函授高数专升本大纲及复习题.doc

高等数学教学大纲（函授专升本） 由于在专科阶段已经学习过高等数学，虽然各校、各专业的要求会有所差异，但是必定学习了一元函数微积分，故在本科阶段主要学习：微分方程；向量代数与空间解析几何；多元函数微积分及级数。具体要求如下：一一元函数微积分概要掌握一元函数微积分中的极限、导数、积分等基本概念与基本运算。二微分方程内容微分方程及其阶、解、通解、特解与初始条件的概念 变量可分离的方程 齐次方程 一阶线性方程 可降阶的高阶方程 线性微分方程解的结构 二阶常系数齐次与非齐次线性微分方程 微分方程的简单应用要求 理解微分方程及其阶、解、通解、特解、初始条件等概念。 掌握变量可分离与一阶线性方程的解法 会解齐次方程。 会解三类可降阶的高阶微分方程。 了解二阶线性微分方程解的结构。 掌握二阶常系数齐次与非齐次线性微分方程的解法。 会用微分方程解某些简单的应用问题。三向量代数与空间解析几何 内容空间直角坐标系 空间点直角坐标 两点间距离公式 向量定义 模 单位向量 向量的坐标 方向角 方向余弦 向量的线性运算 向量的数量积 向量的向量积 平面的点法式方程、一般式方程、截距式方程 直线的点向式方程、一般式方程、参数式方程 点到平面的距离 平面与平面的夹角 直线与直线的夹角 直线与平面的夹角 曲面方程的概念 旋转曲面 母线平行于坐标轴的柱面方程 空间曲线的一般式与参数式方程 空间曲线在坐标面上的投影 常见的二次曲面要求 掌握空间直角坐标系；空间点的直角坐标及两点间距离公式。 理解向量定义、模、单位向量、向量坐标、方向角及方向余弦的概念。 掌握向量的线性运算；向量的数量积、向量积。 会判定两向量的平行与垂直。 会求平面方程与直线方程。 会求点到平面的距离；会求平面与平面、直线与直线、平面与直线间的夹角。 掌握求旋转曲面方程；认识母线平行于坐标轴的柱面方程的特征。 认识空间曲线的一般式与参数式方程。 会求空间曲线在坐标面上的投影。 掌握椭球面、椭圆锥面及椭圆抛物面。四多元函数微分学内容多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限和连续的概念 有界闭区域上多元连续函数的性质 偏导数与全微分的概念 全微分存在的必要条件与充分条件 多元复合函数、隐函数的的求导法 二阶偏导数 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 极值与条件极值的概念 多元函数极值的必要条件 二元函数极值的充分条件 极值的求法 拉格朗日乘数法 最大值、最小值及其简单应用要求 理解二元函数、极限、连续的概念。 理解偏导数概念；掌握复合函数与隐函数偏导数的求法。 理解全微分的概念；了解全微分存在的必要条件与充分条件；了解全微分形式的不变性；会求全微分。 了解连续、可偏导、可全微分的关系。 理解空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念，并会求它们的方程。 理解极值存在的必要条件；二元函数极值存在的充分条件，掌握求二元函数的极值。 了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求简单的应用问题。五多元函数积分学内容二重积分的概念及性质 二重积分的计算及应用 三重积分的概念及性质 三重积分的计算及应用 两类曲线积分的概念、性质、关系及计算 格林公式 平面曲线积分与路径无关的条件 已知全微分求原函数 对面积曲面积分的概念要求 理解二重积分的概念，性质及几何意义。 掌握二重积分的计算法（直角坐标、极坐标）。 了解三重积分的概念，性质。 会求三重积分（直角坐标，柱面坐标，球面坐标）。 理解两类曲线积分的概念、性质、物理意义及关系。 掌握计算两类曲线积分的方法。 掌握格林公式，并会用它求曲线积分。 会判定平面曲线积分与路径无关，并会求全微分的原函数。 会用重积分、曲线积分求一些几何量（平面图形的面积、空间立体的体积、曲面的面积及曲线的弧长）与物理量（质量、重心及转动惯量）。六无穷级数内容常数项级数收敛与发散的概念 级数的基本性质 级数收敛的必要条件 几何级数与级数的收敛性 正项级数的比值、比较及根值审敛法 交错级数与莱布尼兹定理 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 幂级数及其收敛半径和收敛区间 幂级数的运算 幂级数的和函数 函数的幂级数展开式 要求 理解常数项级数收敛、发散的概念；收敛级数的和的概念。 理解级数的基本性质，掌握级数收敛的必要条件。 掌握正项级数的比较、比值与根值判定法。 掌握交错级数的莱布尼兹判定法。 理解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念，会判定任意项级数的绝对收敛与条件收敛。 