解析几何——轨迹方程的高考题总结

1 解析几何中求轨迹方程轨迹方程的常见方法 一 直接法一 直接法 当所求动点的要满足的条件简单明确时 直接按 建系设点 列出条件 建系设点 列出条件 代入坐标 整理化简 限制说明代入坐标 整理化简 限制说明 五个基本步骤求轨迹方程 称之直接法 例例 1 1已知直角坐标平面上点Q 2 0 和圆C 1 22 yx 动点M到圆C的 切线长与MQ的比等于常数 0 如图 求动点M的轨迹方程 说 明它表示什么曲线 1 解 设M x y 直线MN切圆C于N 则有 MQ MN 即 MQ ONMO 22 22 22 2 1 yx yx 整理得0 41 4 1 1 222222 xyx 这就是动点 M的轨迹方程 若1 方程化为 4 5 x 它表示过点 0 4 5 和x轴垂直的一条直线 若 1 方程化为 22 2 22 2 2 1 31 1 2 yx 它表示以 0 1 2 2 2 为圆心 1 31 2 2 为半径的圆 二 定义法二 定义法 定义法是指先分析 说明动点的轨迹满足某种特殊曲线 如圆 椭圆 双 曲线 抛物线等 的定义或特征定义或特征 再求出该曲线的相关参量 从而得到轨迹方 程 例例 2 2 已知中 的对边分别为 若依次ABC A B C abcbca 构成等差数列 且 求顶点的轨迹方程 bca 2 ABC C B y x O A 2 2 解 如右图 以直线为轴 线段的中点为原点建立直角坐标系 由题意 ABxAB 构成等差数列 两定点的距离等于定长 椭圆 即bca bac 2 又 的轨迹为椭圆的左半部分 在此椭圆中 4 2 ABCBCACACB C 故的轨迹方程为 1 2 ca3 b C 2 0 1 34 22 xx yx 三 点差法三 点差法 将直线与圆锥曲线的交点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差两式作差 得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子中点和斜率有关的式子 可以大大减少运算量 我们称这种代点作差代点作差的方法为 点差法点差法 例例3 3 抛物线焦点弦的中点轨迹方程是 2 4yx 四 几何法四 几何法 几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质分析图形性质 发现动点的运动规律 和要满足的条件 从而得到动点的轨迹方程 例例 4 4 已知点 过 作两条互相垂直的直线和 求和 2 3 A 4 1 BAB 1 l 2 l 1 l 的交点的轨迹方程 2 lM 3 五 参数法五 参数法 参数法是指先引入一个中间变量 参数 引入一个中间变量 参数 使所求动点的横 纵坐标间yx 建立起联系 然后再从所求式子中消去参数消去参数 得到间的直接关系式 即得yx 到所求轨迹方程 例例 5 5 过抛物线 的顶点作两条互相垂直的弦 求pxy2 2 0 pOOAOB 弦的中点的轨迹方程 ABM 例例 6 6 设椭圆中心为原点O 一个焦点为F 0 1 长轴和短轴的长度之比为 t 1 求椭圆的方程 2 设经过原点且斜率为 t 的直线与椭圆在 y 轴右边部分的交点为 Q 点 P 在 该直线上 且1 2 tt OQ OP 当 t 变化时 求点 P 的轨迹方程 并说明轨迹是 什么图形 4 六 交轨法六 交轨法 求两曲线的交点轨迹两曲线的交点轨迹时 可由方程直接消去参数方程直接消去参数 或者先引入参数引入参数来建立 这些动曲线的联系 然后消去参数消去参数来得到轨迹方程 称之交轨法 例例 7 7 如右图 垂直于轴的直线交双曲线于 两点 x1 2 2 2 2 b y a x MN 为双曲线的左 右顶点 求直线与的交点的轨迹方程 并指 21 A AMA1NA2P 出轨迹的形状 例例 8 8 已知两点 2 0 2 2 QP 以及一条直线 y x 设长为2的线段AB在 直线 上移动 求直线PA和QB交点M的轨迹方程 xA1A2O y N M P 5 七 代入法七 代入法 当题目中有多个动点时 