江苏省镇江市2016届九年级上期末数学试卷含答案解析

江苏省镇江市 2016 届九年级上学期期末数学试卷 一、填空题（每题 2分，共 24分） 1已知关于 x 的方程（ m 1） x 1=0 是一元二次方程，则 m 取值范围是 2如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是 3将抛物线 y=右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为 4一元二次方程（ x 4） 2=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 5一组数据 1、 3、 5、 7 的方差是 6如图，四边形 O 的内接四边形，若 0，则 度数是 7若关于 x 的方程 2x a=0 有一个根为 1，则方程的另一根为 8如图，在 O 中， 直径， 弦，已知 5，则 9若一个圆锥的底面半径长是 10线长是 18这个圆锥的侧面积 = （结果保留 ） 10图 2 是图 1 中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O、 B，以点 O 为原点，水平直线 x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线 y= +16，桥拱与桥墩交点 C 恰好在水面，有 x 轴若 米，则水面宽度 米 11二次函数 y=图象如图所示，若一元二次方程 bx+m=0 有实数根，则 m 的取值范围是 12已知二次函数 y=1，若 0 a ，当 1x1 时， y 的取值范围是 （用含a 的代数式表示） 二、选择题（每题 3分，共 15分） 13某学校规定学生的数 学成绩由三部分组成，期末考试成绩占 70%，期 2016 届中考试成绩占 20%，平时作业成绩占 10%，某人上述三项成绩分别为 90 分， 85 分， 90 分，则他的数学成绩是（ ） A 89 分 B C D 84 分 14如图，在半径为 5 O 中，弦 点 C，则 值为（ ） A 6 5 4 35关于 x 的一元二次方程 2x 1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围 是（ ） A k 1 B k 1 C k 1 且 k0 D k 1 且 k0 16如图， O 的两条互相垂直的直径，点 P 从点 O 出发，沿 OCDO 的路线匀速运动设 y（单位：度），那么 y 与点 P 运动的时间 x（单位：秒）的关系图是（ ） A B C D 17如图是抛物线 y1=bx+c（ a0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标 A（ 1， 3），与 x 轴的一个交点 B（ 4， 0），直线 y2=mx+n（ m0）与抛物线交于 A， B 两点，下列结论： 2a+b=0； 0； 方程 bx+c=3 有两个相等的实数根； 抛物线与 x 轴的另一个交点是（ 1， 0）； 当 1 x 4 时，有 其中正确结论的个数是（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 三、解答题 18解下列方程： （ 1）（ x 1） 2=9 （ 2） 4x+3=0 19如图，在 ， 0， ， （ 1）求作 O，使它过点 A、 B、 C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （ 2）在（ 1）所作的圆中，求出劣弧 的度数和 的长 20某校 2016 届九 年级两个班，各选派 10 名学生参加学校举行的 “汉字听写 ”大赛预赛各参赛选手的成绩如下： 九（ 1）班： 92， 93， 93， 93， 93， 93， 97， 98， 98， 100 九（ 2）班： 91， 93， 93， 93， 96， 97， 97， 98， 98， 99 通过整理，得到数据分析表如下： 班级 最高分 平均分 中位数 众数 方差 九（ 1）班 100 m 93 93 （ 2）班 99 6.5 n 1）直接写出表中 m、 n 的值； （ 2）依据数据分析表，有人说： “最高分在（ 1）班，（ 1）班的成绩比（ 2）班好 ”，但也有人说（ 2）班的成绩要好，请给出两条支持九（ 2）班成绩好的理由 21小颖和小丽做 “摸球 ”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为 1 4 的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字若两次数字之和大于 5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由 22已知关于 x 的一元二次方程 m+3） x+3=0 （ 1）证明：当 m 取不等于 0 的任何数时，此方程总有实数根； （ 2） m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根 23如图 ， O 是等边 外心， 延长线和 O 相交于点 D，连接 （ 1）求证： （ 2）若 ，求阴影部分的面积 24某商品交易会上，一商人将每件进价为 5 元的纪念品，按每件 9 元出售，每天可售出 32 件他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价 2 元，每天的销售量会减少8 件 （ 1）当售价定为多少元时，每天的利润为 140 元？ （ 2）写出每天所得的利润 y（元）与售价 x（元 /件）之间的函数关系式，每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？（利润 =（售价进价） 售出件数） 25如图， O 的直径， 分 O 于点 E，过点 E 的直线 足为 F，B 为直径 一点，点 E、 F 分别在矩形 边 （ 1）求证：直线 O 的切线； （ 2）若 ， ，求 O 的直径 26小明在课外学习时遇到这样一个问题 ： 定义：如果二次函数 y=， 常数）与 y=， b2，足 a1+， b1=c1+，则称这两个函数互为 “旋转函数 ”求 y= x 2 函数的 “旋转函数 ” 小明是这样思考的：由 y= x 2 函数可知 1， ， 2，根据 a1+， b1=c1+求出 能确定这个函数的 “旋转函数 ” 请参考小明的方法解决下面的问题： （ 1）写出函数 y= x 2 的 “旋转函数 ”； （ 2）若函数 y1=x+n 与 x2+3 互为 “旋转函数 ”，求（ m+n） 2016的值； （ 3）已知函数 y= （ x 1）（ x+4）的图象与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A、 B、 1、 证明经过点 二次函数与函数 y= （ x 1）（ x+4）互为 “旋转函 数 ” 27如图，在平面直角坐标系 ，二次函数 y=a（ x+1）（ x 3）（ a 0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），顶点为 M，经过点 A 的直线 l： y=ax+b 与 y 轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D （ 1）直接写出点 A 的坐标 、点 B 的坐标 ； （ 2）如图（ 1），若顶点 M 的坐标为（ 1， 4），连接 求出二次函数及一次函数的解析式，并求出四边形 面积； （ 3）如图（ 2），连接 a 为何值时，直线 x 轴的夹角为 45？ （ 4）如图（ 3） ，点 E 是直线 l 上方的抛物线上的一点，若 面积的最大值为 时，请直接写出此时 E 点的坐标 江苏省镇江市 2016届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（每题 2分，共 24分） 1已知关于 x 的方程（ m 1） x 1=0 是一元二次方程，则 m 取值范围是 m1 【考点】 一元二次方程的定义 【分析】 根据一元二次方程的定义得到 m 10，然后解不等式即可 【解答】 解： 关于 x 的方程（ m 1） x 1=0 是一元二次方程， m 10， 解得： m1， 故答案为： m1 【点评】 本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程 2如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是 【考点】 几何概率 【分析】 先确定黑色区域的面积与总圆面面积的比值，此比值即为所求的概率 【解答】 解：观察这个图可知：黑白石子的面积相等，即其概率相等，各占 【点评】 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（ A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（ A）发生的概率 3将抛物线 y=右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为 y=（ x 1） 2 2 【考点】 二次函数图象与几何变换 【分析】 根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式 【解答】 解： 抛物线 y= 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度， 平移后的解析式为： y=（ x 1） 2 2 故答案为： y=（ x 1） 2 2 【点评】 此题考查了二次函数图象与几何变换，熟记平移规律 “左加右减，上加下减 ”，是解题关键 4一元二次方程（ x 4） 2=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 