等腰三角形三线合一典型题型[1]

1 等腰三角形三线合一 专题训练 姓名 例 1 如图 四边形 ABCD 中 AB DC BE CE 分别平分 ABC BCD 且点 E 在 AD 上 求证 BC AB DC 变 1 如图 AB CD A 90 AB 2 BC 3 CD 1 E 是 AD 边中点 求证 CE BE 变 2 如图 四边形 ABCD 中 AD BC E 是 CD 上一点 且 AE BE 分别平分 BAD ABC 1 求证 AE BE 2 求证 E 是 CD 的中点 3 求证 AD BC AB B C E AD 2 变 3 ABC 是等腰直角三角形 BAC 90 AB AC 若 D 为 BC 的中点 过 D 作 DM DN 分别交 AB AC 于 M N 求证 1 DM DN 若 DM DN 分别和 BA AC 延长线交于 M N 问 DM 和 DN 有何数量关系 1 已知 如图 AB AC E 为 AB 上一点 F 是 AC 延长线上一点 且 BE CF EF 交 BC 于点 D 求证 DE DF D D B BC C F F A A E E M N DCB A M N D C B A 3 2 已知 如图 AB AC E 为 AB 上一点 F 是 AC 延长线上一点 且 EF 交 BC 于点 D 且 D 为 EF 的中点 求证 BE CF D D B B C C F F A A E E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1 如图 在 ABC 中 AB AC P 为底边 BC 上的一点 PD AB 于 D PE AC 于 E CF AB 于 F 那么 PD PE 与 CF 相等吗 4 变 1 若 P 点在直线 BC 上运动 其他条件不变 则 PD PE 与 CF 的关系又怎样 请你 作图 证明 1 已知等腰三角形的两边长分别为 4 9 则它的周长为 A 17 B 22 C 17 或 22 D 13 根据等腰三角形的性质寻求规律根据等腰三角形的性质寻求规律 例例 1 1 在 ABC 中 AB AC 1 ABC 2 ACB BD 与 CE 相交于点 O 如图 BOC 的大 1 2 1 2 小与 A 的大小有什么关系 若 1 ABC 2 ACB 则 BOC 与 A 大小关系如何 1 3 1 3 若 1 ABC 2 ACB 则 BOC 与 A 大小关系如何 1 n 1 n 会用等腰三角形的判定和性质计算与证明会用等腰三角形的判定和性质计算与证明 例例 2 2 如图 等腰三角形 ABC 中 AB AC 一腰上的中线 BD 将这个等腰三角 形周长分成 15 和 6 两部分 求这个三角形的腰长及 5 底边长 利用等腰三角形的性质证线段相等利用等腰三角形的性质证线段相等 例例 3 3 如图 P 是等边三角形 ABC 内的一点 连结 PA PB PC 以 BP 为边作 PBQ 60 且 BQ BP 连结 CQ 1 观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系 并证明你的结论 2 若 PA PB PC 3 4 5 连结 PQ 试判断 PQC 的形状 并说明理由 例 1 等腰三角形底边长为 5cm 腰上的中线把三角形周长分为差是 3cm 的两部分 则腰长为 A 2cm B 8cm C 2cm 或 8cm D 不能确定 例 2 已知 AD 为 ABC 的高 AB AC ABC 周长为 20cm ADC 的周长为 14cm 求 AD 的长 例 3 如图 已知 BC 3 ABC 和 ACB 的平分线相交于点 O OE AB OF AC 求 OEF 的周长 例 4 如图 已知等边 ABC 中 D 为 AC 上中点 延长 BC 到 E 使 CE CD 连接 DE 试说明 DB DE A BC A BC D E A BFC O E 6 例 5 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 450 则这个三角形是 A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 例 6 1 等腰三角形的腰长为 10 底边上的高为 6 则底边的长为 2 直角三角形的周长为 12cm 斜边的长为 5cm 则其面积为 3 若直角三角形三边为 1 2 c 则 c 例 7 下列说法 若在 ABC 中 a2 b2 c2 则 ABC 不是直角三角形 若 ABC 是直角三角形 C 900 则 a2 b2 c2 若在 ABC 中 a2 b2 c2 则 C 900 若两直角边的平方和等于斜边的平方 可以判定这个三角形是直角三角形 正确的有 把你认为正确的序号填在横线上 例 8 正三角形 ABC 所在平面内有一点 P 使得 PAB PBC PCA 都是等腰三角形 则这样的 P 点 有 A 1 个 B 4 个 C 7 个 D 10 个 例 9 四边形ABCD中 AB BC ABC CDA 90 BE AD于点E 