2-第二课时-分割与拼接操作型问题

第 1 页 共 19 页 第二课时第二课时 分割与拼接操作型问题分割与拼接操作型问题 一 选择题 共一 选择题 共 2 小题 小题 1 如图 在下列三角形中 若 AB AC 则能被一条直线分成两个小等腰三角形 的是 A 1 2 3 B 1 2 4 C 2 3 4 D 1 3 4 2 如图 一张矩形纸片沿 AB 对折 以 AB 中点 O 为顶点将平角五等分 并沿 五等分的折线折叠 再沿 CD 剪开 使展开后为正五角星 正五边形对角线所 构成的图形 则 OCD 等于 A 108 B 114 C 126 D 129 二 填空题 共二 填空题 共 3 小题 小题 3 如图 在四边形纸片 ABCD 中 AB BC AD CD A C 90 B 150 将纸片先沿直线 BD 对折 再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直 线裁剪 剪开后的图形打开铺平 若铺平后的图形中有一个是面积为 2 的平行 四边形 则 CD 第 2 页 共 19 页 4 如图是一张长方形纸片 ABCD 已知 AB 8 AD 7 E 为 AB 上一点 AE 5 现要剪下一张等腰三角形纸片 AEP 使点 P 落在长方形 ABCD 的某一条边 上 则等腰三角形 AEP 的底边长是 5 请用割补法作图 将一个锐角三角形经过一次或两次分割后 重新拼成一个 与原三角形面积相等的平行四边形 只要求用一种方法画出图形 把相等的线 段作相同的标记 三 解答题 共三 解答题 共 4 小题 小题 6 1 如图 ABC 纸片中 A 36 AB AC 请你剪两刀 分成 3 张小纸片 使每张小纸片都是等腰三角形 请画出示意图 并标明必要的角度 2 已知等腰 ABC 中 AB AC D 为 BC 边上一点 连接 AD 若 ACD 与 ABD 都是等腰三角形 则 B 的度数是 请画出示意图 并标明必要 的角度 3 现将 1 中的等腰三角形改为 ABC 中 A 36 从点 B 出发引一直线 可分成两个等腰三角形 则原三角形的最大内角的所有可能值是 直 接写出答案 第 3 页 共 19 页 7 阅读下面材料 小明遇到这样一个问题 如图 1 在边长为 a a 2 的正方形 ABCD 各边上分 别截取 AE BF CG DH 1 当 AFQ BGM CHN DEP 45 时 求正方形 MNPQ 的面积 小明发现 分别延长 QE MF NG PH 交 FA GB HC ED 的延长线于点 R S T W 可得 RQF SMG TNH WPE 是四个全等的等腰直角三 角形 如图 2 请回答 1 若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形 无缝隙不重叠 则 这个新正方形的边长为 2 求正方形 MNPQ 的面积 3 参考小明思考问题的方法 解决问题 如图 3 在等边 ABC 各边上分别截取 AD BE CF 再分别过点 D E F 作 BC AC AB 的垂线 得到等边 RPQ 若 S RPQ 则 AD 的长为 8 综合与实践 问题情境 在综合与实践课上 老师让同学们以 菱形纸片的剪拼 为主题开展数学活动 如图 1 将一张菱形纸片 ABCD BAD 90 沿对角线 AC 剪开 得到 ABC 第 4 页 共 19 页 和 ACD 操作发现 1 将图 1 中的 ACD 以 A 为旋转中心 按逆时针方向旋转角 使 BAC 得到如图 2 所示的 AC D 分别延长 BC 和 DC 交于点 E 则四边形 ACEC 的形状是 2 创新小组将图 1 中的 ACD 以 A 为旋转中心 按逆时针方向旋转角 使 2 BAC 得到如图 3 所示的 AC D 连接 DB C C 得到四边形 BCC D 发现 它是矩形 请你证明这个结论 实践探究 3 缜密小组在创新小组发现结论的基础上 量得图 3 中 BC 13cm AC 10cm 然后提出一个问题 将 AC D 沿着射线 DB 方向平移 acm 得到 A C D 连接 BD CC 使四边形 BCC D 恰好为正方形 求 a 的值 请你解答此问题 4 请你参照以上操作 将图 1 中的 ACD 在同一平面内进行一次平移 得到 A C D 在图 4 中画出平移后构造出的新图形 标明字母 说明平移及构图方 法 写出你发现的结论 不必证明 9 用如图 所示的两个直角三角形 部分边长及角的度数在图中已标出 完成以下两个探究问题 探究一 将以上两个三角形如图 拼接 BC 和 ED 重合 在 BC 边上有一动点 P 第 5 页 共 19 页 1 当点 P 运动到 CFB 的角平分线上时 连接 AP 求线段 AP 的长 2 当点 P 在运动的过程中出现 PA FC 时 求 PAB 的度数 探究二 如图 将 DEF 的顶点 D 放在 ABC 的 BC 边上的中点处 并以点 D 为旋转中心旋转 DEF 使 DEF 的两直角边与 ABC 的两直角边分别交于 M N 两点 连接 MN 在旋转 DEF 的过程中 AMN 