新（全国甲卷）高考数学大二轮总复习与增分策略 专题五 立体几何与空间向量 第3讲 立体几何中的向量方法课件 理.ppt

第3讲立体几何中的向量方法 专题五立体几何与空间向量 栏目索引 1 2014 课标全国 直三棱柱abc a1b1c1中 bca 90 m n分别是a1b1 a1c1的中点 bc ca cc1 则bm与an所成角的余弦值为 解析 高考真题体验 1 2 解析方法一由于 bca 90 三棱柱为直三棱柱 且bc ca cc1 建立如图 1 所示空间直角坐标系 设正方体棱长为2 则可得a 0 0 0 b 2 2 0 m 1 1 2 n 0 1 2 解析 1 2 方法二如图 2 取bc的中点d 连接mn nd ad 1 2 则nd与na所成的角即为异面直线bm与an所成的角 1 2 2 2016 课标全国乙 如图 在以a b c d e f为顶点的五面体中 平面abef为正方形 af 2fd afd 90 且二面角d af e与二面角c be f都是60 1 证明 平面abef 平面efdc 证明由已知可得af df af fe 所以af 平面efdc 又af 平面abef 故平面abef 平面efdc 解析答案 1 2 2 求二面角e bc a的余弦值 解析答案 1 2 解过点d作dg ef 垂足为g 由 1 知dg 平面abef 建立如图所示的空间直角坐标系gxyz 由 1 知 dfe为二面角d af e的平面角 由已知 ab ef 所以ab 平面efdc 又平面abcd 平面efdc cd 故ab cd cd ef 解析答案 1 2 由be af 可得be 平面efdc 所以 cef为二面角c be f的平面角 cef 60 解析答案 1 2 考情考向分析 返回 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点 与空间线面关系的证明相结合 热点为二面角的求解 均以解答题的形式进行考查 难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上 热点一利用向量证明平行与垂直 设直线l的方向向量为a a1 b1 c1 平面 的法向量分别为 a2 b2 c2 v a3 b3 c3 则有 1 线面平行l a a 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 2 线面垂直l a a k a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 3 面面平行 v v a2 a3 b2 b3 c2 c3 4 面面垂直 v v 0 a2a3 b2b3 c2c3 0 热点分类突破 例1如图 在直三棱柱ade bcf中 面abfe和面abcd都是正方形且互相垂直 点m为ab的中点 点o为df的中点 运用向量方法证明 1 om 平面bcf 解析答案 证明方法一由题意 得ab ad ae两两垂直 以点a为原点建立如图所示的空间直角坐标系 设正方形边长为1 则a 0 0 0 b 1 0 0 c 1 1 0 d 0 1 0 f 1 0 1 棱柱ade bcf是直三棱柱 om 平面bcf 解析答案 又om 平面bcf om 平面bcf 2 平面mdf 平面efcd 解析答案 思维升华 证明方法一设平面mdf与平面efcd的一个法向量分别为n1 x1 y1 z1 n2 x2 y2 z2 同理可得n2 0 1 1 n1 n2 0 平面mdf 平面efcd 解析答案 思维升华 方法二由题意知 bf bc ba两两垂直 om cd om fc 又cd fc c om 平面efcd 又om 平面mdf 平面mdf 平面efcd 思维升华 思维升华 用向量知识证明立体几何问题 仍然离不开立体几何中的定理 如要证明线面平行 只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行 即化归为证明线线平行 用向量方法证明直线a b 只需证明向量a b r 即可 若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行 仍需强调直线在平面外 跟踪演练1如图 在底面是矩形的四棱锥p abcd中 pa 底面abcd 点e f分别是pc pd的中点 pa ab 1 bc 2 1 求证 ef 平面pab 解析答案 证明以点a为原点 ab所在直线为x轴 ad所在直线为y轴 ap所在直线为z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则a 0 0 0 b 1 0 0 c 1 2 0 d 0 2 0 p 0 0 1 点e f分别是pc pd的中点 解析答案 即ef ab 又ab 平面pab ef 平面pab ef 平面pab 2 求证 平面pad 平面pdc 解析答案 又ap ad a dc 平面pad dc 平面pdc 平面pad 平面pdc 热点二利用空间向量求空间角 设直线l m的方向向量分别为a a1 b1 c1 b a2 