2020年中考数学二轮复习 压轴专题 四边形（含解析）

四边形1【习题再现】课本中有这样一道题目：如图1，在四边形abcd中，e，f，m分别是ab，cd，bd的中点，adbc求证：efmfem（不用证明）【习题变式】（1）如图2，在“习题再现”的条件下，延长ad，bc，ef，ad与ef交于点n，bc与ef交于点p求证：anebpe（2）如图3，在abc中，acab，点d在ac上，abcd，e，f分别是bc，ad的中点，连接ef并延长，交ba的延长线于点g，连接gd，efc60求证：agd90【习题变式】解：（1）f，m分别是cd，bd的中点，mfbp，mfebpee，m分别是ab，bd的中点，mean，mefaneadbc，memf，efmfem，anebpe（2）连接bd，取bd的中点h，连接eh，fhh，f分别是bd和ad的中点，hfbg，hfefgah，e分别是bd，bc的中点，heac，hefefc60abcd，hehf，hfeefc60，agf60，afgefc60，afg为等边三角形afgf，affd，gffd，fgdfdg30，agd60+30902（1）问题：如图1，在rtabc中，bac90，abac，d为bc边上一点（不与点b，c重合），连接ad，过点a作aead，并满足aead，连接ce则线段bd和线段ce的数量关系是bdce，位置关系是bdce（2）探索：如图2，当d点为bc边上一点（不与点b，c重合），rtabc与rtade均为等腰直角三角形，bacdae90，abac，adae试探索线段bd2、cd2、de2之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）拓展：如图3，在四边形abcd中，abcacbadc45，若bd3，cd1，请直接写出线段ad的长解：（1）问题：在rtabc中，abac，bacb45，bacdae90，bacdacdaedac，即badcae，在bad和cae中，badcae（sas），故答案为：bdce，bdce；（2）探索：结论：de2bd2+cd2，理由是：如图2中，连接ecbacdae90，badcae，在abd和ace中，badcae（sas），bdce，bace45，bceacb+ace45+4590，de2ce2+cd2，de2bd2+cd2；（3）拓展：如图3，将ad绕点a逆时针旋转90至ag，连接cg、dg，则dag是等腰直角三角形，adg45，adc45，gdc90，同理得：badcag，cgbd3，rtcgd中，cd1，dg2，dag是等腰直角三角形，adag23如图1，正方形abcd的边cd在正方形ecgf的边ce上，连接be、dg（1）be和dg的数量关系是bedg，be和dg的位置关系是bedg；（2）把正方形ecgf绕点c旋转，如图2，（1）中的结论是否还成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）设正方形abcd的边长为4，正方形ecgf的边长为3，正方形ecgf绕点c旋转过程中，若a、c、e三点共线，直接写出dg的长解：（1）bedgbedg；理由如下：四边形abcd和四边形cefg为正方形，cdbc，cecg，bcedcg90，在bec和dgc中，becdgc（sas），bedg；如图1，延长gd交be于点h，becdgc，dgcbec，dgc+ebcbec+ebc90，bhg90，即bedg；故答案为：bedg，bedg（2）成立，理由如下：如图2所示：同（1）得：dcgbce（sas），bedg，cdgcbe，dmebmc，cbe+bmc90，cdg+dme90，dob90，bedg；（3）由（2）得：dgeb，分两种情况：如图3所示：正方形abcd的边长为4，正方形ecgf的边长为3，acbd，bdacab4，oaocobac2，ce3，aeacce，oeoaae，在rtboe中，由勾股定理得：dgbe；如图4所示：oece+oc2+35，在rtboe中，由勾股定理得：dgbe；综上所述，若a、c、e三点共线，dg的长为或4如图，在abc中，b90，ab6cm，bc8cm，动点d从点c出发，沿ca方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，动点e从点a出发，沿ab方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动设点d，e运动的时间是t（s）（0t5）过点d作dfbc于点f，连接de，ef（1）t为何值时，deac？（2）设四边形aefc的面积为s，试求出s与t之间的关系式；（3）是否存在某一时刻t，使得s四边形aefc：sabc17：24，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）当t为何值时，ade45？