶性课件 新人教A版必修1.ppt

函数的基本性质 奇偶性 引例 1 已知函数f x x2 求f 2 f 2 f 1 f 1 及f x 并画出它的图象 解 f 2 2 2 4f 2 4f 2 f 2 f 1 1 2 1f 1 1f 1 f 1 f x x 2 x2f x f x 思考 1 这两个函数图象有什么共同特征吗 2 从解析式上如何体现上述特征 偶函数的特征 解析式的基本特征 f x f x 图像特征 关于y轴对称 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫做偶函数 1 偶函数的概念 2 已知f x x3 画出它的图象 并求出f 2 f 2 f 1 f 1 及f x 解 f 2 2 3 8 f 2 8f 2 f 2 f 1 1 3 1 f 1 1f 1 f 1 f x x 3 x3f x f x 思考 通过练习 你发现了什么规律 x y x y 奇函数的特征 解析式的基本特征 f x f x 图像特征 关于原点对称 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫做奇函数 2 奇函数的概念 如果一个函数f x 是奇函数或偶函数 那么我们就说函数f x 具有奇偶性 如果一个函数是奇函数 则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形 反之 如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形 则这个函数是奇函数 如果一个函数是偶函数 则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形 反之 如果一个函数的图象关于y轴对称 则这个函数是偶函数 3 奇函数与偶函数图象性质 奇函数 偶函数的图象性质 1 奇函数的图象关于原点成中心对称图形 2 偶函数的图象关于y轴成轴对称图形 奇偶函数图象的性质可用于 简化函数图象的画法 判断函数的奇偶性 4 判定函数的奇偶性的步骤 1 先求函数的定义域 若定义域不是关于原点对称的区间 则函数为非奇非偶函数 若定义域是关于原点对称的区间 进入第二步 2 计算f x 化向f x 的解析式 若等于f x 则函数是偶函数 若等于 f x 则函数是奇函数 若不等于 则函数是非奇非偶函数 3 结论 有时判定f x f x 比较困难 可考虑判定f x f x 0或判定f x f x 1 例1 判断下列函数的奇偶性 1 f x x3 2x 2 f x 2x4 3x2 解 f x x 3 2 x x3 2x x3 2x f x f x 为奇函数 f x 2 x 4 3 x 2 2x4 3x2 f x 为偶函数 函数定义域为r 解 函数定义域为r f x 例题分析 解 函数定义域为r f x 为奇函数 有既奇又偶的函数来吗 解 函数定义域为 0 定义域不关于原点对称 f x 为非奇非偶函数 6 f x x 1 解 函数f x 的定义域为r f x f x 0 又f x f x 0 f x 为既奇又偶函数 5 f x 0 x r 根据奇偶性 函数可划分为四类 奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数 解 函数定义域为r f x x 1 f x x 1 f x f x 且f x f x f x 为非奇非偶函数 例题2 判断下列函数的奇偶性 f x 为奇函数 解 定义域为 x x 0 即f x f x 3 f x 5 解 f x 的定义域为r f x f x 5 f x 为偶函数 4 f x x 1 x 1 f x 既是偶函数 又是奇函数 解 函数的定义域为 1 1 例3 若函数是偶函数 求m的值 注 1 奇 偶函数的定义域一定关于原点对称 例1 判断下列函数的奇偶性 定义域不对称的函数无奇偶性 既不是奇函数也不是偶函数 例2 判断下列函数的奇偶性 复习 判定函数的奇偶性的步骤 1 先求函数的定义域 若定义域不是关于原点对称的区间 则函数为非奇非偶函数 若定义域是关于原点对称的区间 进入第二步 2 计算f x 化向f x 的解析式 若等于f x 则函数是偶函数 若等于 f x 则函数是奇函数 若不等于 则函数是非奇非偶函数 3 结论 有时判定f x f x 比较困难 可考虑判定f x f x 0或判定f x f x 1 4 7 8 判断下列函数的是否具有奇偶性 1 f x x x3 奇 2 f x x2 3 h x x3 1 5 f x x 1 x 1 6 g x x x 1 练习 4 7 8 1 判断下列函数的是否具有奇偶性 1 f x x x3 奇 2 f x x2 3 h x x3 1 5 f x x 1 x 1 6 g x x x 1 练习 4 7 8 1 判断下列函数的是否具有奇偶性 