2020年中考数学二轮复习 压轴专题 三角形（含解析）

三角形1在abc中，bac45，cdab，垂足为点d，m为线段db上一动点（不包括端点），点n在直线ac左上方且ncm135，cncm，如图（1）求证：acnamc（2）记anc得面积为5，记abc得面积为5求证：（3）延长线段ab到点p，使bpbm，如图探究线段ac与线段db满足什么数量关系时对于满足条件的任意点m，ancp始终成立？（写出探究过程）解：（1）bac45，amc18045acm135acm，ncm135，acn135acm，acnamc；（2）过点n作neac于e，cencdm90，acnamc，cmcn，neccdm（aas）necd，cedm；s1acne，s2abcd，；（3）当ac2bd时，对于满足条件的任意点n，ancp始终成立，理由如下：过点n作neac于e，由（2）可得necd，cedm，ac2bd，bpbm，cedm，accebd+bddmaebd+bpdp，necd，neacdp90，aedp，neacdp（sas）anpc2如图1，oa2，ob4，以点a为顶点，ab为腰在第三象限作等腰直角abc（）求c点的坐标；（）如图2，oa2，p为y轴负半轴上的一个动点，若以p为直角顶点，pa为腰等腰直角apd，过d作dex轴于e点，求opde的值；（）如图3，点f坐标为（4，4），点g（0，m）在y轴负半轴，点h（n，0）x轴的正半轴，且fhfg，求m+n的值解：（）如图1，过c作cmx轴于m点，如图1所示：cmoa，acab，mac+oab90，oab+oba90，macoba，在mac和oba中，macoba（aas），cmoa2，maob4，om6，点c的坐标为（6，2），故答案为（6，2）；（）如图2，过d作dqop于q点，则四边形oedq是矩形，deoq，apo+qpd90，apo+oap90，qpdoap，在aop和pdq中，aoppdq（aas），aopq2，opdeopoqpqoa2；（）如图3，过点f分别作fsx轴于s点，fty轴于t点，则hsfgtf90sot，四边形osft是正方形，fsft4，eft90hfg，hfsgft，在fsh和ftg中，fshftg（aas），gths，又g（0，m），h（n，0），点f坐标为（4，4），otos4，gt4m，hsn（4）n+4，4mn+4，m+n83如图1，点c在线段ab上，（点c不与a、b重合），分别以ac、bc为边在ab同侧作等边三角形acd和等边三角形bce，连接ae、bd交于点p（1）观察猜想：线段ae与bd的数量关系为aebdapc的度数为60（2）数学思考：如图2，当点c在线段ab外时，（1）中的结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以ac、bc为边在ab同侧作等腰直角三角形acd和等腰直角三角形bce，其中acdbce90，cacd，cbce，连接aebd交于点p，则线段ae与bd的关系为aebd，aebd解：（1）观察猜想：如图1，设ae交cd于点o过点c作chae，cgbd，adc，ecb都是等边三角形，cacd，acdecb60，cecb，acedcb，acedcb（sas），aebd，caoodp，sacesbcd，aocdop，dpoaco60，apb120，sacesbcd，aechbdcg，chcg，且chae，cgbd，cp平分apb，apc60，故答案为aebd，60（2）数学思考：成立，不成立，理由：设ac交bd于点o过点c作chae，cgbd，adc，ecb都是等边三角形，cacd，acdecb60，cecb，acedcbacedcb（sas），aebd，paoodc，aopdoc，apodco60，dpe120，sacesbcd，aechbdcg，chcg，且chae，cgbd，cp平分dpe，dpc60，apc120，成立，不成立；拓展应用：设ac交bd于点oacdbce90，cacd，cbce，acedcbaecdbc（sas），aebd，cdbcae，aopcod，cdbcae，dcoapo90，aebd，故答案为：aebd，aebd4如图，abc是等边三角形，d是bc边的中点，以d为顶点作一个120的角，角的两边分别交直线ab、直线ac于m、n两点以点d为中心旋转mdn（mdn的度数不变），当dm与ab垂直时（如图所示），易证bm+cnbd（1）如图，当dm与ab不垂直，点m在边ab上，点n在边ac上时，bm+cnbd是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图，当dm与ab不垂直，点m在边ab上，点n在边ac的延长线上时，bm+cnbd是否仍然成立？