解：（1）b90o，ab6 cm，bc8 cm，ac10（cm），若deac，eda90，edab，aa，adeabc，即：，t，当ts时，deac；（2）dfbc，dfc90，dfcb，cc，cdfcab，即，cf，bf8，beabae6t，ssabcsbefabbcbfbe68（8t）（6t）t2+t；（3）若存在某一时刻t，使得s四边形aefc：sabc17：24，根据题意得：t2+t68，解得：t1，t2（不合题意舍去），当ts时，s四边形aefc：sabc17：24；（4）过点e作emac与点m，如图所示：则emab90，aa，aemacb，即，emt，amt，dm102tt10t，在rtdem中，当dmme时，ade45，10tt，t当ts时，ade455我们定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且项角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”例如，如图（1），abc与ade都是等腰三角形，其中bacdae，则abdace（sas）（1）熟悉模型：如图（2），已知abc与ade都是等腰三角形，abac，adae，且bacdae，求证：bdce；（2）运用模型：如图（3），p为等边abc内一点，且pa：pb：pc3：4：5，求apb的度数小明在解决此问题时，根据前面的“手拉手全等模型”，以bp为边构造等边bpm，这样就有两个等边三角形共顶点b，然后连结cm，通过转化的思想求出了apb的度数，则apb的度数为150度；（3）深化模型：如图（4），在四边形abcd中，ad4，cd3，abcacbadc45，求bd的长（1）证明：bacdae，bac+caddae+cad，即badcae，在bad和cae中，badcae（sas），bdce；（2）解：以bp为边构造等边bpm，连接cm，如图（3）所示：abc与bpm都是等边三角形，abbc，bpbmpm，abcpbmbmp60，abcpbcpbmpbc，即abpcbm，在abp和cbm中，abpcbm（sas），apcm，apbcmb，pa：pb：pc3：4：5，cm：pm：pc3：4：5，pc2cm2+pm2，cmp是直角三角形，pmc90，cmbbmp+pmc60+90150，apb150，故答案为：150；（3）解：过点a作eaad，且aead，连接ce，de，如图（4）所示：则ade是等腰直角三角形，ead90，dead4，eda45，adc45，edc45+4590，在rtdce中，ce，acbabc45，bac90，abac，bac+cadead+cad，即badcae，在bad和cae中，badcae（sas），bdce6（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目如图，在abc中，点o在线段bc上，bao30，oac75，ao，bo：co2：1，求ab的长经过数学小组成员讨论发现，过点b作bdac，交ao的延长线于点d，通过构造abd就可以解决问题（如图2）请回答：adb75，ab3（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3在四边形abcd中对角线ac与bd相交于点0，acad，ao，abcacb75，bo：od2：1，求dc的长解：（1）如图2中，过点b作bdac，交ao的延长线于点d，bdac，adboac75bodcoa，bodcoa，2，又ao，od2ao2，adao+od3bad30，adb75，abd180badadb75adb，abad3；故答案为75，3（2）如图3中，过点b作bead交ac于点eacad，bead，dacbea90aodeob，aodeob，2bo：od1：3，ao，eo2，ae3abcacb75，bac30，abac，ab2be在rtaeb中，be2+ae2ab2，即（4be2）2+be2（2be）2，解得：be3，abac6，ad在rtcad中，ac2+ad2cd2，即62+（）2cd2，解得：cd（负根已经舍弃）7正方形abcd中，ab4，点e、f分别在ab、bc边上（不与点a、b重合）（1）如图1，连接ce，作dmce，交cb于点m若be3，则dm5；（2）如图2，连接ef，将线段ef绕点f顺时针旋转，当点e落在正方形上时，记为点g；再将线段fg绕点g顺时针旋转，当点f落在正方形上时，记为点h；依此操作下去，如图3，线段ef经过两次操作后拼得efd，其形状为等边三角形，在此条件下，求证：aecf；若线段ef经过三次操作恰好拼成四边形efgh，（3）请判断四边形efgh的形状为正方形，此时ae与bf的数量关系是aebf；（4）以1中的结论为前提，设ae的长为x，四边形efgh的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围解：（1）如图1中，四边形abcd是正方形，bdcm90，be3，bc4，ce5，dmec，dmc+mce90，mce+ceb90，dmcceb，bccd，bcecdm（aas），dmec5故答案为5（2）如题图3，由旋转性质可知efdfde，则def为等边三角形故答案为等边三角形（2）四边形efgh的形状为正方形，此时aebf理由如下：