高中数学 1.2.1.3 排列的综合应用课件 新人教A版选修23 .ppt

第3课时排列的综合应用 题型示范 类型一有关数字的排列问题 典例1 1 用0 1 2 3 4五个数可以组成 个无重复数字的五位数 2 用0 1 2 3 4 5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字 六位奇数 个位数字不是5的六位数 不大于4310的四位偶数 解题探究 1 题 1 中对由0 1 2 3 4组成的五位数的要求是什么 2 题 2 中奇数与偶数的特点是什么 探究提示 1 万位数上的数字不能为0且不能重复 2 奇数与偶数是指个位数字为奇数和偶数 自主解答 1 先排万位 从1 2 3 4中任选一个有4种填法 其余四个位置的四个数共有种填法 故共有4 96个满足条件的五位数 答案 96 2 第一步 排个位 有种排法 第二步 排十万位 有种排法 第三步 排其他位 有种排法 故共有个六位奇数 方法一 直接法 十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同 因此需分两类 第一类 当个位排0时 有个 第二类 当个位不排0时 有个 故符合题意的六位数共有 504 个 方法二 排除法 0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数 这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况 故符合题意的六位数共有 504 个 分三种情况 具体如下 当千位上排1 3时 有个 当千位上排2时 有个 当千位上排4时 形如40 42 的各有个 形如41 的有个 形如43 的只有4310和4302这两个数 故共有 110 个 延伸探究 若题 2 的条件不变 试完成下列几个问题 能被5整除的五位数有多少个 能被3整除的五位数有多少个 若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列 an 则240135是第几项 解题指南 能被5整除的数字必须是个位为0或5 能被3整除的条件是各位上数字之和能被3整除 明确这一点是解决此题的关键 解析 个位上的数字必须是0或5 若个位上是0 则有个 若个位上是5 若不含0 则有个 若含0 但0不作首位 则0的位置有种排法 其余各位有种排法 故共有 216 个 能被5整除的五位数 能被3整除的条件是各位上数字之和能被3整除 则5个数可能有 1 2 3 4 5 和 0 1 2 4 5 两种情况 能够组成的五位数分别有个和个 故能被3整除的五位数有 216 个 由于是六位数 首位数字不能为0 首位数字为1有个数 首位数字为2 万位上为0 1 3中的一个有个数 所以240135的项数是 193 即240135是数列的第193项 方法技巧 数字排列问题的解题原则 常用方法及注意事项 1 解题原则 排列问题的本质是 元素 占 位子 问题 有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上 或某个位子不排某些元素 解决该类排列问题的方法主要是按 优先 原则 即优先排特殊元素或优先满足特殊位子 若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时 应分类讨论 2 常用方法 直接法 间接法 3 注意事项 解决数字问题时 应注意题干中的限制条件 恰当地进行分类和分步 尤其注意特殊元素 0 的处理 变式训练 2014 邢台高二检测 由0 2 5 6 7 8这六个数字组成没有重复数字的四位自然数 解答时给出简单的理由 1 共能得到多少个这样的四位数 2 设这样得到的四位奇数有a个 四位偶数有b个 求a b的值 3 将所得到的所有四位数从小到大排成数列an 求a128 解析 1 首位不能是0 有5种排法 其余各数位上可以随意排 所以共有 300个这样的四位数 2 奇数的个位数只能是5或7 首位不能是0 共有 96个 即a 96 偶数的个位可以是0 2 6 8之一 但0不能作首位 其中0在个位的有 60个 0不在个位的有 144个 共有204个 即b 204 所以a b 108 3 形如2 5 的数各有 60个 共120个 而形如602 和605 的数又各有 3个 共6个 接下来的是6072和6075 所以a128 6075 补偿训练 由数字1 2 3 4 5 6可以组成多少个没有重复数字的正整数 解析 由题意知可分成六类 第一类 组成的整数为一位数 有个 第二类 组成的整数为两位数 有个 第三类 组成的整数为三位数 有个 第四类 组成的整数为四位数 有个 第五类 组成的整数为五位数 有个 第六类 组成的整数为六位数 有个 所以 组成没有重复数字的正整数共有 1956 个 类型二有关排队 排节目的排列问题 典例2 1 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单 开演前又增加了两个新节目 如果将这两个新节目插入原节目单中 那么不同插法的种数为 a 42b 96c 48d 124 2 2014 北京高考 把5件不同产品摆成一排 若产品a与产品b相邻 且产品a与产品c不相邻 则不同的摆法有 种 解题探究 1 题 1 中插入的节目有几种情况 