高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式（2）课件 新人教A版必修5.ppt

3 4基本不等式 二 第三章不等式 1 熟练掌握基本不等式及变形的应用 2 会用基本不等式解决简单的最大 小 值问题 3 能够运用基本不等式解决生活中的应用问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一基本不等式及变形 思考 使用基本不等式证明 a 0 b 0 并说明什么时候等号成立 答案 梳理 以下是基本不等式的常见变形 试用不等号连接 并说明等号成立的条件 当且仅当时 以上三个等号同时成立 a b 知识点二用基本不等式求最值 思考 因为x2 1 2x 当且仅当x 1时取等号 所以当x 1时 x2 1 min 2 以上说法对吗 为什么 错 显然 x2 1 min 1 x2 1 2x 当且仅当x 1时取等号 仅说明抛物线y x2 1恒在直线y 2x上方 仅在x 1时有公共点 使用基本不等式求最值 不等式两端必须有一端是定值 如果都不是定值 可能出错 答案 梳理 基本不等式求最值的条件 1 x y必须是 2 求积xy的最大值时 应看和x y是否为 求和x y的最小值时 应看积xy是否为 3 等号成立的条件是否满足 正数 定值 定值 题型探究 类型一基本不等式与最值 例1 1 若x 0 求函数y x 的最小值 并求此时x的值 解答 2 设0 x 求函数y 4x 3 2x 的最大值 解答 3 2x 0 y 4x 3 2x 2 2x 3 2x 3 已知x 2 求x 的最小值 解答 x 2 x 2 0 即x 4时 等号成立 4 已知x 0 y 0 且 1 求x y的最小值 解答 即x 4 y 12时 上式取等号 故当x 4 y 12时 x y min 16 x y x 1 y 9 10 当且仅当x 1 y 9 3 即x 4 y 12时上式取等号 故当x 4 y 12时 x y min 16 反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正 二是寻求定值 求和式最小值时应使积为定值 求积式最大值时应使和为定值 恰当变形 合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧 三是考虑等号成立的条件是否具备 跟踪训练1 1 已知x 0 求f x 3x的最小值 解答 2 已知x 3 求f x x的最大值 x 3 x 3 0 解答 f x 的最大值为 1 3 设x 0 y 0 且2x 8y xy 求x y的最小值 解答 方法一由2x 8y xy 0 得y x 8 2x x y的最小值是18 x y的最小值是18 类型二基本不等式在实际问题中的应用 命题角度1几何问题的最值例2 1 用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用篱笆最短 最短的篱笆是多少 解答 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则xy 100 篱笆的长为2 x y m 由 可得x y 2 x y 40 当且仅当x y 10时等号成立 所以这个矩形的长 宽都为10m时 所用篱笆最短 最短篱笆为40m 2 一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 解答 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则2 x y 36 x y 18 矩形菜园的面积为xym2 由 9 可得xy 81 当且仅当x y 9时 等号成立 所以这个矩形的长 宽都为9m时 菜园的面积最大 最大面积为81m2 反思与感悟 利用基本不等式解决实际问题时 一般是先建立关于目标量的函数关系 再利用基本不等式求解目标函数的最大 小 值及取最大 小 值的条件 跟踪训练2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池 其容积为4800m3 深为3m 如果池底每1m2的造价为150元 池壁每1m2的造价为120元 问怎样设计水池才能使总造价最低 最低总造价是多少 解答 设水池底面一边的长度为xm 又设水池总造价为y元 根据题意 得 所以当水池底面为正方形且边长为40m时总造价最低 最低总造价为297600元 命题角度2生活中的最优化问题例3某食品厂定期购买面粉 已知该厂每天需用面粉6吨 每吨面粉的价格为1800元 面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元 购买面粉每次需支付运费900元 求该厂多少天购买一次面粉 才能使平均每天所支付的总费用最少 解答 设该厂每隔x天购买一次面粉 其购买量为6x吨 由题意可知 面粉的保管及其他费用为3 6x 6 x 1 6 x 2 6 1 9x x 1 设平均每天所支付的总费用为y元 所以该厂每10天购买一次面粉 才能使平均每天所支付的总费用最少 引申探究若受车辆限制 该厂至少15天才能去购买一次面粉 则该厂应多少天购买一次面粉 才能使平均每天所支付的费用最少 解答 设x1 x2 15 且x1 x2 15 x1 x2 x1 x2 0 x1x2 225 反思与感悟 应用题 先弄清题意 审题 建立数学模型 列式 再用所掌握的数学知识解决问题 求解 最后要回应题意下结论 作答 使用基本不等式求最值 要注意验证等号是否成立 若等号不成立 可考虑利用函数单调性求解 跟踪训练3一批货物随17列货车从a市以v千米 小时匀速直达b市 已知两地铁路线长400千米 为了安全 两列货车的间距不得小于千米 那么这批货物全部运到b市 最快需要 小时 8 设这批货物从a市全部运到b市的时间为t 则 所以这批货物全部运到b市 最快需要8小时 答案 解析 当堂训练 1 已知0 x 1 则f x 2 log2x 的最大值是 1 2 3 4 答案 解析 当0 x 1时 log2x 0 即 log2x 2 5 即x 时 等号成立 2 已知x 则f x 有 1 2 3 4 答案 解析 即x 3时等号成立 3 将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2 形状为直角三角形的框架 在下列四种长度的铁丝中 选用最合理 够用且浪费最少 的是a 6 5mb 6 8mc 7md 7 2m 1 2 3 4 答案 解析 1 2 3 4 4 设a 0 b 0 且不等式 0恒成立 则实数k的最小值等于a 0b 4c 4d 2 答案 解析 1 2 3 4 当且仅当a b时 等号成立 即实数k的最小值等于 4 故选c 规律与方法 1 用基本不等式求最值 1 利用基本不等式 通过恒等变形 以及配凑 造就 和 或 积 为定值 从而求得函数最大值或最小值 这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件 一正 各项为正数 二定 和 或 积 为定值 三相等 等号一定能取到 这三个条件缺一不可 2 利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件 解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的 拆项 添项 配凑 变形 等方法创建应用基