依题意画出图形，如答图1所示：连接eg、fh，作hnbc于n，gmab于m由旋转性质可知，effgghhe，四边形efgh是菱形，由egmfhn，可知egfh，四边形efgh的形状为正方形hef901+290，2+390，133+490，2+390，24在aeh与bfe中，aehbfe（asa）aebf故答案为正方形，aebf（4）利用中结论，易证aeh、bfe、cgf、dhg均为全等三角形，bfcgdhaex，ahbecfdg4xys正方形abcd4saeh444x（4x）2x28x+16y2x28x+16（0x4）y2x28x+162（x2）2+8，当x2时，y取得最小值8；当x0时，y16，y的取值范围为：8y168已知：如图1，在平面直角坐标系中，长方形oabc的顶点b的坐标是（6，4）（1）直接写出a点坐标（6，0），c点坐标（0，4）；（2）如图2，d为oc中点连接bd，ad，如果在第二象限内有一点p（m，1），且四边形oadp的面积是abc面积的2倍，求满足条件的点p的坐标；（3）如图3，动点m从点c出发，以每钞1个单位的速度沿线段cb运动，同时动点n从点a出发以每秒2个单位的速度沿线段ao运动，当n到达o点时，m，n同时停止运动，运动时间是t秒（t0），在m，n运动过程中当mn5时，直接写出时间t的值解：（1）四边形oabc是长方形，aboc，bcoa，b（6，4），a（6，0），c（0，4），故答案为：6，0，0，4；（2）如图2，由（1）知，a（6，0），c（0，4），oa6，oc4，四边形oabc是长方形，s长方形oabcoaoc6424，连接ac，ac是长方形oabc的对角线，soacsabcs长方形oabc12，点d是oc的中点，soadsoac6，四边形oadp的面积是abc面积的2倍，s四边形oadp2sabc24，s四边形oadpsoad+sodp6+sodp24，sodp18，点d是oc的中点，且oc4，odoc2，p（m，1），sodpod|m|2|m|18，m18（由于点p在第二象限，所以，m小于0，舍去）或m18，p（18，1）；（3）如图3，由（2）知，oa6，oc4，四边形oabc是长方形，aococb90，bc6，由运动知，cmt，an2t，onoaan62t，过点m作mhoa于h，ohm90aococb，四边形ocmh是长方形，mhoc4，ohcmt，hn|oncm|62tt|63t|，在rtmhn中，mn5，根据勾股定理得，hn2mn2mh2，|63t|252429，t1或t3，即：t的值为1或39综合与实践问题情境数学课上，李老师提出了这样一个问题：如图1，点p是正方形abcd内一点，pa1，pb2，pc3你能求出apb的度数吗？（1）小敏与同桌小聪通过观察、思考、讨论后，得出了如下思路：思路一：将bpc绕点b逆时针旋转90，得到bpa，连接pp，求出apb的度数；思路二：将apb绕点b顺时针旋转90，得到cpb，连接pp，求出apb的度数请参考以上思路，任选一种写出完整的解答过程类比探究（2）如图2，若点p是正方形abcd外一点，pa3，pb1，求apb的度数拓展应用（3）如图3，在边长为的等边三角形abc内有一点o，aoc90，boc120，则aoc的面积是解：（1）思路一，如图1，将bpc绕点b逆时针旋转90，得到bpa，连接pp，则abpcbp，apcp3，bpbp2，pbp90bpp45，根据勾股定理得，ap1，ap2+pp21+89，又pa2329，ap2+pp2pa2，app是直角三角形，且app90，apbapp+bpp90+45135思路二、同思路一的方法（2）如图2，将bpc绕点b逆时针旋转90，得到bpa，连接pp则abpcbp，bpbp1，pbp90bpp45，根据勾股定理得，ap3，ap2+pp29+211，又，ap2+pp2pa2，app是直角三角形，且app90，apbappbpp904545（3）如图，将abo绕点b顺时针旋转60，得到bce，连接oe则baobce，aobbec36090120150，boe是等边三角形，beoboe60，oec90，oec1206060，sin60，设eck，oc2k，则oaeck，aoc90，oa2+oc2ac2，3k2+4k27，k1或1（舍弃），oa，oc2，saocoaoc2故答案为10如图1，在矩形abcd中，点p是bc边上一点，连接ap交对角线bd于点e，bpbe作线段ap的中垂线mn分别交线段dc，db，ap，ab于点m，g，f，n（1）求证：bapbgn；（2）若ab6，bc8，求；（3）如图2，在（2）的条件下，连接cf，求tancfm的值（1）证明：如图1中，四边形abcd是矩形，abc90，bapapb90bpbe，apbbepgef，mn垂直平分线段ap，gfe90，bgn+gef90，bapbgn（2）解：四边形abcd是矩形，badabp90，adbc，adbc8，bd10，adbc，daeapb，apbbepdea，daedea，dade8，bebpbdde1082，pa2，mn垂直平分线段ap，afpf，pbad，pepa，efpfpe，（3）解：如图3中，连接am，mp设cmx四边形abcd是矩形，admmcp90，abcd6，adbc8，mn垂直平分线段ap，mamp，ad2+dm2pc2+cm2，82+（6x）262+x2，x，pfmpcm90，p，f，m，c四点共圆，cfmcpm，tancfmtancfm11在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在abc中，ab8，ac6，点d是bc边上的中点，怎样求ad的取值范围呢？