若不成立，请写出bm，cn，bd之间的数量关系，不用证明解：（1）结论bm+cnbd成立，理由如下：如图，过点d作deac交ab于e，abc是等边三角形，abc60，deac，beda60，bdec60，bbedbde60，bde是等边三角形，edc120，bdbede，edn+cdn120，edm+ednmdn120，cdnedm，d是bc边的中点，debdcd，在cdn和edm中，cdnedm（asa），cnem，bdbebm+embm+cn；（2）上述结论不成立，bm，cn，bd之间的数量关系为：bmcnbd；理由如下：如图，过点d作deac交ab于e，abc是等边三角形，abc60，ncd120，deac，beda60，bdec60，bbedbde60，bde是等边三角形，mededc120，bdbede，ncdmed，edm+cdm120，cdn+cdmmdn120，cdnedm，d是bc边的中点，debdcd，在cdn和edm中，cdnedm（asa），cnem，bdbebmembmcn，bmcnbd5abc是等边三角形，p为平面内的一个动点，bpba，0pbc180，db平分pbc，且dbda（1）当bp与ba重合时（如图1），求bpd的度数；（2）当bp在abc的内部时（如图2），求bpd的度数；（3）当bp在abc的外部时，请你直接写出bpd的度数解：（1）abc是等边三角形，bd平分pbc，pbdcbd30，dbda，pbdbpd30；（2）如图2，连接cd，点d在pbc的平分线上，pbdcbd，abc是等边三角形，babcac，acb60，bpba，bpbc，bdbd，pbdcbd（sas），bpdbcd，dbda，bcac，cdcd，bcdacd（sss），bcdacdacb30，bpd30；（3）如图3，连接cd，adbd，cdcd，bcac，acdbcd（sss）acdbcd30，bdbd，pbdcbd，pbabbc，pbdcbd（sas）bpdbcd30，如图4，连接cd，adbd，cdcd，bcac，acdbcd（sss）acdbcd30，bdbd，pbdcbd，pbabbc，pbdcbd（sas）bpdbcd30，如图5，连接cd，adbd，cdcd，bcac，acdbcd（sss）acdbcd150，bdbd，pbdcbd，pbabbc，pbdcbd（sas）bpdbcd150，6在abc中，acbc，acb90，d为ab边的中点，以d为直角顶点的rtdef的另两个顶点e，f分别落在边ac，cb（或它们的延长线）上（1）如图1，若rtdef的两条直角边de，df与abc的两条直角边ac，bc互相垂直，则sdef+scefsabc，求当sdefscef2时，ac边的长；（2）如图2，若rtdef的两条直角边de，df与abc的两条直角边ac，bc不垂直，sdef+scefsabc，是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出sdef，scef，sabc之间的数量关系；（3）如图3，若rtdef的两条直角边de，df与abc的两条直角边ac，bc不垂直，且点e在ac的延长线上，点f在cb的延长线上，sdef+scefsabc是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出sdef，scef，sabc之间的数量关系解：（1）acb90，deac，dfbc，四边形decf是矩形，acb90，bcac，deac，debc，d为ab边的中点，de是abc的中位线，debc，ac2ce，同理：dfac，acbc，dedf，四边形decf是正方形，cedfcfde，sdefscef2dedfdf2，df2，ce2，ac2ce4；（2）sdef+scefsabc成立，理由如下：连接cd；如图2所示：acbc，acb90，d为ab中点，b45，dceacb45，cdab，cdabbd，dceb，cdb90，sabc2sbcd，edf90，cdebdf，在cde和bdf中，cdebdf（asa），dedfscdesbdfsdef+scefscde+scdfsbcdsabc；（3）不成立；sdefscefsabc；理由如下：连接cd，如图3所示：同（1）得：decdbf，dcedbf135，sdefs五边形dbfec，scfe+sdbc，scfe+sabc，sdefscfesabcsdef、scef、sabc的关系是：sdefscefsabc7教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容2线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线mn是线段ab的垂直平分线，p是mn上任一点，连结pa、pb，将线段ab沿直线mn对称，我们发现pa与pb完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段的距离相等已知：如图，mnab，垂足为点c，acbc，点p是直线mn上的任意一点求证：papb分析：图