【毕业学位论文】(Word原稿)数学认知CPFS 结构对数学迁移的影响-中学数学教学

四川师范大学硕士学位论文 学号： 分 类 号： 密级： 公开 学校代码： 10636 四川师范大学 硕 士 学 位 论 文 构对数学迁移的影响 于 静 学 生 类 别 教 育 硕 士 培 养 单 位 四川师范大学数科院 指 导 教 师 张 红 职称 教 授 专 业 名 称 学科教学数学 研 究 方 向 中学数学教学 论文完成日期 2010 年 2 月 1 日 四川师范大学硕士学位论文 四川师范大学 硕 士学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得 四川师范大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 签字日期： 年 月 日 四川师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 四川师范大学 有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权 四川师范大学 可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 本人同意本人的硕 士学位论文提交中国学术期刊（光盘版）电子杂志社在中国优秀博硕士学位论文全文数据库中全文发表。中国优秀博硕士学位论文全文数据库可以以电子、网络及其他数字媒体形式公开出版，并同意编入国知识资源总库，在中国博硕士学位论文评价数据库中使用和在互联网上传播，同意按“中国优秀博硕士学位论文全文数据库出版章程”规定享受相关权益。（保密的学位论文在解密后适用本授权书） 学位 论文作者签名： 导师签名： 签字日期： 年 月 日 签字日期： 年 月 日 四川师范大学硕士学位论文 目 录 中文摘要 . 4 绪 言 . 6 第一章 数学学习迁移的基本理论 . 7 习迁移的一般概念 . 7 习迁移的分类 . 7 学学习迁移的心理学基础 . 8 统的学习迁移理论 . 8 代认知迁移理论 . 9 第二章 构的一般理论 . 11 学认知结构的基本概念 . 11 学认知结构的特点 . 12 构的基本概念 . 12 念域与概念系 . 13 题域与命题系 . 13 构是一种优良的数学认知结构 . 14 第三章 构对数学学习迁移的相关性研究 . 15 究背景 . 15 究内容 . 15 究方法 . 16 试 . 16 料及编制过程 . 16 试方法 . 17 究结果 . 17 中生的 构与数学学习迁移的相关性 . 17 理科学生 构的差异性及数学学习迁移的差异性 . 18 构对高中生数学数学学习迁移的影响 . 20 论 . 22 第四章提高学生 构促进学生学习迁移的发生的策略研究 . 23 于剖解知识间的抽象关系 . 23 题的提出和概念的界定 . 23 象关系促进迁移发生的案例分析 . 24 重问题情景教学 . 25 题的提出及情景教学的概念和理论基 础 . 25 景式教学对完善学生 构的作用 . 26 景”的表现形式及案例分析 . 26 重变式教 学 . 30 式教学的概念和作用 . 30 式教学应遵循的原则 . 31 四川师范大学硕士学位论文 式教学的教学途径及案例分析 . 31 第五章 构对学习迁移的实验研究 . 34 验目的 . 34 验设计 . 34 验假设 . 34 关变量 t 的控制 . 34 试 . 35 料 . 35 施过程 . 35 验前测 . 35 验处理及实验时间 . 35 验后测 . 35 验结果 . 36 验班与对照班的前测数学成绩比较 . 36 题解答情况分析 . 37 验不足与思考 . 