高三数学二轮复习 第一篇 专题通关攻略 专题七 概率统计 1.7.1 计数原理、二项式定理课件 理 新人教版.ppt

第一讲计数原理 二项式定理 知识回顾 1 排列 1 定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 2 排列数公式 n n 1 n m 1 2 组合 1 定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2 组合数公式 由于0 1 所以 1 合成 一组 3 组合数的性质 3 二项式定理 1 定义 这个公式所表示的定理叫做二项式定理 第k 1项为tk 1 2 二项式系数的有关性质 二项展开式中 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和 即 2n 1 若f x a0 a1x a2x2 anxn 则f x 展开式中的各项系数和为f 1 奇数项系数和为a0 a2 a4 偶数项系数之和为a1 a3 a5 易错提醒 1 忽视顺序 解决排列组合问题时 易忽视问题与顺序是否有关这一条件 2 混淆两个系数 二项展开式中某一项的系数与某一项的二项式系数易混 3 忽视k的取值范围 在利用tk 1 求特定项时 k 0 1 n 易漏k 0的情况 考题回访 1 2016 全国卷 如图 小明从街道的e处出发 先到f处与小红会合 再一起到位于g处的老年公寓参加志愿者活动 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 a 24b 18c 12d 9 解析 选b e f有6种走法 f g有3种走法 由分步乘法计数原理知 共6 3 18种走法 2 2016 全国卷 定义 规范01数列 an 如下 an 共有2m项 其中m项为0 m项为1 且对任意k 2m a1 a2 ak中0的个数不少于1的个数 若m 4 则不同的 规范01数列 共有 a 18个b 16个c 14个d 12个 解析 选c 由题意得必有a1 0 a2m 1具体情况如下 00001111 00010111 00011011 00011101 00100111 00101011 00101101 00110011 00110101 01000111 01001011 01001101 01010011 01010101 共14个 3 2015 全国卷 x2 x y 5的展开式中 x5y2的系数为 a 10b 20c 30d 60 解析 选c 在 x2 x y 5的5个因式中 2个取因式中x2 剩余的3个因式中1个取x 其余因式取y 故x5y2的系数为 30 4 2016 全国卷 2x 5的展开式中 x3的系数是 用数字填写答案 解析 设展开式的第k 1项为tk 1 k 0 1 2 3 4 5 所以当5 3时 k 4 即答案 10 热点考向一排列 组合的应用命题解读 主要考查两个计数原理 排列 组合的简单综合运用 有时与概率相结合 以选择题 填空题为主 典例1 1 2016 四川高考 用数字1 2 3 4 5组成没有重复数字的五位数 其中奇数的个数为 a 24b 48c 60d 72 2 2016 安庆一模 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对 其中所成的角为60 的共有 a 24对b 30对c 48对d 60对 3 2016 洛阳一模 要从3名骨科和5名内科医生中选派3人组成一个抗震救灾医疗小组 则骨科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 用数字作答 解题导引 1 根据排列组合公式及分步乘法计数原理求解 2 找出与一个面上的两条对角线成60 的角的直线对数 再乘以6进行分析即可求解 或用间接法求解 3 可考虑用间接法求解 即从总体中减去 全是骨科 和 全是内科医生 的情况 即可得出答案 规范解答 1 选d 由题意 要组成没有重复数字的五位奇数 则个位数应该为1 3 5 其他位置共有种 所以其中奇数的个数为3 72 2 选c 方法一 直接法 如图 在上底面中选b1d1 四个侧面中的对角线都与它成60 共8对 同样a1c1对应的也有8对 因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对 又正方体共有6个面 所以共有16 6 96 对 又因为每对被计算了2次 因此成60 的面对角线有 96 48 对 方法二 间接法 正方体的12条面对角线中 任意两条垂直 平行或成角为60 所以成角为60 的共有 12 6 48 对 3 共8名医生 2个科类 要求每个科类至少1名医生 骨科和内科医生都至少有1人 的对立事件是 全是骨科或全是内科医生 若从这8名医生中任选3名 不同的选法有种 其中全为骨科医生的选法只有1种 全为内科医生的选法有种 所以所求选派方法有 56 1 10 45 种 答案 45 易错警示 解题 3 时易出现从骨科和内科医生中各选一人 再从剩余的人中选出一人 共有90种选法的错误 此种错误的原因是出现了重复的情况 母题变式 若题 2 变为 若两条异面直线所成的角为60 则称这对异面直线为 黄金异面直线对 在连接正方体各顶点的所有直线中 黄金异面直线对 共有 对 解析 依题意 注意到在正方体abcd a1b1c1d1中 与直线ac构成异面直线且所成的角为60 的直线有bc1 ba1 a1d dc1 注意到正方体abcd a1b1c1d1中共有12条面对角线 