中有两个直角三角形apc和bpc，只要证明这两个三角形全等，便可证明papb定理证明：请根据教材中的分析，结合图，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程定理应用：（1）如图，在abc中，直线m、n分别是边bc、ac的垂直平分线，直线m、n的交点为o过点o作ohab于点h求证：ahbh（2）如图，在abc中，abbc，边ab的垂直平分线l交ac于点d，边bc的垂直平分线k交ac于点e若abc120， ac15，则de的长为5解：定理证明：mnab，pcapcb90又acbc，pcpc，pacpbc（sas），papb定理应用：（1）如图2，连结oa、ob、oc直线m是边bc的垂直平分线，oboc，直线n是边ac的垂直平分线，oaoc，oaobohab，ahbh；（2）如图中，连接bd，bebabc，abc120，ac30，边ab的垂直平分线交ac于点d，边bc的垂直平分线交ac于点e，dadb，ebec，adba30，cebc30，bdea+dba60，bedc+ebc60，bde是等边三角形，adbddebeec，ac15ad+de+ec3de，de5，故答案为：58如图，在abc中，abac，以bc为直角边作等腰rtbcd，cbd90，斜边cd交ab于点e（1）如图1，若abc60，be4，作ehbc于h，求线段bc的长；（2）如图2，作cfac，且cfac，连接bf，且e为ab中点，求证：cd2bf解：（1）abc60，ehbc，beh30，be2bh4，ehbh，bh2，eh2，cbd90，bdbc，bcd45，且ehbc，bcdbec45，ehch2，bcbh+hc2+2；（2）如图，过点a作ambc，abac，ambc，bmmcbcdb，dcb45，ambc，dcbmnc45，mnmcbd，amdb，cnmcbd，cd2cn，anbd，cfac，bcd45，acd+bcf45，且acd+mac45，bcfmac，且accf，bcan，acncfb（sas）bfcn，cd2bf9【问题】如图1，在rtabc中，acb90，acbc，过点c作直线l平行于abedf90，点d在直线l上移动，角的一边de始终经过点b，另一边df与ac交于点p，研究dp和db的数量关系【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点d移动到使点p与点c重合时，通过推理就可以得到dpdb，请写出证明过程；【数学思考】（2）如图3，若点p是ac上的任意一点（不含端点a、c），受（1）的启发，这个小组过点d作dgcd交bc于点g，就可以证明dpdb，请完成证明过程【探究发现】证明：（1）acb90，acbccabcba45cdabcbadcb45，且bdcddcbdbc45dbdc即dpdb；【数学思考】证明：（2）dgcd，dcb45dcgdgc45dcdg，dcpdgb135，bdpcdg90cdpbdg，在cdp和gdb中，cdpgdb（asa）dpdb10已知，在平面直角坐标系中，a（m，0）、b（0，n），m、n满足（mn）2+|m5|0c为ab的中点，p是线段ab上一动点，d是x轴正半轴上一点，且popd，deab于e（1）如图1，当点p在线段ab上运动时，点d恰在线段oa上，则pe与ab的数量关系为ab2pe（2）如图2，当点d在点a右侧时，（1）中结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由！（3）设ab5，若opd45，直接写出点d的坐标解：（1）（mn）2+|m5|0，mn0，m50，mn5，a（5，0）、b（0，5），acbc5，aob为等腰直角三角形，aocboc45，ocab，popd，podpdo，d是x轴正半轴上一点，点p在bc上，pod45+poc，pdo45+dpe，pocdpe，在poc和dpe中，pocdpe（aas），ocpe，c为ab的中点，ab2oc，ab2pe故答案为：ab2pe（2）成立，理由如下：点c为ab中点，aocboc45，ocab，popd，podpdo，pod45poc，pdo45dpe，pocdpe，在poc和dpe中，pocdpe（aas），ocpe，又aocbao45ocacabab2pe；（3）ab5，oaob5，oppd，podpdo67.5，apdpdoa22.5，bop90pod22.5，apdbop，在pob和dpa中，pobdpa（sas），paob5，dapb，dapb55，odoada5（55）105，点d的坐标为（105，0）11如图1，直线ab分别与x轴、y轴交于a、b两点，oc平分aob交ab于点c，点d为线段ab上一点，过点d作deoc交y轴于点e，已知aom，bon，且m、n满足n28n+16+|n2m|0（1）求a、b两点的坐标；（2）若点d为ab中点，求oe的长；（3）如图2，