1 f x x x3 奇 2 f x x2 偶 3 h x x3 1 5 f x x 1 x 1 6 g x x x 1 练习 4 7 8 1 判断下列函数的是否具有奇偶性 1 f x x x3 奇 2 f x x2 偶 3 h x x3 1 非奇非偶 5 f x x 1 x 1 6 g x x x 1 练习 4 7 8 1 判断下列函数的是否具有奇偶性 1 f x x x3 奇 2 f x x2 偶 3 h x x3 1 非奇非偶 非奇非偶 5 f x x 1 x 1 6 g x x x 1 练习 4 7 8 1 判断下列函数的是否具有奇偶性 1 f x x x3 奇 2 f x x2 偶 3 h x x3 1 非奇非偶 非奇非偶 5 f x x 1 x 1 6 g x x x 1 练习 偶 4 7 8 1 判断下列函数的是否具有奇偶性 1 f x x x3 奇 2 f x x2 偶 3 h x x3 1 非奇非偶 非奇非偶 5 f x x 1 x 1 6 g x x x 1 练习 非奇非偶 偶 4 7 8 1 判断下列函数的是否具有奇偶性 1 f x x x3 奇 2 f x x2 偶 3 h x x3 1 非奇非偶 非奇非偶 5 f x x 1 x 1 6 g x x x 1 练习 奇 非奇非偶 偶 4 7 8 偶 1 判断下列函数的是否具有奇偶性 1 f x x x3 奇 2 f x x2 偶 3 h x x3 1 非奇非偶 非奇非偶 5 f x x 1 x 1 6 g x x x 1 奇 练习 非奇非偶 偶 1 奇 偶函数定义的倒置也成立 即若f x 为奇函数 则f x f x 成立 若f x 为偶函数 则f x f x 成立 2 判断函数是否具有奇偶性 首先要看函数的定义域是否关于原点对称 即函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提 注意事项 注意事项 3 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数的整体性质 而函数的单调性是函数的局部性质 4 如果一个函数f x 是奇函数或偶函数 那么我们就说函数f x 具有奇偶性 已知函数y f x 在r上是奇函数 而且在 0 上是增函数 证明y f x 在 0 上也是增函数 想一想 已知函数y f x 在r上是奇函数 而且在 0 上是增函数 证明y f x 在 0 上也是增函数 证明 任取x1 x2 0 且x1 x2 f x 在 0 上是增函数 则 又f x 在r上是奇函数 即f x1 f x2 所以函数y f x 在 0 上是增函数 想一想 想一想 已知函数y f x 是偶函数 而且在 0 上是减函数 那么y f x 在 0 上是增函数还是减函数 解 设x1 x2 0 则 x1 x2 0 f x 在 0 上是减函数 f x1 f x2 f x 是偶函数 f x1 f x2 故f x 在 0 上是增函数 已知函数y f x 在r上是偶函数 而且在 0 上是减函数 那么y f x 在 0 上是增函数还是减函数 想一想 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性 总结 奇偶性与单调性的关系 函数奇偶性的简单应用 求值变式 如图 给出了奇函数y f x 的局部图象 求f 4 比较大小变式 如图 给出了偶函数y f x 的局部图象 试比较f 1 与f 3 的大小 例3作出函数y x2 2 x 3的图象 3 根据函数的奇偶性画出函数的图象 例3作出函数y x2 2 x 3的图象 3 1 1 点评 用对称法作图时 先作出x 0的图象 由函数是偶函数 再用对称法作出另一半的图象 3 根据函数的奇偶性画出函数的图象 例4如果奇函数f x 在区间 3 7 上为增函数 且最小值是5 则在区间 7 3 上有没有最大值 是多少 3 根据函数的奇偶性画出函数的图象 例4如果奇函数f x 在区间 3 7 上为增函数 且最小值是5 则在区间 7 3 上有没有最大值 是多少 解 如图所示 函数有最大值 函数f x 在区间 7 3 上为增函数 3 根据函数的奇偶性画出函数的图象 例5已知f x 是定义在 上的奇函数 当x 0时 f x x2 x 1 求函数f x 的表达式 4 根据函数的奇偶性求取函数的解析式 例5已知f x 是定义在 上的奇函数 当x 0时 f x x2 x 1 求函数f x 的表达式 引申 如果改为偶函数呢 例6 已知f x 是奇函数 当x 0时 f x x2 2x 求当x 0时 f x 的解析式 并画出此函数f x 的图象 4 根据函数的奇偶性求取函数的解析式 例6 已知f x 是奇函数 当x 0时 f x x2 2x 求当x 0时 f x 的解析式 并画出此函数f x 的图象 解 f x 是奇函数 f x f x 当x