且四边形ABCD的面积为 8 则 BE A 2B 3C D 2 22 3 例 10 已知 ABC 为正三角形 P 为其内一点 且 AP 4 BP CP 2 则 ABC 的边长为 32 A B C 4 D 527224 三 巩固练习 1 已知等腰三角形的一边等于 5 另一边等于 9 求它的周长 2 在 ABC 中 AB AC B 400 则 A 3 等腰三角形的一个内角是 700 则它的顶角为 4 有一个内角为 40 的等腰三角形的另外两个内角的度数为 140 呢 5 如图 在 Rt ABC中 C 105o 直线BD交AC于D D C B A 7 P C B A 把直角三角形沿着直线BD翻折 点C恰好落在斜边AB上 如果 ABD是等腰三角形 那么 A 等于 A 40o B 30o C 25o D 1 15o 6 若 ABC 三边分别为 a b c 且满足 a2 b2 c2 50 6a 8b 10c 则 ABC 的形状为 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等边三角形 7 判定两个等腰三角形全等的条件可以是 A 有一腰和一角对应相等 B 有两边对应相等 C 有顶角和一个底角对应相等 D 有两角对应相等 8 等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于 A 顶角 B 底角 C 顶角的一半 D 底角的一半 9 在等腰三角形 ABC 中 A 与 B 度数之比为 5 2 则 A 的度数是 A 100 B 75 C 150 D 75 或 100 10 如图 P Q 是 ABC 边 BC 上的两点 且 QC AP AQ BP PQ 则 BAC A 1250 B 1300 C 900 D 1200 11 如图 ABC 中 AB AC BD CE 为中线 图中共有等腰三角形 个 A 4 个 B 6 个 C 3 个 D 5 个 12 如图 AB AC AE EC ACE 280 则 B 的度数是 A 600 B 700 C 760 D 450 13 如图是一个等边三角形木框 甲虫 P 在边框 AC 上 端点 A C 除外 设甲虫 P 到 另外两边距离之和为 d 等边三角形 ABC 的高为 h 则 d 与 h 的大小关系是 解题方法指导解题方法指导 例 1 已知 如图 AB AC CD 求证 B 2 D A B C D E C B A E D C B A Q PCB A 10 题图11 题图 12 题图 8 例 2 已知 如图 ABC 是等边三角形 AD BC AD BD BC 6 求 AD 的长 D A B C 考点指要考点指要 等腰三角形 等边三角形及含 30 角的直角三角形是应用非常广泛的图形 因此 在中考试题中 经常以证明题或计算题频频出现 而且经常把它们结合在一道题中加以应用 虽然题目的难度不是很 大 但也要善于分析 找出图形中有关的性质 典型例题分析典型例题分析 例 1 2005 年 苏州 如图 等腰三角形 ABC 的顶角为 120 腰长为 10 则底边上的高 AD A B C D 例 2 已知 如图 ABC 中 C 90 AB 的垂直平分线交 AB 于 E 交 AC 于 D AD 8 A 30 求 CD 的长 C D A B E 例 3 已知 如图 ABC 是等边三角形 E 是 AB 上一点 D 是 AC 上一点 且 AE CD 又 BD 与 CE 交于点 F 试求 BFE 的度数 9 A E D F B C 综合测试综合测试 1 已知 如图 AB AC ABD ACD 求证 DB DC A B C D 2 已知 如图 D E 是 BC 上两点 AB AC AD AE 求证 BD CE A B D E C 3 已知 如图 ABC 中 DE BC AB AC 求证 AD AE A D E B C 4 已知 如图 ABC 中 AB AC D 是 AB 上一点 E 是 AC 延长线上一点 DE 交 BC 于 F 又 BD CE 求证 DF EF A D B C E F 10 5 已知 如图 D 是 BC 上一点 ABC BDE 都是等边三角形 求证 AD CE A B D C E 6 已知 如图 ABC 中 B 90 AC 的垂直平分线交 AC 于 D 交 BC 于 E 又 C 15 EC 10 求 AB 的长 A D B C E 例 6 如图 11 在 ABC 中 A 90 AB AC D 为 BC 边中点 E F 分 别在 AB AC 上 且 DE DF 求证 AE AF 是一个定值 证明 连接 AD AB AC D 为 BC 中点 AD BC BAC 90 AB AC B C 45 BAD 45 CAD 45 AD BD CD EDF 90 EDA ADF 90 又由 AD BC 得 BDE ADE 90 BDE ADF 在 BDE 和 ADF 中 B DAF BD AD BDE ADF BDE ADF BE AF AE AF AE BE AB 定值 思考 四边形 AEDF 的面积是否也是定值呢 