高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.2 两条直线的位置关系课件 文.ppt

第九章平面解析几何 9 2两条直线的位置关系 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想与方法系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 两条直线的位置关系 1 两条直线平行与垂直 两条直线平行 对于两条不重合的直线l1 l2 若其斜率分别为k1 k2 则有l1 l2 k1 k2均存在 当直线l1 l2不重合且斜率都不存在时 l1 l2 k1 k2 知识梳理 1 答案 两条直线垂直 如果两条直线l1 l2的斜率存在 设为k1 k2 则有l1 l2 k1 k2均存在 当其中一条直线的斜率不存在 而另一条的斜率为0时 l1 l2 2 两条直线的交点直线l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解 k1 k2 1 答案 2 几种距离 1 两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 之间的距离 p1p2 2 点p0 x0 y0 到直线l ax by c 0的距离d 3 两条平行线ax by c1 0与ax by c2 0 其中c1 c2 间的距离d 答案 1 一般地 与直线ax by c 0平行的直线方程可设为ax by m 0 与之垂直的直线方程可设为bx ay n 0 2 过直线l1 a1x b1y c1 0与l2 a2x b2y c2 0的交点的直线系方程为a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 r 但不包括l2 3 点到直线与两平行线间的距离的使用条件 1 求点到直线的距离时 应先化直线方程为一般式 2 求两平行线之间的距离时 应先将方程化为一般式且x y的系数对应相等 知识拓展 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 当直线l1和l2斜率都存在时 一定有k1 k2 l1 l2 2 如果两条直线l1与l2垂直 则它们的斜率之积一定等于 1 3 已知直线l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 a1 b1 c1 a2 b2 c2为常数 若直线l1 l2 则a1a2 b1b2 0 答案 思考辨析 4 点p x0 y0 到直线y kx b的距离为 5 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离 6 若点a b关于直线l y kx b k 0 对称 则直线ab的斜率等于 且线段ab的中点在直线l上 答案 1 设a r 则 a 1 是 直线l1 ax 2y 1 0与直线l2 x a 1 y 4 0平行 的 条件 解析 1 充分性 当a 1时 直线l1 x 2y 1 0与直线l2 x 2y 4 0平行 2 必要性 当直线l1 ax 2y 1 0与直线l2 x a 1 y 4 0平行时有a 2或1 所以 a 1 是 直线l1 ax 2y 1 0与直线l2 x a 1 y 4 0平行 的充分不必要条件 充分不必要 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 教材改编 已知点 a 2 a 0 到直线l x y 3 0的距离为1 则a 解析答案 1 2 3 4 5 3 已知直线l1 3 m x 4y 5 3m l2 2x 5 m y 8平行 则实数m的值为 得m 1或 7 解析答案 1 2 3 4 5 7 4 2014 福建改编 已知直线l过圆x2 y 3 2 4的圆心 且与直线x y 1 0垂直 则l的方程是 解析圆x2 y 3 2 4的圆心为点 0 3 又因为直线l与直线x y 1 0垂直 所以直线l的斜率k 1 由点斜式得直线l y 3 x 0 化简得x y 3 0 x y 3 0 解析答案 1 2 3 4 5 5 教材改编 若直线 3a 2 x 1 4a y 8 0与 5a 2 x a 4 y 7 0垂直 则a 解析由两直线垂直的充要条件 得 3a 2 5a 2 1 4a a 4 0 解得a 0或a 1 0或1 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 例1 1 已知两条直线l1 a 1 x 2y 1 0 l2 x ay 3 0平行 则a 解析若a 0 两直线方程为 x 2y 1 0和x 3 此时两直线相交 不平行 所以a 0 解得a 1或a 2 1或2 题型一两条直线的平行与垂直 解析答案 2 已知两直线方程分别为l1 x y 1 l2 ax 2y 0 若l1 l2 则a 解析方法一 l1 l2 k1k2 1 解得a 2 方法二 l1 l2 a 2 0 a 2 2 解析答案 思维升华 思维升华 1 当直线方程中存在字母参数时 不仅要考虑到斜率存在的一般情况 也要考虑到斜率不存在的特殊情况 同时还要注意x y的系数不能同时为零这一隐含条件 2 在判断两直线平行 垂直时 也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论 已知两直线l1 x ysin 1 0和l2 2x sin y 1 0 求 的值 使得 1 l1 l2 跟踪训练1 解析答案 解方法一当sin 0时 直线l1的斜率不存在 l2的斜率为0 显然l1不平行于l2 解析答案 方法二由a1b2 a2b1 0 得2sin2 1 0 又b1c2 b2c1 0 所以1 sin 0 即sin 1 2 l1 l2 解因为a1a2 b1b2 0是l1 l2的充要条件 所以2sin sin 0 即sin 0 所以 k k z 故当 k k z时 l1 l2 解析答案 题型二两条直线的交点与距离问题 解析答案 又 交点位于第一象限 解析答案 方法二如图 已知直线 解析答案 而直线方程y kx 2k 1可变形为y 1 k x 2 表示这是一条过定点p 2 1 斜率为k的动直线 两直线的交点在第一象限 