39 附录 1 个体 构前测试题 . 40 附录 2 高中生数学迁移能力测试 . 42 四川师范大学硕士学位论文 中文摘要 “为迁移而教”已经越来越成 为 中学教学的一面旗帜，一个标杆。迁移对中学教学的意义和影响 越来越大，迁移无处不在，不存在没有迁移 的 学习。迁移是检测学生学习效果和思维能力的最有力的工具。 但是现在的 教育 教学 中 违背迁移规律 的 现象还很多。 如何提高学生的迁移水平 早就成为 我们从事教育工作的人思考和研究的一个主 题。 纵观教育心理学的发展过程，影响迁移的因素很多。 本文首先 阐述 了 迁移的一般概念和 历史上比较有名的 迁移理论 :形式训练说、相同要素说、概括说等 ，其中 发展比较完善的理论是现代迁移理论即 现代 认知迁移理论。其次本文详细阐述了认知结构的一般理论 ， 特别是喻平教授首创的 构理论。 接着用实证的方法阐述了 构和学生学习迁移的 相关性 。即有着优良的 并揭示了学生的 构 和迁移能力 的差异性都 是很明显的。着眼于这些结论和事实，本文接着阐述 了 完善学生的 构 提高学生学习 迁移水平的策略。 诸如注重知识间抽象关系的策略、情景式教学的策略、变式教学的策略等。最后经过一学年的教学试验，在两个平行的文科班进行 了 完善学生 高了学生的数学迁移水平。并用数据分析软件即 关键词：迁移、认知结构、 构、教学策略、试验研究 四川师范大学硕士学位论文 to a a of to is an in is is a of of in to s is in of in of of or of s a of is in in s on of to as to of a s in of I to 四川师范大学硕士学位论文 绪 言 很多教育心理学家认为：“ 凡是有教育的地方就会有迁移，从不存在相互间不产生影响的学习。 ” 1因此现在许多教育心理学家提出教学要“为迁移而教”的观点，由此我们也可以看出学习迁移规律在教学中的的地位和作用。中学数学教育的目的 ：一是使学生牢固地掌握基础知识， 形成基本技能 ；二是使学生的智力和潜能得到发 展，更重要的一点是使学生掌握一种思维方式，从而为学生走出校门后的发展奠定基础。在平时教学中，经常有学生问我：“老师，我们长大以后走上工作岗位，很多都是用不到数学知识啊，为什么我们现在要这么拼命的学数学知识呢 ？”我跟他们讲：“没错随着时间的推移，数学知识肯定都淡忘了，但留在你思想里的数学思维方法会 迁移到你从事的工作之中，使你终身受益哦。”在中学的数学学习中 有 着 大量的丰富的数学思想、 数学原理以及缜密的数学方法 ， 如果为学生所掌握，必将促进其智力的发展，对其今后的学习和工作也将起到重要的促进作用，相反的话则会起到阻碍的作用。实际上，这 些都 是学习迁移的结果。迁移 定了数学学习能否顺利的实现，也就是我们常讲的正迁移。只有顺利的实现迁移，才能使得学生更好的检验和运用已有的知识和经验 ，并进一步完善它们。同时迁移也是将数学思维、数学知识以及数学技能从掌握过渡到能力形成的重要环节。 如果说 “发展智力” 与 “提高素质” 是学校教学的最重要的方向性目标的话，那如 何检验学校这一方向性目标呢？学习迁移就是检验教学是否达到这个目标的最可靠的指标。从目前来说，对迁移规律认识不透或重视不够的现象，在我国中学的数学教学中这一现象是普遍存在的。针对这一情况，本文首先从理论上阐明了迁移的概念、研究的重要意义以及几种大家公认的迁移理论 :共同因素说、概括说、关系转换说、学习定势说等。其次分析了影响迁移的原因。本文主要从 认知心理学的角度阐述了数学认知结构 （ 构） 对数学迁移的影响，并通过实验对整个问题做了实证研究。最后发表了如何完善学生的数学认知结构，有哪些策略和方法。并对此做了实验研究和验证。 