可知所求的 黄金异面直线对 共有 24对 答案 24 规律方法 1 求解排列 组合问题的关注点排组分清 加乘明确 有序排列 无序组合 分类相加 分步相乘 2 排列 组合应用问题的常见解法 1 特殊元素 特殊位置 优先安排法 2 合理分类与准确分步法 3 排列与组合混合问题先选后排法 4 相邻问题捆绑法 5 不相邻问题插空法 6 定序问题缩倍法 7 多排问题一排法 8 小集团 问题先整体后局部法 9 构造模型法 10 正难则反 等价转化法 题组过关 1 2016 九江一模 8名学生和2位老师站成一排合影 2位老师不相邻的排法种数为 解析 选a 不相邻问题用插空法 8名学生先排有种排法 产生9个空 2位老师插空有种排法 所以共有种排法 2 2016 太原一模 有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流 则每个班至少去一名的不同分派方法种数为 a 150b 180c 200d 280 解析 选a 分两类 一类 3个班分派的毕业生人数分别为2 2 1 则有 90种分派方法 另一类 3个班分派的毕业生人数分别为1 1 3 则有 60种分派方法 所以不同分派方法种数为90 60 150 加固训练 1 有6名男医生 5名女医生 从中选出2名男医生 1名女医生组成一个医疗小组 则不同的选法共有 a 60种b 70种c 75种d 150种 解析 选c 从中选出2名男医生的选法有 15种 从中选出1名女医生的选法有 5种 所以不同的选法共有15 5 75种 2 2016 温州二模 将9个相同的小球放入3个不同的盒子 要求每个盒子中至少有1个小球 且每个盒子中的小球个数都不同 则不同的放法数为 a 15b 18c 19d 21 解析 选b 依题意 对这3个盒子中所放的小球的个数情况进行分类计数 第一类 这3个盒子中所放的小球的个数是1 2 6 此类放法有 6种 第二类 这3个盒子中所放的小球的个数是1 3 5 此类放法有 6种 第三类 这3个盒子中所放的小球的个数是2 3 4 此类放法有 6种 因此满足题意的放法共有6 6 6 18种 3 2016 深圳一模 某班准备从含甲 乙的7名男生中选取4人参加4 100米接力赛 要求甲 乙两人至少有一人参加 且若甲 乙同时参加 则他们在赛道上的顺序不能相邻 那么不同的排法种数为 a 720b 520c 600d 360 解析 选c 根据题意 分2种情况讨论 只有甲 乙其中一人参加 有 480种情况 若甲 乙两人都参加 有 240种情况 其中甲 乙相邻的有 120种情况 不同的排法种数为480 240 120 600种 4 2016 长沙一模 5名乒乓球队员中 有2名老队员和3名新队员 现从中选出3名队员排成1 2 3号参加团体比赛 则入选的3名队员中至少有1名老队员 且1 2号中至少有1名新队员的排法有 种 解析 分两类 第一类仅有1名老队员 此时有2名新队员 一定可以保证1 2号中至少有1名新队员 此时有 36种排法 第二类有2名老队员 此时 要注意将新队员安排在1 2号中 有 12种排法 于是 不同的排法数为36 12 48 答案 48 热点考向二二项式定理的应用命题解读 主要考查二项式定理的通项公式 二项式系数 二项式特定项 指定项 以选择题 填空题为主 命题角度一与特定项有关的问题 典例2 2016 邯郸一模 展开式中的常数项为 a 8b 12c 20d 20 解题导引 先将式子x2 2变形为完全平方式 再利用通项公式求特定项 规范解答 选c 因为所以tk 1 令6 2k 0得k 3 所以常数项为 1 3 20 命题角度二求展开式中系数的和 典例3 2015 全国卷 a x 1 x 4的展开式中x的奇数次幂的项的系数之和为32 则a 解题导引 先设出展开式 再用赋值法 分别令x 1 x 1 将两式相减 再利用奇数次幂项的系数之和求a 规范解答 设 a x 1 x 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 令x 1 得16 a 1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 令x 1 得0 a0 a1 a2 a3 a4 a5 得16 a 1 2 a1 a3 a5 即展开式中x的奇数次幂的项的系数之和为a1 a3 a5 8 a 1 所以8 a 1 32 解得a 3 答案 3 命题角度三求展开式中某项的系数 典例4 2014 全国卷 x y x y 8的展开式中x2y7的系数为 用数字填写答案 解题导引 利用通项公式求解 规范解答 因为 x y 8的展开式的通项为tk 1 x8 kyk 0 k 8 k n 当k 7时 t8 xy7 8xy7 当k 6时 t7 x2y6 28x2y6 所以 x y x y 8的展开式中x2y7的项为x 8xy7 y 28x2y6 20 x2y7 故系数为 20 答案 20 规律方法 与二项式定理有关的题型及解法 题组过关 1 2016 四川高考 设i为虚数单位 则 x i 6的展开式中含x4的项为 a 15x4b 15x4c 20ix4d 20ix4 解析 选a 二项式 x i 6展开的通项tr 1 x6 rir 则其展开式中含x4的项是当6 r 4 即r 2 则展开式中含x4的项为x4i2 15x4 2 2016 山东高考 若的展开式中x5的系数是 80 则实数a 解析 因为令10 5得k 2 所以 80 解得a 2 答案 2 3 2016 大同二模 二项式的展开式中只