为什么 例 4 如图 9 已知 AD 为 ABC 的高 E 为 AC 上一点 BE 交 AD 于 F 且有 BF AC FD CD 你认为 BE 与 AC 之间有怎样的位置关系 你能证明它吗 证明 线段 BE AC 理由如下 AD BC ADB ADC 90 FBD BFD 90 图 11 F A DB C E 图图5 5 DB C A O 11 在 Rt BDF 和 Rt ADC 中 BF AC FD CD Rt BDF Rt ADC BFD C FBD C 90 BEC 180 FBD C 180 90 90 即 BE AC 例 5 如图 10 在 ABC 中 ACB 90 AC BC M 是 AB 上一点 求证 222 2AMBMCM 证明 过 C 作 CD AB 于点 D ACB 90 AC BC CD AB A B 45 ACD BCD 45 A ACD B BCD AD BD BD CD 即 AD BD CD CD AB 222 DMCDCM 2222222 2 2AMBMADDMBDDMDMCDCM 思考 请同学们试试用另外的方法来证明本题 例 1 如图 5 在 ABC 中 AB AC 点 O 在 ABC 内 OB OC 求证 AO BC 证明 延长 AO 交 BC 于点 D AB AC OB OC OA OA ABO ACO BAO CAO 即 BAD CAD AD BC 即 AO BC 例 2 如图 6 在等边 ABC 中 D E 分别在边 BC BA 的延长线上 且 AE BD 求证 CE DE 证明 过 E 作 EF CD 于点 F ABC 是等边三角形 B 60 BEF 30 BE 2BF 即 BA AE BC BD 2BC CD 2 BC CF CD 2CF CF DF 在 CEF 和 DEF 中 CF DF CFE DFE 90 EF EF 图图6 6 E E F A A B BD DC C 图图9 9 E A F BCD 图图1 10 0 C DA B M 12 CEF DEF CE DE 例 3 如图 7 已知在 ABC 中 AB AC P 为底边 BC 上任意一点 PD AB 于点 D PE AC 于 点 E 求证 PD PE 是一个定值 解 连接 AP 过点 C 作 CF AB 于点 F 由 1 2 ABC SAB CF 1 2 PAB SAB PD 11 22 PAC SAC PEAB PE ABCPABPAC SSS 得 111 222 AB CFAB PDAB PE 即 定值 PDPECF 说明 本例的结论可用文字语言叙述为 等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高 拓展 如果点 P 不是在边 BC 上 而是在 BC 的延长线上 其它条件保持不变 那么 PD 与 PE 之间 又有怎样的关系呢 解 连接 AP 过点 C 作 CF AB 于点 F 如图 8 由 1 2 ABC SAB CF 1 2 PAB SAB PD 11 22 PAC SAC PEAB PE ABCPABPAC SSS 得 111 222 AB CFAB PDAB PE 即 定值 PDPECF 即 当点 P 在 BC 延长线上时 PD 与 PE 之差为一定值 基础训练基础训练 1 填空题 1 等腰三角形中 如果底边长为 6 一腰长为 8 那么周长是 2 如果等腰三角形有一边长是 6 另一边长是 8 那么它的周长是 如果等腰三角形的两 边长分别是 4 8 那么它的周长是 3 等腰三角形的对称轴最多有 条 2 填空题 1 如果 ABC 是等腰三角形 那么它的边长 或周长 可以是 A 三条边长分别是 5 5 11 B 三条边长分别是 4 4 8 C 周长为 14 其中两边长分别是 4 5 D 周长为 24 其中两边长分别是 6 12 2 等腰三角形一边长为 2 周长为 5 那么它的腰长为 A 3 B 2 C 1 5 D 2 或 1 5 3 已知等腰三角形的腰长是底边的 3 倍 周长为 35cm 求等腰三角形各边的长 4 已知 如图 AD 平分 BAC AB AC 请你说明 DBC 是等腰三角形 图 7 F E D BC A P P 图 8 F E D B C A 13 5 已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组 的解 求这个三角形的各边长 1 等腰三角形的顶角平分线 互相重合 2 等腰三角形有一个角是 120 那么其他两个角的度数是 和 3 ABC 中 A B 2 C 那么 C 4 在等腰三角形中 设底角为 x 顶角为 y 则用含 x 的代数式表示 y 得 y 用含 y 的 代数式表示 x 得 x 2 选择题 1 等腰三角形的一个外角为 140 那么底角等于 A 40 B 100 C 70 D 40 或 70 2 等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于 A 顶角 B 底角 C 顶角的一半 D 底角的一