四川师范大学硕士学位论文 第一章 数学学习迁移的基本理论 习迁移的一般概念 学习迁移 :学习迁移 (单的说就是 :一种学习对于另一种学习的影响。 2数学中我们经常会用到迁移，比如学习完等式的性质经常会迁移到不等式的性质中，学习平面几何的性质也会向立体几何迁移，函数会向方程不等式迁移等等。我们习惯上认为迁移都是前 期学习对后期学习的影响，而且一般是正面的迁移即正迁移。其实不然，迁移可以是指学习者已经获得的知识、动作技能、情感和态度对新的学习的影响，也表现为后继的学习对先前学习的影响。这种影响可以是积极的也可以是消极的即负迁移。比如解方程 92x 3x ；但解不等式 392 不对了，这就是先前学习的知识对后继所学知识产生的负迁移；再比如学习用区间 表示数集以后，就 有学生就用 2,2 表示原来学过的单元数集 2 ，这就是后来的知识对先前知识产生迁移而且也是负迁移。这些涉及到后面要讲到的迁移的分类。 习迁移的分类 根据不同的角度，对迁移的分类也不同。主要有以下几种方式 :如前所述按迁移的方向，数学学习迁移可以分为顺向、逆向迁移。 按迁移的效果可以分成正迁移和负迁移。 除此之外，加涅按迁移的方向将正迁移分成了横向迁移和竖向迁移 3，前者指 个体把学到的经验和方法推广到内容和难度相当的情景之中。 而后者是不同难度的内容之间的相互影响，可以是 低级的概念或规则向高级的概念或规则的迁移， 是对已学内容的概括总结并形成更一般的方法和原理 的迁移 。 如掌握了一元二次不等式的解法有助于解高次多项式不等式和高次分式不等式。 也可以指 概念或原理在 层次较低的 情境中的应用。 美国著名认知心理学家布鲁纳按迁移的内容将迁移分成特殊迁移 与非特殊迁移 4。前者 是指 某一原理和方法直接在相同或相 似情景中的迁移，后者指 不单单是 某一原理的直接迁移， 还可能是 涉及到态度、观念、动机、策略等方面的迁移 ， 是特殊知识与技能 等 的 双重 迁移，也是一种潜在的迁移。而且 现在对非特殊迁移的关注越来越多。 有的心理学家按迁移的范围提出近迁移和远迁移的划分， 5前者指己习得的知识技能在与原先学习情境相似的情境中的运用，后者指己习得的知识、技能在四川师范大学硕士学位论文 新的不相似情境中的运用。 但我们也可以看出，这些迁移只是涉及到了迁移现象的外在形式， 没有触及其 内在 本质的东西，人们试图根据迁移的 心理 机制 来对迁移进行分类，但是 受迁移 理论 及认知结构 理论 发展的局限 至今研究成果还不是很令人满意。 学学习迁移的心理学基础 统的学习迁移理论 在不同的历史时期曾产生过各种不同学习迁移理论，这些迁移理 论在各种不同的学习理论的支撑下， 各执一词、 各有千秋但也有他们的局限性和片面性，这也符合科学发展的一般规律性 ， 最终它们 对我们的实际生活都 曾经 有一定的指导意义。起源于 18 世纪的形式训练说在欧洲和北美 已 盛行了约 200 年， 可以说是最古老的迁移理论， 一直到现在这一迁移理论在国内外 仍有一定的影响，是由德国的沃尔夫提出来的。它认为，每个人先天都具有一系列诸如注意力、记忆力、推理力、想象力等官能，这些官能只要经过一个“形式训练”过程就能得到训练，就像肌肉那样通过训练就可以得到发展和加强。同时这种效果可以无条件地迁移至其他官 能上，使其他整体官能也有得到发展。学习迁移就是通过对组成个体心理的各种官能的训练，使个体具有在不同的学习中认出相同或相似的东西的能力而自动实现迁移。至于学习的内容很容易被遗忘的所以是否符合实际需要并不重要，重要的是它是否具有训练官能的价值。于是，数学中的难题成了训练最好的材料，在这样的训练中， 学生的各种官能在做题中得到训练，而且是高强度的训练。 这种迁移说将把我们推向题海战。 