12 【考点】 解一元二次方程 角形三 边关系；等腰三角形的性质 【分析】 首先利用直接开平方法解出一元二次方程的解，再根据等腰三角形的特点计算出周长即可 【解答】 解：（ x 4） 2=0， 两边直接开平方得： x 4=0， 解得： x1=， 等腰三角形的周长为 43=12， 故答案为： 12 【点评】 此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，以及等腰三角形的性质，关键是掌握直接开方法求一元二次方程的解 5一组数据 1、 3、 5、 7 的方差是 5 【考点】 方差 【分析】 先求出这组数据的平均数，再根据方差公式 （ ） 2+（ ） 2+（ ） 2，进行计算即可 【解答】 解：数据的平均数 = （ 1+3+5+7） =4， 方差 （ 1 4） 2+（ 3 4） 2+（ 5 4） 2+（ 7 4） 2=5 则一组数据 1、 3、 5、 7 的方差是 5 故答案为： 5 【点评】 本题考查了方差的定义，一般地设 n 个数据， 平均数为 ，方差 （ ） 2+（ ） 2+（ ） 2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立 6如图，四边形 O 的内接四边形，若 0，则 度数是 120 【考点】 圆内接四边形的性质 【分析】 根据圆内接四边形的对角互补解答即可 【解答】 解： 四边形 O 的内接四边形， 80，又 0， 20， 故答案为： 120 【点评】 本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接 四边形的对角互补是解题的关键 7若关于 x 的方程 2x a=0 有一个根为 1，则方程的另一根为 3 【考点】 根与系数的关系 【分析】 设另一根为 x，由根与系数的关系得两根之和等于 2，解方程求得 【解答】 解：由题意方程有一个根为 1 设另一根为 x，则 1+x=2， 解得 x=3 故答案为 3 【点评】 本题考查了根与系数的关系，本题由两根之和等于 2 进行求解 8如图，在 O 中， 直径， 弦，已知 5，则 55 【考点】 圆周角定理 【分析】 由在 O 中， 直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得 0，又由圆周角定理可得 B= 而求得答案 【解答】 解： 直径， 0， B= 5， 0 B=55 故答案为： 55 【点评】 此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质注意掌握直径对的圆周角是直角是解此题的关键 9若一个圆锥的底面半径长是 10线长是 18这个圆锥的侧面积 = 180 （结果保留） 【考点 】 圆锥的计算 【分析】 首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解 【解答】 解：圆锥的底面周长是： 210=20， 则 2018=180 故答案为： 180 【点评】 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长 10图 2 是图 1 中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O、 B，以点 O 为原点，水平直线 x 轴，建立平面直角坐 标系，桥的拱形可近似看成抛物线 y= +16，桥拱与桥墩交点 C 恰好在水面，有 x 轴若 米，则水面宽度 180 米 【考点】 二次函数的应用 【专题】 推理填空题 【分析】 根据桥的拱形可近似看成抛物线 y= +16，桥拱与桥墩 交点 C 恰好在水面，有 x 轴， 米，可知点 C 的纵坐标，然后代入抛物线解析式可以求得点 C 和点 D 对应的点的横坐标，从而可以求得宽度 长度 【解答】 解： 桥的拱形可近似看成抛物线 y= +16，桥拱与桥墩 交点 x 轴， 米， 点 C 对应的纵坐标为： ， 将 y= 代入 y= +16，得 ， 解得 10， 70， 宽度 70（ 10） =180 米 故答案为： 180 【点评】 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件 11二次函数 y=图象如图所示，若一元二次方程 bx+m=0 有实数根，则 m 的取值范围是 m4 【考点】 抛物线与 x 轴的交点 【分析】 结合图象可得 y 4，即 4，由 bx+m=0 可得 m，则有 m 4，即可解决问题 【解答】 解：由图可知： y 4，即 4， bx+m=0， m， m 4， m4 故答案为： m4 【点评】 本题主要考查抛物线与 x 轴的交点坐标，与一元二次方程之间的关系、解一元一次不等式等知识，利用数形结合的思想是解决本题的关键 12已知二次函数 y=1，若 0 a ，当 1x1 时， y 的取值范围是 1 y a （用含 a 的代数式表示） 【考点】 二次函数的性质 【分析】 首先进行配方，根据 a 的取值范围求出函数的最小值，然后结合对称轴的区间范围求出二次函数的最大值 【解答】 解： 二次函数 y=1， y=（ x ） 2 1， 当 x= 时 y 有最小值为 1， 二次函数的对称轴是 x= ，而 0 a ， 其对称轴在 x 轴的正半轴， 当 x= 1 时有最大值为 a， 当 1x1 时， y 的取值范围是 1 y a 故答案为 1 y a 【点评】 本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是根据 a 的取值范围确定对称轴的区间范围，此题有一定的难度 二、选择题（每题 3分，共 15分） 13某学校规定学生的数学成绩由三部分组成，期末考试成绩占 70%，期 2016 届中考试成绩占 20%，平时作业成绩占 10%，某人上述三项成绩分别为 90 分， 85 分， 90 分，则他的数学成绩是（ ） A 89 分 B C D 84 分 【考点】 加权平均数 【分析】 根据数学成绩 =期末考试成绩 所占的百分比 +期 2016 届中考试成绩 所 占的百分比 +平时作业成绩 所占的百分比即可求得该学生的数学成绩 【解答】 解：该学生的数学成绩： 9070%+8520%+9010% =63+17+9 =89（分） 答：他的数学成绩是 89 分 故选： A 【点评】 本题考查的是加权平均数的求法本题易出现的错误是求 90， 85， 90 这三个数的平均数，对平均数的理解不正确 14如图，在半径为 5 O 中，弦 点 C，则 值为（ ） A 6 5 4 3考点】 垂径定理；勾股定理 【分析】 连接 根据垂径定理求出 长，再由勾股定理求出 长即可 【解答】 解：连接 弦 点 C， = =4 故选 C 【点评】 本题考查的是垂 径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 15关于 x 的一元二次方程 2x 1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） A k 1 B k 1 C k 1 且 k0 D k 1 且 k0 【考点】 根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】 根据一元二次方程的定义和 的意义得到 k0 且 0，即（ 2） 2 4k（ 1） 0，然后解不等式即可得到 k 的取值范围 【解答】 解： 关于 x 的一元二次方程 2x 1=0 有两个不相等的实数根， k0 且 0，即（ 2） 2 4k（ 1） 0， 解得 k 1 且 k0 故选 C 【点评】 本题考查了一元二次方程 bx+c=0（ a0）的根的判别式 =4 0，方程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的定义 16如图， O 的两条互相垂直的直径，点 P 从点 O 出发，沿 OCDO 的路线匀速运动设 y（单位：度），那么 y 与点 P 运动的时间 x（单位：秒）的关系图是（ ） A B C D 【考点】 动点问题的函数图象 【分析】 根据图示，分三种情况：（ 1）当点 P 沿 OC 运动时；（ 2）当点 P 沿 CD 运动时；（ 3）当点 P 沿 DO 运动时；分别判断出 y 的取值情况，进而判断出 y 与点 P 运动的时间 x（单位：秒）的关系图是哪个即可 【解答】 解：（ 1）当点 P 沿 OC 运动时， 当点 P 在点 O 的位置时， y=90， 当点 P 在点 C 的位置时， C， y=45， y 由 90逐渐减小到 45； （ 2）当点 P 沿 CD 运动时， 根据圆周角定理，可得 y902=45； （ 3）当点 P 沿 DO 运动时， 当点 P 在点 D 的位置时， y=45， 当点 P 在点 0 的位置时， y=90， y 由 45逐渐增加到 90 故选： B 【点评】 （ 1）此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的 含义即学会识图 （ 2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等 17如图是抛物线 y1=bx+c（ a0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标 A（ 1， 3），与 x 轴的一个交点 B（ 4， 0），直线 y2=mx+n（ m0）与抛物线交于 A， B 两点，下列结论： 2a+b=0； 0； 方程 bx+c=3 有两个相等的实数根； 抛物线与 x 轴的另一个交点是（ 1， 0）； 当 1 x 4 时，有 其中正确结论的个数是（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 【考点】 