b2 c2 平面 的法向量分别为 a3 b3 c3 v a4 b4 c4 以下相同 1 线线夹角 2 线面夹角 3 面面夹角设平面 的夹角为 0 例2 2015 江苏 如图 在四棱锥p abcd中 已知pa 平面abcd 且四边形abcd为直角梯形 abc bad pa ad 2 ab bc 1 1 求平面pab与平面pcd所成二面角的余弦值 解析答案 则各点的坐标为b 1 0 0 c 1 1 0 d 0 2 0 p 0 0 2 因为ad 平面pab 设平面pcd的法向量为m x y z 解析答案 所以m 1 1 1 是平面pcd的一个法向量 2 点q是线段bp上的动点 当直线cq与dp所成的角最小时 求线段bq的长 解析答案 思维升华 设1 2 t t 1 3 解析答案 思维升华 此时直线cq与dp所成角取得最小值 思维升华 思维升华 1 运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤 建立恰当的空间直角坐标系 求出相关点的坐标 写出向量坐标 结合公式进行论证 计算 转化为几何结论 2 求空间角注意 两条异面直线所成的角 不一定是直线的方向向量的夹角 即cos cos 两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角 有可能为两法向量夹角的补角 直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值 即注意函数名称的变化 解析答案 解以点a为坐标原点o 分别以ab ac aa1所在直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系oxyz 设平面a1bc的法向量为n1 x1 y1 z1 因为ab ac 1 aa1 2 则a 0 0 0 b 1 0 0 c 0 1 0 a1 0 0 2 b1 1 0 2 p 1 0 2 解析答案 不妨取z1 1 则x1 y1 2 从而平面a1bc的一个法向量为n1 2 2 1 设直线pc与平面a1bc所成的角为 解析答案 不妨取z2 1 则x2 2 2 y2 2 所以平面pa1c的法向量为n2 2 2 2 1 解析答案 化简得 2 8 9 0 解得 1或 9 舍去 故 的值为1 热点三利用空间向量求解探索性问题 存在探索性问题的基本特征是要判断在某些确定条件下的某一数学对象 数值 图形 函数等 是否存在或某一结论是否成立 解决这类问题的基本策略是先假设题中的数学对象存在 或结论成立 或暂且认可其中的一部分结论 然后在这个前提下进行逻辑推理 若由此导出矛盾 则否定假设 否则 给出肯定结论 例3如图所示 四边形abcd是边长为1的正方形 md 平面abcd nb 平面abcd 且md nb 1 e为bc的中点 1 求异面直线ne与am所成角的余弦值 解析答案 解由题意 易得dm da dm dc da dc 如图所示 以点d为坐标原点 da dc dm所在直线分别为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 则d 0 0 0 a 1 0 0 m 0 0 1 c 0 1 0 b 1 1 0 设异面直线ne与am所成角为 2 在线段an上是否存在点s 使得es 平面amn 若存在 求线段as的长 若不存在 请说明理由 解析答案 思维升华 解假设在线段an上存在点s 使得es 平面amn 连接ae 由es 平面amn 解析答案 思维升华 思维升华 思维升华 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题 它无需进行复杂的作图 论证 推理 只需通过坐标运算进行判断 解题时 把要成立的结论当作条件 据此列方程或方程组 把 是否存在 问题转化为 点的坐标是否有解 是否有规定范围内的解 等 所以为使问题的解决更简单 有效 应善于运用这一方法 跟踪演练3如图 已知矩形abcd所在平面垂直于直角梯形abpe所在平面于直线ab 且ab bp 2 ad ae 1 ae ab 且ae bp 1 设点m为棱pd的中点 求证 em 平面abcd 解析答案 证明由已知 平面abcd 平面abpe 且bc ab 则bc 平面abpe 所以ba bp bc两两垂直 建立如图所示的空间直角坐标系 易知平面abcd的一个法向量n 0 1 0 解析答案 所以em 平面abcd 解析答案 返回 证明当点n与点d重合时 理由如下 设平面pcd的法向量为n1 x1 y1 z1 取y1 1 得平面pcd的一个法向量等于n1 0 1 2 解析答案 解析答案 所以9 2 8 1 0 返回 高考押题精练 1 求证 pq 平面bce 2 求二面角a df e的余弦值 押题依据利用空间向量求二面角全面考查了空间向量的建系 求法向量 求角等知识 是高考的重点和热点 返回 解析答案 押题依据 1 证明连接ac 四边形abcd是矩形 且q为bd的中点 点q为ac的中点 又在 aec中 点p为ae的中点 pq ec ec 面bce pq 面bce