掌握几何级数、级数收敛与发散的条件。 理解幂级数及其收敛半径的概念，掌握求幂级数收敛半径与收敛区间的方法。 了解泰勒级数的形式， 会用间接法将函数展开成幂级数。 会求简单的幂级数的和函数。学时分配高等数学的总学时为130，其中自学学时为80，面授学时为50，具体内容的学时数分配如下，供任课老师参考。 教学内容自学学时面授学时一元函数微积分概要空间解析几何与向量代数微分方程多元函数微分学极其应用重积分与曲线积分无穷级数总复习1010121216101066881066总学时8050参考教材：高等数学（专升本） 李永琪、许红娅、薛秀谦编著 浙江大学出版社高等数学复习题（函授专升本）第一章 一元函数微积分概要 1、求下列各极限 2、试解下列各题 设 求 设 求 设 ，求 设 求 及在点 处的切线与法线方程。 设 求 求函数 的单调区间与极值。 3、求下列各积分 ，其中 第二章 微分方程 1、求下列一阶微分方程的通解或特解 ； ，； ； ； ； 。 2、求下列二阶微分方程的通解或特解 ； ，； ，； ； ； ；3、求初值问题 。 4、设 为连续函数，且满足方程 ，求 。5、设某曲线上各点的法线都通过点，求此曲线方程。6、设某曲线经过点且在此点与直线相切，并满足方程，切此曲线的方程。7、设质量为的质点从液面由静止开始在液体中下降，假定液体的阻力与速度成正比，试求质点下降时的位移与时间的函数关系。第三章 空间解析几何与向量代数 1、试解下列各题 设向量，求 、及的方向余弦； 已知三点，求同时垂直于的单位向量，及三角形的面积； 已知向量与之间的夹角为，求以，为邻边的平行四边形的对角线的长； 已知向量相互垂直，求的值。 2、试解下列各题 求面上曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程，并画出旋转曲面的图形。 画出由曲面，所围成的立体的图形，并求这两张曲面的交线在面上投影曲线的方程。 求球心在点，并与面相切的球面方程。 3、求下列各平面的方程 过点，且与平面平行； 过点，且与直线垂直； 过轴和点； 过点和直线。 4、求下列直线方程 用点向式与参数式方程表示直线； 求过点，且与两平面和均平行； 求过点，且和直线垂直相交。 5、求点到平面的距离。 6、求点在平面上投影点的坐标。第四章 多元函数微分学 1、已知，求； 2、求函数的定义域；3、求下列函数的一阶偏导数 ； ； ； ； ； 4、求下列函数的全微分 设， 求 ； 设，求 5、求下列函数的二阶偏导数 设 求 ； 设 求 。 6、求下列隐函数的偏导数或全微分 设由方程确定是的函数，求 设由确定， 求 设 求 7、设 其中 可微，证明：。 8、多元函数微分学的在几何上的应用 求曲面 在点处的切平面与法线方程。 求曲线 在点处的切线与法平面方程。 求曲线 在点处的切线与法平面方程。 求曲面 平行与平面 的切平面方程。9、求函数 的极值。10、要造一个容积为 的长方形无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使表面积最小。11、证明曲面上任一点的切平面在三个坐标轴上的截距之和为常数。第五章 多元函数积分学 1、画出下列各积分区域，并改变积分次序 。 。 2、求下列二重积分 ： 其中 是由两条抛物线 所围成闭区域。 ：由曲线 围成。 。 ，： ，： 3、求由旋转抛物面 与锥面 所围成立体的体积。4、求下列各曲面的面积 球面 含在圆柱面 内的那部分曲面。 锥面 被柱面 所割下部分的曲面。 5、求下列各三重积分 ：由平面 所围成。 ，：由抛物面 与平面 围成。 ， ：。6、将三重积分 ： 分别表示成柱面坐标与球面坐标系下的三次积分。 7、求下列各曲线积分 ，：。 ：从点到点的直线段。 ：由 所围成区域的整个边界。 ：曲线 上从点到点的弧段。 8、用格林公式求下列曲线积分 ：正向一周。 ，其中 是由抛物线 所围成闭区域的正向边界曲线。 ， ： 从点到点的上半圆周 。9、试确定 的值，使得 为某函数的全微分，并求出一个这样的函数。10、设曲线积分 与路径无关，其中可导，且 求 及当 时的积分值。第六章 无穷级数 1、判定下列级数的敛散性 ； ； 2、判定下列级数的绝对与条件收敛性 3、求下列幂级数的收敛半径与收敛区间 4、求下列幂级数的和函数 5、求下列函数的麦克劳林级数 ； ； ； ； 6、将展开成的幂级数。7、将展开成的幂级数。 模拟试卷一填空题（共21分，每小题3分） 1 ； 2设 ，则 ； 3设 ，则 ； 4改变积分次序 = ； 5将三重积分 表示成球面坐标系下的三次积分 ； 6设 是圆周 ，则 ； 7将 展开成 的幂级数为 。二选择题（共9分，每小题3分） 1曲线 上点 处的法平面方程为（ ） ； ； ； 。 2下列级数中条件收敛的级数为（ ） ；