的周长是否存在有最 小值 若存在 求出它的最小值 若不存在 请说明理由 第 6 页 共 19 页 第二课时第二课时 分割与拼接操作型问题分割与拼接操作型问题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 2 小题 小题 1 如图 在下列三角形中 若 AB AC 则能被一条直线分成两个小等腰三角形 的是 A 1 2 3 B 1 2 4 C 2 3 4 D 1 3 4 解答 解 根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理 等角对等 边 中 作底角的角平分线即可 中 不能 中 作底边上的高即可 中 在 BC 边上截取 BD AB 即可 故选 D 2 如图 一张矩形纸片沿 AB 对折 以 AB 中点 O 为顶点将平角五等分 并沿 五等分的折线折叠 再沿 CD 剪开 使展开后为正五角星 正五边形对角线所 构成的图形 则 OCD 等于 A 108 B 114 C 126 D 129 解答 解 展开如图 五角星的每个角的度数是 36 第 7 页 共 19 页 COD 360 10 36 ODC 36 2 18 OCD 180 36 18 126 故选 C 二 填空题 共二 填空题 共 3 小题 小题 3 如图 在四边形纸片 ABCD 中 AB BC AD CD A C 90 B 150 将纸片先沿直线 BD 对折 再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直 线裁剪 剪开后的图形打开铺平 若铺平后的图形中有一个是面积为 2 的平行 四边形 则 CD 2 或 4 2 解答 解 如图 1 所示 作 AE BC 延长 AE 交 CD 于点 N 过点 B 作 BT EC 于点 T 当四边形 ABCE 为平行四边形 AB BC 四边形 ABCE 是菱形 A C 90 B 150 BC AN ADC 30 BAN BCE 30 则 NAD 60 AND 90 第 8 页 共 19 页 四边形 ABCE 面积为 2 设 BT x 则 BC EC 2x 故 2x x 2 解得 x 1 负数舍去 则 AE EC 2 EN 故 AN 2 则 AD DC 4 2 如图 2 当四边形 BEDF 是平行四边形 BE BF 平行四边形 BEDF 是菱形 A C 90 B 150 ADB BDC 15 BE DE AEB 30 设 AB y 则 BE 2y AE y 四边形 BEDF 面积为 2 AB DE 2y2 2 解得 y 1 故 AE DE 2 则 AD 2 综上所述 CD 的值为 2 或 4 2 故答案为 2 或 4 2 第 9 页 共 19 页 4 如图是一张长方形纸片 ABCD 已知 AB 8 AD 7 E 为 AB 上一点 AE 5 现要剪下一张等腰三角形纸片 AEP 使点 P 落在长方形 ABCD 的某一条边 上 则等腰三角形 AEP 的底边长是 5或 4或 5 解答 解 如图所示 当 AP AE 5 时 BAD 90 AEP 是等腰直角三角形 底边 PE AE 5 当 PE AE 5 时 BE AB AE 8 5 3 B 90 PB 4 底边 AP 4 当 PA PE 时 底边 AE 5 综上所述 等腰三角形 AEP 的对边长为 5或 4或 5 故答案为 5或 4或 5 第 10 页 共 19 页 5 请用割补法作图 将一个锐角三角形经过一次或两次分割后 重新拼成一个 与原三角形面积相等的平行四边形 只要求用一种方法画出图形 把相等的线 段作相同的标记 解答 解 如图所示 AE BE DE EF AD CF 三 解答题 共三 解答题 共 4 小题 小题 6 1 如图 ABC 纸片中 A 36 AB AC 请你剪两刀 分成 3 张小纸片 使每张小纸片都是等腰三角形 请画出示意图 并标明必要的角度 2 已知等腰 ABC 中 AB AC D 为 BC 边上一点 连接 AD 若 ACD 与 ABD 都是等腰三角形 则 B 的度数是 45 或 36 请画出示意图 并标 明必要的角度 3 现将 1 中的等腰三角形改为 ABC 中 A 36 从点 B 出发引一直线 可分成两个等腰三角形 则原三角形的最大内角的所有可能值是 72 108 90 126 直接写出答案 第 11 页 共 19 页 解答 解 1 答案不唯一 只要符合题意均正确 2 45 或 36 3 72 108 90 126 7 阅读下面材料 小明遇到这样一个问题 如图 1 在边长为 a a 2 的正方形 ABCD 各边上分 别截取 AE BF CG DH 1 当 AFQ BGM CHN DEP 45 时 求正方形 MNPQ 的面积 小明发现 分别延长 QE MF NG PH 交 FA GB HC ED 的延长线于点 R S T W 可得 RQF SMG TNH WPE 是四个全等的等腰直角三 角形 如图 2 请回答 1 若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形 