两直线的交点必在线段ab上 不包括端点 动直线的斜率k需满足kpa k kpb 2 直线l过点p 1 2 且到点a 2 3 和点b 4 5 的距离相等 则直线l的方程为 解析答案 解析方法一当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为y 2 k x 1 即kx y k 2 0 即 3k 1 3k 3 解析答案 思维升华 即x 3y 5 0 当l过ab中点时 ab的中点为 1 4 直线l的方程为x 1 故所求直线l的方程为x 3y 5 0或x 1 答案x 3y 5 0或x 1 即x 3y 5 0 当直线l的斜率不存在时 直线l的方程为x 1 也符合题意 思维升华 思维升华 1 求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程 先解方程组求出两直线的交点坐标 再结合其他条件写出直线方程 2 利用距离公式应注意 点p x0 y0 到直线x a的距离d x0 a 到直线y b的距离d y0 b 两平行线间的距离公式要把两直线方程中x y的系数化为相等 1 如图 设一直线过点 1 1 它被两平行直线l1 x 2y 1 0 l2 x 2y 3 0所截的线段的中点在直线l3 x y 1 0上 求其方程 解与l1 l2平行且距离相等的直线方程为x 2y 2 0 设所求直线方程为 x 2y 2 x y 1 0 即 1 x 2 y 2 0 又直线过 1 1 1 1 2 1 2 0 跟踪训练2 解析答案 2 正方形的中心为点c 1 0 一条边所在的直线方程是x 3y 5 0 求其他三边所在直线的方程 解析答案 设与x 3y 5 0平行的一边所在直线的方程是x 3y m 0 m 5 解得m 5 舍去 或m 7 所以与x 3y 5 0平行的边所在直线的方程是x 3y 7 0 解析答案 设与x 3y 5 0垂直的边所在直线的方程是3x y n 0 解得n 3或n 9 所以与x 3y 5 0垂直的两边所在直线的方程分别是3x y 3 0和3x y 9 0 命题点1点关于点中心对称 例3过点p 0 1 作直线l 使它被直线l1 2x y 8 0和l2 x 3y 10 0截得的线段被点p平分 则直线l的方程为 解析设l1与l的交点为a a 8 2a 则由题意知 点a关于点p的对称点b a 2a 6 在l2上 代入l2的方程得 a 3 2a 6 10 0 解得a 4 即点a 4 0 在直线l上 所以直线l的方程为x 4y 4 0 x 4y 4 0 题型三对称问题 解析答案 命题点2点关于直线对称 例4已知直线l 2x 3y 1 0 点a 1 2 则点a关于直线l的对称点a 的坐标为 解析答案 命题点3直线关于直线的对称问题 例5已知直线l 2x 3y 1 0 求直线m 3x 2y 6 0关于直线l的对称直线m 的方程 解析答案 思维升华 解在直线m上任取一点 如m 2 0 则m 2 0 关于直线l的对称点m 必在直线m 上 解析答案 思维升华 设直线m与直线l的交点为n 又 m 经过点n 4 3 由两点式得直线m 的方程为9x 46y 102 0 思维升华 解决对称问题的方法 1 中心对称 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决 思维升华 2 轴对称 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决 在等腰直角三角形abc中 ab ac 4 点p是边ab上异于a b的一点 光线从点p出发 经bc ca发射后又回到原点p 如图 若光线qr经过 abc的重心 则ap 跟踪训练3 解析答案 返回 解析建立如图所示的坐标系 可得b 4 0 c 0 4 故直线bc的方程为x y 4 设p a 0 其中0 a 4 解析答案 解析答案 代入化简可得3a2 4a 0 返回 思想与方法系列 一 平行直线系由于两直线平行 它们的斜率相等或它们的斜率都不存在 因此两直线平行时 它们的一次项系数与常数项有必然的联系 典例求与直线3x 4y 1 0平行且过点 1 2 的直线l的方程 思维点拨因为所求直线与3x 4y 1 0平行 因此 可设该直线方程为3x 4y c 0 c 1 18 妙用直线系求直线方程 思想与方法系列 解析答案 思维点拨 温馨提醒 规范解答解依题意 设所求直线方程为3x 4y c 0 c 1 又因为直线过点 1 2 所以3 1 4 2 c 0 解得c 11 因此 所求直线方程为3x 4y 11 0 温馨提醒 温馨提醒 与直线ax by c 0平行的直线系方程为ax by c1 0 c1 c 再由其他条件求c1 二 垂直直线系由于直线a1x b1y c1 0与a2x b2y c2 0垂直的充要条件为a1a2 b1b2 0 因此 当两直线垂直时 它们的一次项系数有必要的关系 可以考虑用直线系方程求解 典例求经过a 2 1 且与直线2x y 10 0垂直的直线l的方程 思维点拨依据两直线垂直的特征设出方程 再由待定系数法求解 解析答案 思维点拨 温馨提醒 规范解答解因为所求直线与直线2x y 10 0垂直 所以设该直线方程为x 2y c1 0 又直线过点 2 1 所以有2 2 1 c1 0 解得c1 0 即所求直线方程为x 2y 0 温馨提醒 温馨提醒 与直线ax by c 0垂直的直线系方程为bx ay c1 0 再由其他条件求出c1 三 过直线交点的直线系典例求经过两直线l1 x 2y 4 0和l2 x y 2 0的交点p 且与直线l3 3x 4y 5 0垂直的直线l的方程 思维点拨可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k 直接写出方程 也可以利用过交点的直线系方程设直线方程 再用待定系数法求解 解析答案 思维点拨 温馨提醒 返回 规范解答 即4x 3y 6 0 方法二设直线l的方程为x 2y 4 x y 2 0 即 1 x 2 y 4 2 0 又 l l3 3 1 4 2 0 解得 11 直线l的方程为4x 3y 6 0 温馨提醒 返回 温馨提醒 本题方法一采用常规方法 先通过方程组求出两直线交点 再根据垂直关系求出斜率 由于交点在y轴上 故采用斜截式求解 方法二则采用了过两直线a1x b1y c1 0与a2x b2y c2 