二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质 【分析】 根据抛物线对称轴方程对 进行判断；由抛物线开口方向得到 a 0，由对称轴位置可得 b 0，由抛物线与 y 轴的交点位置可得 c 0，于是可对 进行判断；根据顶点坐标对 进行判断；根据抛物线的对称性对 进行判断；根据函数图象得当 1 x 4 时，一次函数图象在抛物线下方，则可对 进行判断 【解答】 解： 抛物线的顶点坐标 A（ 1， 3）， 抛物 线的对称轴为直线 x= =1， 2a+b=0，所以 正确； 抛物线开口向下， a 0， b= 2a 0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c 0， 0，所以 错误； 抛物线的顶点坐标 A（ 1， 3）， x=1 时，二次函数有最大值， 方程 bx+c=3 有两个相等的实数根，所以 正确； 抛物线与 x 轴的一个交点为（ 4， 0） 而抛物线的对称轴为直线 x=1， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（ 2， 0），所以 错误； 抛物线 y1=bx+c 与直线 y2=mx+n（ m0）交于 A（ 1， 3）， B 点（ 4， 0） 当 1 x 4 时， 以 正确 故选： C 【点评】 本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数 y=bx+c（ a0），二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a 0 时，抛物线向上开口；当 a 0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 0），对称轴在 y 轴左； 当a 与 b 异号时（即 0），对称轴在 y 轴右（简称：左同右异）；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物线 与 y 轴交于（ 0， c）；抛物线与 x 轴交点个数由 决定： =40 时，抛物线与 x 轴有2 个交点； =4 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； =40 时，抛物线与 x 轴没有交点 三、解答题 18解下列方程： （ 1）（ x 1） 2=9 （ 2） 4x+3=0 【考点】 解一元二次方程 一元二次方程 【分析】 （ 1）利用直接开方法解一元二次方程即可 （ 2）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，然后解两个一元一次方程即可 【解答】 解：（ 1） （ x 1） 2=9， x 1=3， ， 2； （ 2） 4x+3=0 （ x 1）（ x 3） =0， x 1=0 或 x 3=0， ， 【点评】 本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法 19如图，在 ， 0， ， （ 1）求作 O，使它过点 A、 B、 C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （ 2）在（ 1）所作的圆中，求出劣弧 的度数和 的长 【考点】 作图 复杂作图；弧长的计算 【分析】 （ 1）直接利用过不在同一直线上的三点作圆的方法得出答案； （ 2）利用锐角三角函数关系得出 B 的度数，再利用弧长公式得出答案 【解答】 解：（ 1）如图所示： O 即为所求； （ 2）连接 0， ， ， ， B=30， O， B=30， 20， 劣弧 的度数为 120， ， ， 的长为： = 【点评】 此题主要考查了复杂作图以及弧长公式，正确掌握作三角形外接圆的方 法是解题关键 20某校 2016 届九年级两个班，各选派 10 名学生参加学校举行的 “汉字听写 ”大赛预赛各参赛选手的成绩如下： 九（ 1）班： 92， 93， 93， 93， 93， 93， 97， 98， 98， 100 九（ 2）班： 91， 93， 93， 93， 96， 97， 97， 98， 98， 99 通过整理，得到数据分析表如下： 班级 最高分 平均分 中位数 众数 方差 九（ 1）班 100 m 93 93 （ 2）班 99 6.5 n 1）直接写出表中 m、 n 的值； （ 2）依据数据分析表，有人说 ： “最高分在（ 1）班，（ 1）班的成绩比（ 2）班好 ”，但也有人说（ 2）班的成绩要好，请给出两条支持九（ 2）班成绩好的理由 【考点】 方差；加权平均数；中位数；众数 【分析】 （ 1）求出九（ 1）班的平均分确定出 m 的值，根据众数的定义求出 n 的值； （ 2）分别从平均分，方差等方面，写出支持九（ 2）班成绩好的原因 【解答】 解：（ 1） m= （ 92+93+93+93+93+93+97+98+98+100） =95； 93 出现了 3 