无缝隙不重叠 则 这个新正方形的边长为 a 第 12 页 共 19 页 2 求正方形 MNPQ 的面积 3 参考小明思考问题的方法 解决问题 如图 3 在等边 ABC 各边上分别截取 AD BE CF 再分别过点 D E F 作 BC AC AB 的垂线 得到等边 RPQ 若 S RPQ 则 AD 的长为 解答 解 1 四个等腰直角三角形的斜边长为 a 则斜边上的高为a 每个等腰直角三角形的面积为 a a a2 则拼成的新正方形面积为 4 a2 a2 即与原正方形 ABCD 面积相等 这个新正方形的边长为 a 2 四个等腰直角三角形的面积和为 a2 正方形 ABCD 的面积为 a2 S正方形 MNPQ S ARE S DWH S GCT S SBF 4S ARE 4 12 2 3 如答图 1 所示 分别延长 RD QF PE 交 FA EC DB 的延长线于点 S T W 由题意易得 RSF QET PDW 均为底角是 30 的等腰三角形 其底边长 均等于 ABC 的边长 第 13 页 共 19 页 不妨设等边三角形边长为 a 则 SF AC a 如答图 2 所示 过点 R 作 RM SF 于点 M 则 MF SF a 在 Rt RMF 中 RM MF tan30 a a S RSF a a a2 过点 A 作 AN SD 于点 N 设 AD AS x 则 AN AD sin30 x SD 2ND 2ADcos30 x S ADS SD AN x x x2 三个等腰三角形 RSF QET PDW 的面积和 3S RSF 3 a2 a2 S RPQ S ADS S CFT S BEW 3S ADS 3 x2 得 x2 解得 x 或 x 不合题意 舍去 x 即 AD 的长为 故答案为 a 8 综合与实践 问题情境 在综合与实践课上 老师让同学们以 菱形纸片的剪拼 为主题开展数学活动 如图 1 将一张菱形纸片 ABCD BAD 90 沿对角线 AC 剪开 得到 ABC 和 ACD 操作发现 第 14 页 共 19 页 1 将图 1 中的 ACD 以 A 为旋转中心 按逆时针方向旋转角 使 BAC 得到如图 2 所示的 AC D 分别延长 BC 和 DC 交于点 E 则四边形 ACEC 的形状是 菱形 2 创新小组将图 1 中的 ACD 以 A 为旋转中心 按逆时针方向旋转角 使 2 BAC 得到如图 3 所示的 AC D 连接 DB C C 得到四边形 BCC D 发现 它是矩形 请你证明这个结论 实践探究 3 缜密小组在创新小组发现结论的基础上 量得图 3 中 BC 13cm AC 10cm 然后提出一个问题 将 AC D 沿着射线 DB 方向平移 acm 得到 A C D 连接 BD CC 使四边形 BCC D 恰好为正方形 求 a 的值 请你解答此问题 4 请你参照以上操作 将图 1 中的 ACD 在同一平面内进行一次平移 得到 A C D 在图 4 中画出平移后构造出的新图形 标明字母 说明平移及构图方 法 写出你发现的结论 不必证明 解答 解 1 如图 2 由题意可得 1 2 2 3 1 4 AC AC 故 AC EC AC C E 则四边形 ACEC 是平行四边形 故四边形 ACEC 的形状是菱形 故答案为 菱形 2 证明 如图 3 作 AE CC 于点 E 由旋转得 AC AC 则 CAE C AE BAC 第 15 页 共 19 页 四边形 ABCD 是菱形 BA BC BCA BAC CAE BCA AE BC 同理可得 AE DC BC DC 则 BCC 90 又 BC DC 四边形 BCC D 是平行四边形 BCC 90 四边形 BCC D 是矩形 3 如图 3 过点 B 作 BF AC 垂足为 F BA BC CF AF AC 10 5 在 Rt BCF 中 BF 12 在 ACE 和 CBF 中 CAE BCF CEA BFC 90 ACE CBF 即 解得 EC AC AC AE CC CC 2CE 2 当四边形 BCC D 恰好为正方形时 分两种情况 点 C 在边 C C 上 a C C 13 13 第 16 页 共 19 页 点 C 在 C C 的延长线上 a C C 13 13 综上所述 a 的值为 或 4 答案不唯一 例 如图 4 画出正确图形 平移及构图方法 将 ACD 沿着射线 CA 方向平移 平移距离为AC 的长度 得到 A C D 连接 A B D C 结论 BC A D BC A D 四边形 A BCD 是平行四边形 9 用如图 所示的两个直角三角形 部分边长及角的度数在图中已标出 完成以下两个探究问题 探究一 将以上两个三角形如图 拼接 BC 和 ED 重合 在 BC 边上有一动点 第 17 页 共 19 页 P 1 当点 P 运动到 CFB 的角平分线上时 连接 AP 求线段 AP 的长 2 当点 P 在运动的过程中出现 PA FC 时 求 PAB 的度数 探究二 如图 将 DEF 的顶点 D 放在 ABC 的 BC 边上的中点处 并以