0的交点的直线系方程 a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 直接设出过两直线交点的方程 再根据垂直条件用待定系数法求解 思想方法感悟提高 1 两直线的位置关系要考虑平行 垂直和重合 对于斜率都存在且不重合的两条直线l1 l2 l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1 k2 1 若有一条直线的斜率不存在 那么另一条直线的斜率一定要特别注意 2 对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称 利用坐标转移法 方法与技巧 1 在判断两条直线的位置关系时 首先应分析直线的斜率是否存在 若两条直线都有斜率 可根据判定定理判断 若直线无斜率 要单独考虑 2 在运用两平行直线间的距离公式d 时 一定要注意将两方程中x y的系数化为相同的形式 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 设a b c分别是 abc中角a b c所对边的边长 则直线sina x ay c 0与bx sinb y sinc 0的位置关系是 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即直线sina x ay c 0与bx sinb y sinc 0垂直 方法二由正弦定理有a 2rsina b 2rsinb 其中r为 abc外接圆的半径 所以bsina asinb 2rsinbsina 2rsinasinb 0 所以直线sina x ay c 0与bx sinb y sinc 0垂直 答案垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二 解析答案 4 若直线l1 y k x 4 与直线l2关于点 2 1 对称 则直线l2经过定点 解析直线l1 y k x 4 经过定点 4 0 其关于点 2 1 对称的点为 0 2 又直线l1 y k x 4 与直线l2关于点 2 1 对称 故直线l2经过定点 0 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 从点 2 3 射出的光线沿与向量a 8 4 平行的直线射到y轴上 则反射光线所在的直线方程为 其与y轴的交点坐标为 0 2 又点 2 3 关于y轴的对称点为 2 3 所以反射光线过点 2 3 与 0 2 由两点式得直线方程为x 2y 4 0 x 2y 4 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 6 教材改编 与直线l1 3x 2y 6 0和直线l2 6x 4y 3 0等距离的直线方程是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以l1与l2平行 设与l1 l2等距离的直线l的方程为3x 2y c 0 所以l的方程为12x 8y 15 0 答案12x 8y 15 0 7 已知两直线l1 ax by 4 0和l2 a 1 x y b 0 若l1 l2 且坐标原点到这两条直线的距离相等 则a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 解析答案 9 已知 abc的顶点a 5 1 ab边上的中线cm所在直线方程为2x y 5 0 ac边上的高bh所在直线方程为x 2y 5 0 求直线bc的方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解依题意知 kac 2 a 5 1 lac为2x y 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 代入2x y 5 0 得2x0 y0 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即6x 5y 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 已知直线l经过直线l1 2x y 5 0与l2 x 2y 0的交点 1 若点a 5 0 到l的距离为3 求l的方程 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解易知l不可能为l2 可设经过两已知直线交点的直线系方程为 2x y 5 x 2y 0 即 2 x 1 2 y 5 0 点a 5 0 到l的距离为3 l的方程为x 2或4x 3y 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求点a 5 0 到l的距离的最大值 解得交点p 2 1 如图 过p作任一直线l 设d为点a到l的距离 则d pa 当l pa时等号成立 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 若点 m n 在直线4x 3y 10 0上 则m2 n2的最小值是 解析因为点 m n 在直线4x 3y 10 0上 所以4m 3n 10 0 解析答案 表示4m 3n 10 0上的点 m n 到原点的距离 如图 当过原点的直线与直线4m 3n 10 0垂直时 原点到点 m n 的距离最小为2 所以m2 n2的最小值为4 4 12 如图 已知直线l1 l2 点a是l1 l2之间的定点 点a到l1 l2之间的距离分别为3和2 点b是l2上的一动点 作ac ab 且ac与l1交于点c 则 abc的面积的最小值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析以a为坐标原点 平行于l1的直线为x轴 建立如图所示的直角坐标系 设b a 2 c b 3 且a 0 b 0 ac ab 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即 abc面积的最小值为6 答案6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 在平面直角坐标系内 到点a 1 2 b 1 5 c 3 6 d