讲稿2-质点动力学

第 3 章 质点动力学 26 第三章 质点动力学第三章 质点动力学 内容 内容 3 1 牛顿运动定律的内容 2 课时 3 2 力学量的单位和量纲 1 课时 3 3 几种常见的力 1 课时 3 4 牛顿运动定律应用举例 4 课时 3 5 力学相对性原理 1 课时 3 6 惯性系 非惯性系 惯性力 1 课时 要求 要求 1 掌握牛顿运动定律的内容 2 理解国际单位制的物理量的单位和力学量的量纲 3 掌握力学中常见的几种力 4 会用牛顿运动定律来解动力学问题 5 理解惯性参考系的概念 6 理解力学相对性原理 7 了解非惯性系和惯性力的概念 重点与难点 重点与难点 1 牛顿运动定律的内容 2 牛顿运动定律的应用 3 惯性系的概念和惯性力 作业 作业 P121 1 2 P122 4 5 6 P123 7 8 P124 10 11 15 P125 16 第 3 章 质点动力学 27 第三章第三章 牛顿定律牛顿定律 第一章讨论了质点运动学 介绍了描述质点运动的四个物理量 位置矢量 位移 速度 和加速度 并且讨论了直线运动与曲线运动 抛体运动与圆周运动的一般规律 但是没有涉 及质点运动状态发生变化的原因 本章讨论物体之间的相互作用 以及这种相互作用所引起的物体的运动状态发生变化的 规律 力学中的这部分内容叫做动力学 动力学的任务 研究物体之间的相互作用 以及由于这种相互作用所引起的物体运动状 态变化的规律 动力学的研究对象 质点 组 牛顿运动定律是质点动力学的基础 也是研究一般物体作机械运动的基础 本章讨论牛顿运动定律的内容及其对质点运动的初步应用 牛顿牛顿 Isaac Isaac NewtonNewton 16421642 1727 1727 杰出的英国物理学家 数学家 天文学家 经典物理学的 奠基人 是科学发展史上举世闻名的巨人 他奠定了近代科学 理论基础 在数学方面 牛顿是微积分的创始人之一 同莱布 尼兹一道名垂千古 在物理学方面 牛顿取得了力学 热学 光学等多方面的巨大成就 重要贡献 自然哲学的数学原理 万有引力定律 总结伽利略和开普勒的理论和经验 用 数学方法描述天体运动的规律 牛顿运动三大定律 经典力学的基石 热学 确立了冷却定律 光学 光的色散 色差及牛顿环 光的微粒说 反射式望远镜 微积分 我不知道世人将如何看我 但是 就我自己看来 我好象不过是一个在海滨玩耍的小孩 不时地为找到一个比通常更光滑的贝壳而感到高兴 但是 有待探索的真理的海洋正展现在 我的面前 1642年12月25日出生 1661年进入剑桥大学三一学院 1665年获文学学士 1668年获硕 士学位 1669年晋升为数学教授 1670年担任了卢卡斯讲座教授 1672年被选为皇家学会会 员 1689年被选为代表剑桥大学的国会议员 1696年他被任命为造币厂督办 1699年担任了 造币厂厂 长 1701年牛顿辞去剑桥大学教授职位 退出三一学院 1703年被选为皇家学会 会长 1705 年受封勋爵 成为贵族 1727年3月20日逝世于肯辛顿村 终年85岁 终生未娶 第 3 章 质点动力学 28 3 3 1 牛顿定律牛顿定律 引言 1687 年 牛顿在他的名著 自然哲学的数学原理 Principia Methemetica Philosophia naturalis 一书中 发表了三条运动定律 这三条运动定律构成了质点运动学的 基础 也开始了牛顿力学时代 在行星运动以及其它很多方面取得了巨大的成功 预言海王 星的存在可以说是牛顿力学的辉煌顶点 但是牛顿力学也存在本质的困难 水星的近日点进 动的周期的计算无法与观察值吻合 数学上的微积分方法就是牛顿为了解决动力学问题而引进的一种数学方法 一 牛顿第一定律 一 牛顿第一定律 Newton First Law 惯性定律惯性定律 凡运动着的物体必然都有推动者在推动它运动 古希腊哲学家 Aristotle 公元前 384 公元前 322 的这个论断 在 2000 年的时间内被认为是不可怀疑的经典 直到 300 多年 前 G Galileo 1564 1642 在实验与观察的基础上 作了大胆的假设与推理 向这个论 断提出了挑战 Galileo 注意到 当一个球沿斜面向下滚动时速度增大 沿斜面向上滚动时 速度减小 他由此推论 当球沿水平面滚动时 其速度应该是即不增大又不减小 在实验中 球之所以会越来越慢直到最后停下来 他认为这并非是球的 自然本性 而是由于摩擦力 