次，出现的次数最多， 众数 n 是 93； （ 2） 九（ 2）班平均分高于九（ 1）班； 九（ 2）班的成绩比九（ 1）班稳定； 故支持九（ 2）班成绩好 【点评】 此题考查了平均数、众数、方差，一般地设 n 个数据， 则方差（ ） 2+（ ） 2+（ ） 2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立；众数是一组数据中出现次数最多的数 21小颖和小丽做 “摸球 ”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为 1 4 的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字若两次数字之和大于 5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由 【考点】 游戏公平性；列表法与树状图法 【分析】 列表得出所有等可能的情况数，找出数字之和大于 5 的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏 公平与否 【解答】 解：这个游戏对双方不公平 理由：列表如下： 1 2 3 4 1 （ 1， 1） （ 2， 1） （ 3， 1） （ 4， 1） 2 （ 1， 2） （ 2， 2） （ 3， 2） （ 4， 2） 3 （ 1， 3） （ 2， 3） （ 3， 3） （ 4， 3） 4 （ 1， 4） （ 2， 4） （ 3， 4） （ 4， 4） 所有等可能的情况有 16 种，其中数字之和大于 5 的情况有（ 2， 4），（ 3， 3），（ 3， 4），（ 4， 2），（ 4，3），（ 4， 4）共 6 种， 故小颖获胜的概率为： = ，则小丽获胜的概率为： ， ， 这个游戏对双方不公平 【点评】 此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平 22已知关于 x 的一元二次方程 m+3） x+3=0 （ 1）证明：当 m 取不等于 0 的任何数时，此 方程总有实数根； （ 2） m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根 【考点】 根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】 首先判定 m 不等于 0，然后根据根的判别式的意义判断根的情况； 首先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据方程两根为不相等的正整数根即可求出 m 的值 【解答】 解： 一元二次方程 m+3） x+3=0， m0， =（ m+3） 2 12m=（ m 3） 20， 当 m 取不等于 0 的任何数时，此方程总有实数根； m+3） x+3=0， （ x 1）（ 3） =0， ， ， 当 m=1 时， 故当 m 为 1 时，方程有两个不相等的正整数根 【点评】 本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的定义的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程 bx+c=0（ a0）的根与 =4如下关系： 当 0 时，方程有两个不相等的两个实数根； 当 =0 时，方程有两个相等的两个实数根； 当 0 时，方程无实数根 23如图， O 是等边 外心， 延长线和 O 相交于点 D，连接 （ 1）求证： （ 2）若 ，求阴影部分的面积 【考点】 三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算 【分析】 （ 1）根据内心性质得 1= 2， 3= 4，则 D，于是可判断四边形 菱形，则 直平分 4= 5= 6，易得 C， 2= 3，所以 C，可判断点 O 为 可判断 等边三角形，所以 20， C，再根据平行四边形的性质得 20， C， A=根据 “明 （ 2）作 H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到 0，根据垂径定理得到 H= ，得出 ， ，然后根 据三角形面积公式和扇形面积公式，利用 S 阴影部分 =S 扇形 S 【解答】 （ 1）证明：如图 1 所示： O 是等边 外心， 1= 2， 3= 4， D， 四边形 平行四边形， 四边形 菱形， 直平分 4= 5= 6， 而 1= 5， C， 2= 3， C， 点 O 为 外心， 等边三角形， 20， C， 四边形 平行四边形， 20， C， A， B， 在 ， ， （ 2）解：作 H，如图 2 所示， 20， B， （ 180 120） =30， H= ， ， ， S 阴影部分 =S 扇形 S 2 1= 【点评】 本题考查了三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、垂径定理、扇形面积公式等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键 24某商品交易会上，一商人将每件进价为 5 元的纪念品，按每件 9 元出售，每天可售出 32 件他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价 2 元，每天的销售量会减少8 件 （ 1）当售价定为多少元时，每天的利润为 140 元？ （ 2）写出每天所得的利润 y（元 ）与售价 x（元 /件）之间的函数关系式，每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？（利润 =（售价进价） 售出件数） 【考点】 二次函数的应用 【分析】 （ 1）设售价定为 x 元时，每天的利润为 140 元，根据题意列方程即可得到结论； （ 2）根据题中等量关系为：利润 =（售价进价） 售出件数，根据等量关系列出函数关系式，将函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出 y 的最大值 【解答】 解：（ 1）设售价定为 x 元时，每天的利润为 140 元， 根据题意得：（ x 5） 32 8（ x 9） =140， 解得： 2， 0， 答：售价定为 12 元或 10 元时，每天的利润为 140 元； （ 2）根据题意得； y=（ x 5） 32 （ x 9） ， 即 y= 48x 340； y= 4（ x 11） 2+152， 故当 x=11 时， y 最大 =152 元， 答：售价为 11 元时，利润最大，最大利润是 152 元 【点评】 本题考查的是二次函数的应用，熟知利润 =（售价进价） 售出件数是解答此题的关键 25如 图， O 的直径， 分 O 于点 E，过点 E 的直线 足为 F，B 为直径 一点，点 E、 F 分别在矩形 边 （ 1）求证：直线 O 的切线； （ 2）若 ， ，求 O 的直径 【考点】 切线的判定；矩形的性质 【专题】 证明题 【分析】 （ 1）连结 图，利用角平分线定义得到 1= 2，加上 1= 3，则 2= 3，于是可判断 可利用 到 后根据切线的判定定 理得到直线 O 的切线； （ 2）设 O 的半径为 r，则 E=r，由矩形的性质得 0， D=8，然后在 8 r） 2+42=得 r=5，于是得到 O 的直径为 10 【解答】 （ 1）证明：连结 图， 分 1= 2， E， 1= 3， 2= 3， 直线 O 的切线； （ 2）解：设 O 的半径为 r，则 E=r， 四边形 矩形， 0， D=8， 在 ， r， ， OE=r， （ 8 r） 2+42=得 r=5， O 的直径为 10 【点评】 本题考查了切线的判定：切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可 26小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数 y=， 常数）与 y=， b2，足 a1+， b1=c1+，则称这两个函数互为 “旋转函数 ”求 y= x 2 函数的 “旋转函数 ” 小明是这样思考的：由 y= x 2 函数可知 1， ， 2，根据 a1+， b1=c1+求出 能确定这个函数的 “旋转函数 ” 请参考小明的方法解决下面的问题： （ 1）写出函数 y= x 2 的 “旋转函数 ”； （ 2）若函数 y1=x+n 与 x2+3 互为 “旋转函数 ”，求（ m+n） 2016的值； （ 3）已知函数 y= （ x 1）（ x+4）的图象与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A、 B、 1、 证明经过点 二次函数与函数 y= （ x 1）（ x+4）互为 “旋转函数 ” 【考点】 二次函数图象与几何变换 【专题】 阅读型；新定义 【分析】 （ 1）根据 “旋转函数 ”的定义求出 而得到原函数的 “旋转函数 ”； （ 2）根据 “旋转函数 ”的定义得到 =m， 3+n=0，再解方程组求出 m 和 n 的值，然后根据乘方的意义计算； （ 3）先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定 A（ 1， 0）， B（ 4， 0）， C（ 0， 2），再利用关于原点对称的点的坐标特征得到 1， 0）， 4， 0）， 0， 2），则可利用交点式求出经过点 1， y= （ x+1）（ x 4） = x+2，再把 y= （ x 1）（ x+4）化为一般式，然后根据 “旋转函数 ”的定义进行判断 【解答】 （ 1）解： 1， ， 2， 1+， ， 2+， ， ， ， 函数 y= x 2 的 “旋转函数 ”为 y=x+2； （ 2）解：根据题意得 =m， 3+n=0，解得 m= 4， n=3， （ m+n）