形式训练说 认为学习的迁移是通过学习者认出形式上相似的东西而自动实现的， 形式训练说片面地强调了“心理机能的迁移”而否认了意识的作用，因此是 一种唯心的形而上学的观念 。 学习迁移的“相同要素说” 是由 19世纪末 20世纪初美国著名心理学家桑代克提出的 ，它认为，一种学习之所以能影响到另一种学习，是因为这种学习情境和另一种学习情境存在共同成份。 一个情景与另一情景相同要素越多，迁移量也就越大。 学生学习复数的有关知识，如四则混合运算的定义和运算律，如果能和平面向量的 坐标运算 有关知识联系起来 ，发现两种知识之间的相似程度越高，越容易产生联接，从而 越容易 掌握复数的 相 类似的性质。 它对上面的形式训练说持批判态度，认为每个人先天的官能的训练并不与形式上的训练量成正比，有 时训练的越多反而会抑制或损害某种官能机制，同时官能的训练也不一定能迁移到其他形同名称官能中去。 但相同要素说基于刺激相似且反应也相似时迁移才发生，四川师范大学硕士学位论文 未能充分考虑学习者内在学习的过程和影响，所以有失偏颇 。 1908 年贾德 (计了著名的“水下击靶”实验。他将小学高年级的学生分成甲、乙两组练习水下击靶，甲组学生给他们事先讲解光在水下的折射原理，而乙组不给他们讲解只让他们机械的训练，当他们的成绩达到相同时加深水的深度，最后甲组的成绩明显优于乙组成绩。贾德说：“ 理论（指折射原理）曾经把有关的全部经验 水外的、深水的与浅水的经验 组织成为整体的思维体系。他们（被试）知道靶子在水中的移动速度不同，因而遇到第二种深度的水的时候就能有效地应付了。换言之，他们在理论的高度上把握理解了实际情况后就能利用概括了的经验去迅速地解决需要按实际情况作分析和调整的新问题。 ”根据这一原理，个体对知识的概括和解释程度越强，知识的迁移就越容易发生。 能否在两种学习 A、 B 活动中概括总结出 共同的 一般性原理 C 是产生迁移的关键 。例如，学生 学会了用 “消元” 的思想 解二元一次方程组的一般原理，接着 在解 三元一次方程甚至二元二次方程组时就能把“消 元” 思想 迁移过去 。迁移的概括化理论 是目前最有说服力和前途的理论， 己被许多心理学家接受，特别被格式塔心理学家所接受 。 格式塔心理学家认为 迁移的重要之处 ，不在于掌握原理，而在于觉察到手段与目的之间的关系，他们强调迁移不是由两个学习情境具有共同成分、原理而自动产生的某种东西， “顿悟”是迁移的一个决定因素。“顿悟”就 是学习者突然发现两个学习经验之间存在某种关系 ， 即两个学习情境突然被联系起来的意识 。 6上述的这些传统学习迁移理论尽管对迁移过程的认知成份有一定的片面性或局限性，甚至有唯心的一面，但是却为我们学习迁移理论 和完善迁移理论提供了充分的理论基础和参照系统。 代认知迁移理论 现代认知迁移理论一般是以布鲁纳和奥苏伯尔为代表。奥苏伯尔指出：“过去的经验影响着新的有意义的学习和保持，或者说对这种学习和保持起着积极或消极的作用，因为它可以影响认知结构的有关特征。因此，认知结构在迁移中起着决定性的作用 7。” 奥苏伯尔认为：先前的经验不是孤立的而是按照一定的层次和新的学习任务有机联系在一起的。不是最近的一组经验从刺激到反应的一种联接。过去的经验特征也不是前后两个学习的相似程度，而是学生在一定知识领域的认知结构的 组织特征，如清晰性、稳定性、概括性、包容性等。在课堂教学中，并不存在互不相关的两种学习。在学校学习中很少存在像在实验室条 件下严格的迁移。凡是认知结构影响到新的认知功能，就会存在迁移。根据现代认四川师范大学硕士学位论文 知结构迁移理论可知：只要有学习的地方就会有迁移，迁移无处不在。这跟我们现在的观念是很吻合的。迁移主要受学生认知结构的影响。