若点p（x，2x+4）为直线ab在x轴下方的一点，点e是y轴的正半轴上一动点，以e为直角顶点作等腰直角pef，使点f在第一象限，且f点的横、纵坐标始终相等，求点p的坐标解：（1）n28n+16+|n2m|0，（n4）2+|n2m|0，（n4）20，|n2m|0，（n4）20，|n2m|0，m2，n4，点a为（2，0），点b为（0，4）；（2）延长de交x轴于点f，延长fd到点g，使得dgdf，连接bg，设oex，oc平分aob，bocaoc45，deoc，efofeobegbocaoc45，oeofx，在adf和bdg中，adfbdg（sas），bgaf2+x，gafe45，gbeg45，bgbe4x，4x2+x，解得：x1，oe1；（3）如图2，分别过点f、p作fmy轴于点m，pny轴于点n，设点e为（0，m），点p的坐标为（x，2x+4），pnx，enm+2x4，pef90，pen+fem90，fmy轴，mfe+fem90，penmfe，在efm和pen中，efmpen（aas），menpx，fmenm+2x4，点f为（m+2x4，m+x），f点的横坐标与纵坐标相等，m+2x4m+x，解得：x4，点p为（4，4）12在等边abc中，线段am为bc边上的中线动点d在直线am上时，以cd为一边在cd的下方作等边cde，连结be（1）若点d在线段am上时（如图1），则adbe（填“”、“”或“”），cam30度；（2）设直线be与直线am的交点为o当动点d在线段am的延长线上时（如图2），试判断ad与be的数量关系，并说明理由；当动点d在直线am上时，试判断aob是否为定值？若是，请直接写出aob的度数；若不是，请说明理由解：（1）abc与dec都是等边三角形acbc，cdce，acbdce60acd+dcbdcb+bceacdbce在adc和bec中，acdbce（sas），adbe；abc是等边三角形，bac60线段am为bc边上的中线cambac，cam30故答案为：，30；（2）adbe，理由如下：abc和cde都是等边三角形abbc，dcec，acbdce60，acdacbdcb，bcedcedcb，acdbce，acdbce（sas）adbeaob是定值，aob60，理由如下：当点d在线段am上时，如图1，由知acdbce，则cbecad30，又abc60，cbe+abc60+3090，abc是等边三角形，线段am为bc边上的中线am平分bac，即，boa903060当点d在线段am的延长线上时，如图2，abc与dec都是等边三角形acbc，cdce，acbdce60acb+dcbdcb+dceacdbce在acd和bce中，acdbce（sas）cbecad30，同理可得：bam30，boa90306013小明在学习等边三角形时发现了直角三角形的一个性质：直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半小明同学对以上结论作了进一步探究如图1，在rtabc中，acb90，acab，则：abc30探究结论：（1）如图1，ce是ab边上的中线，易得结论：ace为等边三角形（2）如图2，在rtabc中，acb90，acab，cp是ab边上的中线，点d是边cb上任意一点，连接ad，在ab边上方作等边ade，连接be试探究线段be与de之间的数量关系，写出你的猜想加以证明拓展应用：如图3，在平面直角坐标系中，点a的坐标为（，1），点b是x轴正半轴上的一动点，以ab为边作等边abc，当点c在第一象内，且b（2，0）时，求点c的坐标解：探究结论（1）ce是ab边上的中线，ceaeab，acab，acceae，ace是等边三角形故答案为：等边；（2）如图2中，结论：edeb理由：取ab的中点p，连接cp、peacp，ade都是等边三角形，acappc，adaede，capdae60，cadpae，cadpae（sas），acdape90，epab，papb，eaeb，deae，edeb拓展应用：如图3中，作ahx轴于h，cfob于f，连接oaa（，1），aoh30，由（2）可知，cocb，cfob，offb1，可以假设c（1，n），ocbcab，1+n21+（+2）2，n2+，c（1，2+）14如图，等边abc外有一点d，连接da，db，dc（1）如图1，若dab+dcb180，求证：bd平分adc；（2）如图2，若bdc60，求证：bdcdad；（3）如图3，延长ad交bc的延长线于点f，以bf为边向下作等边bef，若点d，c，e在同一直线上，且abd，直接写出cef的度数为60（结果用含的式子表示）（1）证明：过点b作bmcd于点m，bnad于点n，anbcmb90，abc为等边三角形，abbc，dab+dcb180，dcb+bcm180，oabbcm，abncbm（aas），bmbn，bd平分adc；（2）证明：在bd上取点e，使decd，bdc60cde为等边三角形，dceacb60