的缘故 Galileo 观察到 表面越光滑 球会滚得越远 于是 他进一步推论 若没有摩擦 力 球将永远滚下去 Galileo 的这一正确的理论 在隔了一代人之后 由牛顿总结成为力学的一条基本定律 惯性定律 1 内容 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态 直到其他物体的相互作用迫使它任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态 直到其他物体的相互作用迫使它 改变运动状态为止 改变运动状态为止 2 说明 1 惯性 第一定律表明 任何物体都具有保持其静止或匀速直线运动状态不变的性质 这 个性质叫做惯性 Inertia 所以牛顿第一定律也叫做惯性定律 Law of Inertia 惯性是物质的固有属性 它正是物质与运动不可分离的反映 它反映了物体改变运动状 态的难易程度 质量小 运动状态 速度 容易改变 惯性小 质量大 运动状态 速度 不易改变 惯性大 质量是惯性的量度 惯性质量 Inertial Mass 2 第一定律说明了力 Force 的概念和力的作用 第一定律还表明 正是由于物体具有惯性 所以要使物体的运动状态发生变化 一定要 有其它物体对它作用 这种作用叫做力 力的概念 力是物体与物体之间的相互作用 力的作用 力是使物体运动状态发生变化即使物体产生加速度的原因 但不是维持速度 的原因 3 牛顿第一定律也定义了一种特殊的参考系 惯性系 2 4 在这种参考系中观察 一个不受合外力作用的物体将保持静止和匀速直线运动状态不变 4 力的平衡状态 静力学 没有受到外力作用 自由质点 质点所受的合外力为零 5 牛顿第一定律的数学表达式 F 0 v 恒量 第 3 章 质点动力学 29 二 牛顿第二定律 二 牛顿第二定律 Newton Second Law 加速度定律加速度定律 1 引入 第一定律只说明了物体不受外力作用时的情形 那么当物体受到外力作用时 物 体的运动状态将怎样发生变化呢 牛顿通过许多实验 总结出他的第二定律 2 内容 物体所获得的加速度的大小与作用在物体上的合外力的大小成正比 与物体的质物体所获得的加速度的大小与作用在物体上的合外力的大小成正比 与物体的质 量成反比 加速度的方向与合外力的方向相同 量成反比 加速度的方向与合外力的方向相同 其数学表达式为 F ma m 惯性质量 inertial mass 第二定律是在第一定律的基础上 进一步阐明了在力的作用下物体运动状态变化的具体规律 确立了力 质量和加速度三者之间的关系 是牛顿运动定律的核心 其方程也成为质点动力 学的基本方程 标量形式为 直角坐标系中 自然坐标系 zz yy xx maF maF maF 2 d d v mmaF t v mmaF nn 引入动量概念 P mv 以后 牛顿第二定律可以写成 F dP dt 即动量对时间的变化率 3 质量的物理意义 由牛顿第二定律可知 质量大的物体抵抗运动变化的性质强 也就是它的惯性大 所以 说 质量是物体惯性大小的量度 因此牛顿第二定律中的质量为惯性质量 4 说明 1 对应性 每一个力都将产生自己的加速度 2 矢量性 某个方向的力 只能改变该方向上物体的运动状态 只能在该方向上使物体获 得加速度 3 瞬时性 牛顿第二定律说明合外力是与加速度相伴随的 有合外力作用时 就必定有加 速度 力和加速度同时产生 同时变化 同时消失 无先后之分 至于速度的大小和方向 与合外力并没有直接的联系 4 牛顿第二定律只适用于质点的运动 并且只在惯性系中成立 三 牛顿第三定律 三 牛顿第三定律 Newton Third Law 作用力与反作用力定律作用力与反作用力定律 1 引入 第一定律说明物体只有在外力的作用下才改变其运动状态 第二定律给出了物体 的加速度与作用在物体上合外力之间的关系 牛顿第三定律则说明了力具有物体间相互作用 的性质 2 内容 两个物体之间的作用力与反作用力 沿同一直线 大小相等 方向相反 分别作两个物体之间的作用力与反作用力 沿同一直线 大小相等 方向相反 分别作 用在两个物体上用在两个物体上 3 说明 作用力和反作用力具有的特点 1 作用力与反作用力是矛盾的两个方面 它们互以对方的存在为自己存在的条件 同时产 生 同时消灭 任何一方都不能孤立地存在 2 作用力与反作用力是同一种性质的力 3 作用力与反作用力分别作用在两个不同的物体上 