迁移不是单向的，可以是前期经验对后期经验的影响，也可以是后期经验对前期经验的影响，而且这种影响有时是积极的有时是消极的。同时这种迁移理论也强调老师对学生学习方法的指导。所以现代认知结构迁移 理论可以这样下个定义：学习者利用认知结构的原有观念，通过思维对新课题内容进行分析、概括，在揭示新旧课题共同本质基础上发生学习迁移 8。 由此可见，现代认知结构迁移理论符合现在学校教育的目标。它不仅承认了迁移的普遍性，也能比较科学全面的指出迁移的实质；不仅说明了认知结构是影响迁移的关键因素，也承认了方法训练的重要性。这些能指导我们中学教学实践工作。对提倡“为迁移而教”、大力倡导老师创设良好的教学情境，发挥学生的积极性、主体性等教学理念有着深刻的指导启迪作用。但是当前的中学数学教学中，却违背着这一理论，在应试教育 环境下，相当一部分老师在教学过程中，不是通过创设情境引导学生学习总结数学中的一些基本概念、基本原理、基本数学方法和数学思想，使学生的认知结构进一步得到完善，而是想着走捷径，试图通过搞题型训练，题海战术，固化学生的解题模式和解题套路，来应对考试中出现的题型。这样的做法是相当有害的，把学生和老师都弄的苦不堪言，这样做其实不是走捷径而是走了大大的弯路。从中也可以看出形式训练说的影子来。 四川师范大学硕士学位论文 第二章 构的一般理论 学认知结构的基本概念 所谓认知，是人的感觉、知觉、注意、记忆、言语和思维等心理过程。 据当代认知心理学的观点，认知就是对外界知识的吸收、加工、贮存和提取的过程。也就是说，人们在实践过程中，对实践对象有了初步的了解，并进一步上升到感性认识，再经过思维的加工、处理、存储，转化为理性认识的一种过程。 对外部知识的吸收、加工、贮存主要涉及知识表征的问题，而对知识的提取主要就是知识迁移的问题，可见认知结构与学习迁移之间有着内在的本质的联系，它们是认知过程中不可缺少的两部分。这也提醒我们研究它们之间关系是很有必要的。 对于认知结构的概念，国外比较有影响力的心理学家的主要观点有： 当代著名的心理学家皮亚杰则提出“ 认知结构”就是图式 (认为它是由知识块和知识的组织形式两部分组成的。他把知识块分成命题 (即概念的组合 )、意象(算法三种类型。认为之所以能够 顺应和同化的 认知过程，是因为通过知识块借助一定的算法，对知识的一种组织形式。美国认知心理学家奥苏伯尔则认为，认知结构就是 书本知识在学生头脑里的再现 ， 他强调了有意义学习在学习中的地位，指出概括性、清晰性、可辨别性、可利用性事认知结构的三个变量，为新旧知识之间的组织形式提供了一条较有说服力的解释。 近 20 年来，信息加工理论的心理学家结合计算机信息加工 的原理，指出认知结构主要跟三个方面的问题有关：知识表征方式、知识类型、知识组织。把知识类型主要分成陈述性知识 、 程序性知识 和策略性知识 ，把知识的组织和提取看成和计算机信息处理类似的输入和输出的 过程。给我们的认知结构提供了可操作的理论基础。 我国数学界一般认为，学生学习数学的过程实际上是数学认知的过程。在这个过程中学生在老师的指导下把教材知识结构转化成自己的数学认知结构。所谓“数学认知结构”，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组成的一个具有内部 规律的整体结构。 9简单地讲，数学认知结构就是学生头脑里获得的数学知识结构，只不过是一种经过学生主观改造后的数学知识结构，它是数学知识结构与学生心理结构相互作用的产物，其内容既包括数学 概念、 命题、 公式、定理、 公理等“硬件”，也包括数学思想方法、数学观念等“软件”。如有关对数的意义及运算法则的认知结构，一方面要反映对数的概念和性质、对数运算的意义及运算法则等知识内容，另一方面更要体现学生在头脑里对这些知识内容的接收、编码、储存、四川师范大学硕士学位论文 提取等一系列活动的组织方式。