2 题 2 中的 相邻 与 不相邻 问题一般使用什么方法 探究提示 1 插入的两个节目分相邻和不相邻两种情况 2 相邻 问题用 捆绑法 不相邻 问题用 插空法 自主解答 1 选a 分两种情况 第一种 增加的两个新节目相连 第二种 增加的两个新节目不相连 不同插法的种数为 42 2 设其他不同的产品分别为d e 先把产品a与产品b捆绑有种 再与产品d e全排有种 最后把产品c插空有种 所以共有 36种不同摆法 答案 36 方法技巧 排队 排节目问题的解题策略 1 合理归类 要将题目大致归类 常见的类型有特殊元素 特殊位置 相邻问题 不相邻问题等 再针对每一类采用相应的方法解题 2 恰当结合 排列问题的解决离不开两个计数原理的应用 解题过程中要恰当结合两个计数原理 3 正难则反 这是一个基本的数学思想 巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果 变式训练 3名男生 4名女生 按照不同的要求排队 求不同的排队方案的方法种数 1 选其中5人排成一排 2 排成前后两排 前排3人 后排4人 3 全体站成一排 男 女各站在一起 4 全体站成一排 男生不能站在一起 5 全体站成一排 甲不站排头也不站排尾 解析 1 问题即为从7个元素中选出5个全排列 有 2520种排法 2 前排3人 后排4人 相当于排成一排 共有 5040种排法 3 相邻问题 捆绑法 男生必须站在一起 是男生的全排列 有种排法 女生必须站在一起 是女生的全排列 有种排法 全体男生 女生各视为一个元素 有种排法 由分步乘法计数原理知 共有 288种 4 不相邻问题 插空法 先安排女生共有种排法 男生在4个女生隔成的五个空中安排共有种排法 共有 1440种 5 先安排甲 从除去排头和排尾的5个位中安排甲 有种排法 再安排其他人 有 720种排法 所以共有 3600种排法 补偿训练 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单 1 任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种 2 歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种 解析 1 先排歌唱节目有种 歌唱节目之间以及两端共有6个空位 从中选4个放入舞蹈节目 共有种方法 所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有 43200种方法 2 先排舞蹈节目有种方法 在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位 恰好供5个歌唱节目放入 所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有 2880种方法 拓展类型 固定顺序的排列问题 备选例题 1 由1 2 3 4 5五个数字组成各位数字不同的五位数 使2必须在4的右边 可以不相邻 有 种排法 2 7名师生站成一排照相留念 其中老师1人 男学生4人 女学生2人 若4名男生身高都不等 按从高到低的顺序站 不同的站法有 种 3 7人站成一排 甲 乙 丙排序一定时 有多少种排法 甲在乙的左边 不一定相邻 有多少种不同的排法 解析 1 由分步乘法计数原理 五个数字的全排列有种方法 2必须在4的右边 故共有 60 种 答案 60 2 7人全排列中 4名男生不考虑身高顺序的站法有种 而由高到低有从左到右或从右到左的不同 所以共有不同站法2 420种 答案 420 3 方法一 7人的所有排列方法有种 其中甲 乙 丙的排序有种 又对应甲 乙 丙只有一种排序 所以甲 乙 丙排序一定的排法共有 840种 方法二 插空法 7人站定7个位置 只要把其余4人排好 剩下的3个空位 甲 乙 丙就按他们的顺序去站 只有一种站法 故 7 6 5 4 840种 甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等 而7人排列数恰好是这二者之和 因此满足条件的有 2520种 方法技巧 固定顺序的排列问题的求解方法这类问题的解法是采用分类法 n个不同元素的全排列有种排法 m个元素的全排列有种排法 因此种排法中 关于m个元素的不同分法有类 而且每一分类的排法数是一样的 当这m个元素顺序确定时 共有种排法 规范解答 排列的综合应用 典例 12分 4名运动员参加4 100接力赛 根据平时队员训练的成绩 甲不能跑第一棒 乙不能跑第四棒 则有多少种不同的出场顺序 审题 抓信息 找思路 解题 明步骤 得高分 点题 警误区 促提升失分点1 若没有考虑到甲不能跑第一棒 乙不能跑第四棒这个约束条件 则本例最多得4分 失分点2 若在 处忽视了甲在第一棒 乙同时跑第四棒的情况 即两次都减去了甲在第一棒且乙在第四棒的情况 则本例至少会扣掉4分 悟题 提措施 导方向1 注重分类讨论的意识在解有限制条件的排列问题时 要注意对特殊元素或特殊位置进行讨论 在讨论时要做到不重不漏 如本例中 易出现多减去甲在第一棒 乙同时跑第四棒的情况 2 注重解题方法的选择解决此类问题使用典型的通解 即间接法 不易出现重复或遗漏 使用特殊位置或特殊元素法时 易重复计数且易将题目的解答弄混 类题试解 星期一共排六节不同的课 1