它们不能互相抵消 4 牛顿第三定律对任何参考系都成立 注意 1 牛顿运动定律中 第二定律是核心 是质点动力学的基本方程 通常处理动力学问题时 要把这三个定律结合起来考虑 第 3 章 质点动力学 30 2 牛顿三大定律只适用于宏观 低速领域 当物体的运动速度接近光速或研究微观客体的 运动时 需要分别应用相对论力学和量子力学规律 第 3 章 质点动力学 31 3 3 2 物理量的单位和量纲物理量的单位和量纲 一 国际单位制 一 国际单位制 SI System of International Units 1 基本量与基本单位 Physical Quantity Unit 物理学中的物理量较多 可以把物理量分成许多类 从每一类中选出某一特定的量作为 一个称之为 单位 的参考量 其测量值可以表示为 Q 数值 单位 由于各个物理量之间存在着规律性的联系 所以不必为每个物理量的单位都独立地予以 规定 可以选定一些物理量作为基本量 并规定一个基本单位 规定的一组数目最少的物理量作为基本量 其单位规定为基本单位 规定的一组数目最少的物理量作为基本量 其单位规定为基本单位 国际单位制 法文 Le Systeme International d Unites 7 个 1954 年国际计量大会决定 1978 年 1 月 1 日实行 1984 年 2 月 27 日 我国国务院颁布 实行以 SI 制为基础的法定单位制 长度质量时间热力学温 度 电流物质的 量 发光强 度 米千克秒开安培摩尔坎德尔 MKgsKAmolcd 2 SI 辅助单位 平面角弧度rad 立体角球面度Sr 3 导出量与导出单位 其他由通过物理定义或物理定律导出的物理量叫做导出量 其单位称为导出单位 其他由通过物理定义或物理定律导出的物理量叫做导出量 其单位称为导出单位 如 物理量定义或定律单位 速度v dr dtm s 1 加速度 a dv dtm s 2 力F maN 1N 1kg m s 2 功W F SJ 1J 1N m 基本单位和导出单位就构成了一套单位制 System of Units 4 SI 词头 吉兆千毫微纳皮飞 GMKm nPf 9 10 6 10 3 10 3 10 6 10 9 10 12 10 15 10 Gig a Meg a KiloMilimicr o Nan o PicoFemto 二 力学量的量纲二 力学量的量纲 由于物理量之间存在着规律性的联系 因此在选定了一个单位制的基本量之后 其它物 理量都可以通过一定的物理关系与基本量联系起来 为了定性地描述物理量 特别是定性地 给出导出量与基本量之间的关系 可以引入量纲的概念 在不考虑数字因素时 表示一个物 理量是由哪些基本量导出的以及如何导出的式子 称为该物理量的量纲式 长度 L 质量 M 时间 T 温度 电流 I 物质的量 N 发光强度 J 其他力学量 Q L pM qT s p q s 称为量纲指数 第 3 章 质点动力学 32 例如 速度 v r t LT 1 加速度 a v t LT 2 说明 1 量纲的引入给不同的单位制换算带来了方便 2 只有量纲相同的物理量才能相加减或用等号相连接 3 量纲可以用来帮助记忆与推导公式 4 ex lnx 的 x 都应是无量纲的量 利用量纲可以检验方程的准确性 并且通过量纲分析 也可以得到一些有用的结论 即 有时可以不必知道定律与物理机制的细节 仅从量纲分析就可以得到一些有用的信息 因此 可以作出一些定性的判断 第 3 章 质点动力学 33 3 3 3 几种常见的力几种常见的力 一 力的基本概念一 力的基本概念 1 力的定义 力是物体与物体之间的相互作用力是物体与物体之间的相互作用 自然界存在四种相互作用 Interaction 力的种类强相互作 用 电磁相互作用弱相互作 用 引力相互作 用 相对强度110 210 1210 40 作用范围 m 10 15长0 N mg 向上加速或向下减速 超重 Overweight a 0 N mg 向上减速或向下加速 失重 Weightlessness 当升降机自由降落时 人对地板的压力减为 0 此时人处于完全失重状态 例 2 如图所示 长为 的轻绳 一端系一质量为 m 的小球 另一端系于定点 O 开始时l 小球处于最低位置 若使小球获得如图所示的初速 v0 小球将在竖直平面内作圆周运 动 求小球在任意位置的速率及绳的张力 解 以小球为研究对象 