学生的数学认知结构是在后天的学习过程中逐步形成和发展起来 的，由于不同主体 对知识内容的理解和组织方式不同，所以数学认知结构是有个体差异的（这个问题将在第三章节中详细讲述）。这种认知结构理论最主要的核心思想是突出了学生的主体地位 。 学认知结构的特点 奥苏伯尔认为 ，可利用性、可辨别性和稳定性 是良好的数学认知结构有的 3 个变量： 。一、可利用性，即在学习者原有的数学认知结构中有适当的起同化作用的观念可利用；二、可辨别性 ，即新知识与学习者原有的数学认知结构中的相关观念是清晰的可辨别的； 三、稳定性， 即原有的起固定作用的可同化新知识的观念是稳定的。奥苏伯尔的这 种评价标准是非常标准的，但是我认为是比较模糊的，从 构的角度能更精确的描述数学认知结构的优良程度。即分清个体头脑中的命题系命题域是否富裕，关系是否清晰可辨、稳定牢固。那什么是 么是命题系命题域呢？ 构的基本概念 它是一种认知结构。具体的讲， C 代表一个数学概念， P 代表一个命题， ）或概念域（系）。各知识点（概念，命题）在这个网络中都处于一定的位置，知识点之间具有等值抽 象、强抽象或弱抽象的关系。所谓等值抽象简单的讲就是指学生学习的前后两个规则形式上不同实质上是一样的、等价的。强抽象是指学生学习了一个一般规则，然后应用这个规则去学习一个新规则或去解决一个新问题，而这个新规则新问题是这个规则的特例。弱抽象则是学生先学习了一条规则的一些特例，然后再去学习这条规则或去解决比特例更一般的问题。正是由于各知识点之间具有这些抽象关系，而这些抽象关系本身就蕴涵着思维方式，数学方法，所以能否具有好的 构对学生能否顺利产生转移，起着举足轻重的作用。 四川师范大学硕士学位论文 念域与概念系 概念 C 的所有等价定义的图式，叫做概念 C 的概念域 10。具体地说，概念域的涵义是： 概念域是已经内化为个体长时记忆中的关于某个概念的一组等价定义，是个体对数学概念的一种心理表征，而不是单单 关 于 某个概念的 一组等价命题。 概念域指对某个问题的陈述性知识的图式表征，它 包含了命题网络表征和表象表征。如对于平行四边形的概念可以定义为“两组对边分别平行的四边形叫平行四边形” 这是对平行四边形 概念 的命题网络表征， 还可以用“ 对角线互相平分”、“一组对边平行且相等”等来定义 平行四边形 ，这些可以看成是对平行四边形的表象表征。 对某一概念的命 题网络中各结点之间都是等价关系，即任意两个结点都是可以互推的。在所有的命题网络中存在一个核心定义，也称为典型定义，如上面的例子中第一个定义就是平行四边形的核心定义。 如果一组概念, 321 满足：1332211 (*)其中 1,2,1 表示弱抽象、强抽象或广义抽象这三种数学抽象关系中的一种，那么称（ *）为一条概念链，记为 =, 321 11。如果两条概念链 21, ，满足 21 ，则称这两条链相交 ,如果 意一条都至少与其他一条相交 ，那么称这 n 条 概念 链组成的概念网络的图式为概念系。 12简单地说，概念系 是概念域的自然推广，而概念系是概念域的子图式。 题域与命题系 类似于概念域（系）的概念，我们提出命题域、命题系的概念。 我们先定义等价命题的概念：若 命题 题 则称命题 等价， 记 作 AB。 这里所说的命题是指数学命题，与前面概念域中所述的“命题网络”中的“命题”是两个不同的概念，它是指概念的一种内在心理表征。与命题 价的命题组成的命题集叫做命题 为 A，并称 A 为典型命题， 典型命题 A 的等价命题 A连同这些命题之间的（互推）关系所形成的结构叫做等价命题网络 13。我们称一个等价命题网络的图式为典型命题 命题域的涵义是： 命题域是个体