我们可以延长ad到点e，使adde，然后连接be（如图），这样，在adc和edb中，由于，adcedb，aceb，接下来，在abe中通过ae的长可求出ad的取值范围请你回答：（1）在图中，中线ad的取值范围是1ad7（2）应用上述方法，解决下面问题如图，在abc中，点d是bc边上的中点，点e是ab边上的一点，作dfde交ac边于点f，连接ef，若be4，cf2，请直接写出ef的取值范围如图，在四边形abcd中，bcd150，adc30，点e是ab中点，点f在dc上，且满足bccf，dfad，连接ce、ed，请判断ce与ed的位置关系，并证明你的结论解：（1）延长ad到点e，使adde，连接be，如图所示：点d是bc边上的中点，bdcd，在adc和edb中，adcedb（sas），aceb6，在abe中，abbeaeab+be，86ae8+6，即2ae14，1ad7，故答案为：1ad7；（2）延长ed到点n，使eddn，连接cn、fn，如图所示：点d是bc边上的中点，bdcd，在ndc和edb中，中，ndcedb（sas），becn4，dfde，eddn，effn，在cfn中，cncffncn+cf，42fn4+2，即2fn6，2ef6；ceed；理由如下：延长ce与da的延长线交于点g，如图所示：点e是ab中点，beae，bcd150，adc30，dgbc，gaecbe，在gae和cbe中，gaecbe（asa），gece，agbc，bccf，dfad，cf+dfbc+adag+ad，即：cdgd，gece，ceed12如图，在平行四边形abcd中，abac，对角线ac、bd相交于点o，将直线ac绕点o顺时针旋转一个角度（090），分别交线段bc、ad于点e、f，已知ab1，连接bf（1）如图，在旋转的过程中，请写出线段af与ec的数量关系，并证明；（2）如图，当45时，请写出线段bf与df的数量关系，并证明；（3）如图，当90时，求bof的面积解：（1）afce；理由如下：四边形abcd是平行四边形，adbc，aoco，faoeco，在afo与ceo中，afoceo（asa），afec；（2）bfdf；理由如下：abac，bac90，ac2，四边形abcd是平行四边形，bodo，aocoac1，abao，又abac，aob45，45，aof45，bofaob+aof45+4590，efbd，bodo，bfdf；（3）abac，cab90，cabaof90，abef，四边形abcd是平行四边形，afbe，四边形abef是平行四边形，abef1，由（1）得：afoceo，ofoeef，由（2）得：ao1，abef，aoef，sbofsaofaoof113综合与实践（1）问题发现如图1，acb和dce均为等边三角形，点a，d，e在同一直线上，连接be请写出aeb的度数及线段ad，be之间的数量关系，并说明理由（2）类比探究如图2，acb和dce均为等腰直角三角形，acbdce90，点a，d，e在同一直线上，cm为dce中de边上的高，连接be填空：aeb的度数为90；线段cm，ae，be之间的数量关系为aebe+2cm（3）拓展延伸在（2）的条件下，若be4，cm3，则四边形abec的面积为35解：（1）aeb60，adbe，理由如下：acb和dce均为等边三角形，cacb，cdce，acbdce60acdbce在acd和bce中，acdbce（sas）adcbecadbe，dce为等边三角形，cdeced60点a，d，e在同一直线上，adc120bec120aebbecced60（2）猜想：aeb90，aebe+2cm理由如下：acb和dce均为等腰直角三角形，cacb，cdce，acbdce90acdbce在acd和bce中，acdbce（sas）adbe，adcbecdce为等腰直角三角形，cdeced45点a，d，e在同一直线上，adc135bec135aebbecced90cdce，cmde，dmmedce90，dmmecmaead+debe+2cm故答案为：90，aebe+2cm；（3）由（2）得：aeb90，adbe4，dce均为等腰直角三角形，cm为dce中de边上的高，cmae，de2cm6，aead+de4+610，四边形abec的面积ace的面积+abe的面积aecm+aebe103+10435；故答案为：3514如图，正方形oabc的边长为8，p为oa上一点，op2，q为oc边上的一个动点，分别以oppq为边在正方形oabc内部作等边三角形opd和等边三角形pqe（1）证明：deoq；（2）直线ed与oc交于点f，点q在运动过程中efc的度数