将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示 Pyx 再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中 整理即得到动点的轨迹方程 P 称之代入法 也称相关点法 转移法 例例 9 9 如图 从双曲线上一点引直线的垂线 垂足为1 22 yxCQ2 yxl 求线段的中点的轨迹方程 NQNP 例例 1010 已知抛物线1 2 xy 定点A 3 1 B为抛物线上任意一点 点P在 线段AB上 且有BP PA 1 2 当点B在抛物线上变动时 求点P的轨迹方程 并指出这个轨迹为哪种曲线 y Q Ox N P 6 3 3 解 解 设弦端点 中点为 则 1122 A x yB xyAB M x y 2 11 2 22 4 4 yx yx 因为所以 12 12 12 4 yy yy xx 12 12 12 2 1 yyy yyy xxx 2 2 1 yx 4 解 由平面几何知识可知 当为直角三角形时 点的轨迹是以ABM M 为直径的圆 此圆的圆心即为的中点 半径为 方ABAB 1 1 2 52 2 1 AB 程为 故的轨迹方程为 13 1 1 22 yxM13 1 1 22 yx 5 解 设 直线的斜率斜率为 则直线的斜率为 直线 yxMOA 0 kkOB k 1 OA 的方程为 由解得 即 同理可得kxy pxy kxy 2 2 k p y k p x 2 2 2 2 2 2 k p k p A 2 2 2 pkpkB 由中点坐标公式 得 消去 得 此即点的 pk k p y pk k p x 2 2 k 2 2 pxpy M 轨迹方程 6 6 解 解 1 设所求椭圆方程为 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 由题意得 1 22 t b a ba 解 得 1 1 1 2 2 2 2 2 t b t t a 所以椭圆方程为 222222 1 1 tytxtt 7 2 设点 11 yxQyxP解方程组 1 1 11 22 1 22 1 22 txy tytxtt 得 1 2 1 2 1 2 1 2 1 t t y t x 由1 2 tt OQ OP 和 1 x x OQ OP 得 2 2 2 2 22 t y t x t y t x 或 其中t 1 消去t 得点P轨迹方程为 2 2 2 2 2 xyx和 2 2 2 2 2 xyx 其轨迹为抛物线yx 2 2 2 在直线 2 2 x右侧的部分和 抛物线yx 2 2 2 在直线 2 2 x在侧的部分 7 解 设及 又 可得 yxP 1111 yxNyxM 0 0 21 aAaA 直线的方程为 MA1 1 1 ax ax y y 直线的方程为 NA2 1 1 ax ax y y 由 x 得 22 22 1 2 12 ax ax y y 又 代入 得 化简得 1 2 2 1 2 2 1 b y a x 2 1 2 2 2 2 1 xa a b y 22 2 2 2 ax a b y 此即点的轨迹方程 1 2 2 2 2 b y a x P 当时 点的轨迹是以原点为圆心 为半径的圆 ba Pa 当时 点的轨迹是椭圆 ba P 8 8 解解 PA和QB的交点M x y 随A B的移动而变化 故可设 1 1 ttBttA 则PA 2 2 2 2 2 tx t t yQB 8 1 1 1 2 tx t t y消去t 得 0 822 22 yxyx当t 2 或t 1 时 PA与QB的交点坐标也满足上式 所以点M的轨迹方程是 0 8222 22 yxxyx 9 解 设 则 因为在直线 上 11 yx QyxP 2 2 11 yyxxN Nl 又得即 222 11 yyxxlPN 1 1 1 xx yy 0 11 xyyx 联解 得 又点在双曲线上 2 23 2 23 1 1 xy y yx x QC 化简整理得 此1 2 23 2 23 22 xyyx 012222 22 yxyx 即动点的轨迹方程 P 1010