在任意 位置 小球受重力和绳的张力的作用 根据牛顿第二定 律可以写出小球的在法向和切向的运动方程 1 l v mmamgT n 2 cos 2 t v mmamg d d sin 由 2 式可得 3 sin d d g t v 又因为 d d d d d d d d d dv l vv t v t v 于是 3 式可写成 d sindglvv 由初始条件 积分 0 dsind 0 glvv v v 得 1 cos2 2 0 glvv 代入 1 式 得 cos32 2 0 gg l v mT 讨论 上升过程中 小球速率减小 绳的拉力逐渐减小 上升下降中 小球速率增大 绳的拉力逐渐增大 例 3 如图所示 质量分别为 m1 4kg 与 m2 1kg 的物体用一轻绳相连 放在光滑的水平面上 用一水平力 F 10N 拉 m1动向右运动 求绳子的张力 解 1 确定研究对象 以 m1和 m2为研究对象 2 受力分析 用隔离体法分析 m1和 m2的受力情况 m1 拉力 F 张力 T m2 张力 T 3 列方程 m1和 m2以加速度 a 运动 对 m1 F T m1a 对 m2 T m2a 根据牛顿第三定律 有 T T 4 解方程 F m1 m2 a 所以 a F m1 m2 10 4 1 2m s 2 因而绳子的张力为 T m2a 1 2 2N 第 3 章 质点动力学 39 5 讨论 若 m1 1kg m2 4kg 则 T m2a 4 2 8N 结论 前面的物体质量大时 绳子的拉力小 应用 火车启动时 要后退 例 4 物体在粘滞流体中的运动 物体在流体中运动时 要受到流体阻力的作用 一般来说 流体阻力的大小与物体的尺 寸 形状 速率以及流体的性质有关 当速率不太大时 流体阻力主要是粘滞阻力 对于球 形的物体 当其速率不太大时 粘滞阻力由 Stokes 公式给出 f 6 r v 阻力的方向与物体运动的方向相反 式中 r 为球形物体的半径 v 为其 速率 为流体的粘滞系数 与流体本身性质有关 并和温度有关 系 当温度增加时 液体的 降低 气体 的升高 问题 一个质量为 m 半径为 r 的球形容器 由水面静止释放 试求此 容器的下沉速度与时间的关系 假设容器竖直下沉 其路径为直线 解 受力分析 容器受到三个力的作用 重力 mg 方向竖直向下 浮力 B m g 大小为物体所排开水的重量 方向竖直向上 粘滞阻力 f 6 r v bv 方向竖直向上 重力与浮力的合力 F0 mg m g 为恒量 根据牛顿第二定律 可得 F0 f ma 即 t v mbvF d d 0 因而有 d d 0 b F v m b t v 分离变量 得 t m b b F v v d d 0 积分 tv t m b b F v v 00 0 d d 得 tmb e b F v 0 1 速度与时间的关系如图所示 从图中可以看出 1 时间增大时 速度增大 1 当 t 时 速度趋向极限速度 vL F0 b 第 3 章 质点动力学 40 3 6 非惯性系非惯性系 惯性力惯性力 一 非惯性系 一 非惯性系 Nonlinertial System 相对于惯性系作加速运动的参考系就是非惯性系 在非惯性系中 牛顿运动定律不 能适用的 二 平动加速系的惯性力 二 平动加速系的惯性力 Inertial Force 1 引入 设非惯性系相对于惯性系以加速度 a 运动 则物体在非惯性系系中加速度 a 和物体在 惯性系中的加速度满足a a a a 在惯性系中 F ma 即 F m a a 或 F ma m a 为了在非惯性系中方便地求解力学问题 引入一个叫作惯性力的虚拟力 2 定义 假设参考系以加速度 a 相对于惯性系运动 则可认为作用在物体上的惯性力为 Fi ma 方向与的方向相反 a 引入惯性力以后 如果作用在物体上的合外力为 F 则在非惯性系中 可以应用牛顿第 二定律 F Fi ma 其中 a 为物体相对于非惯性系的加速度 3 说明 惯性力是非惯性系中物体所受的一种力 这种力是由于非惯性系相对于惯性系的加速运 动引起的 它不是物体之间的一种相互作用力 所以它没有施力者 也没有反作用力 故惯 性力是虚拟的力 但是在非惯性系中 惯性力是可以测量的 实质上 在非惯性系中惯性力 的效应 从惯性系来看完全是惯性的一种表现 例题 如图 a 所示的三棱柱以加速度 a 沿水平面向左运动 它的斜面是光滑的 若质量为 m 的物体恰好能静止于斜 面上 求物体对斜面