2.3抛物线（通用）VIP

抛物线的几个常见结论及其应用抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。结论一：若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，则：，。证明：因为焦点坐标为F(,0),当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为： ，由得: ，。当ABx轴时，直线AB方程为，则，同上也有：。例：已知直线AB是过抛物线焦点F，求证：为定值。证明：设，由抛物线的定义知：，又+=，所以+=-p，且由结论一知：。则： =（常数）结论二：（1）若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为，则（0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。证明：（1）设，设直线AB:由得:, ，。易验证，结论对斜率不存在时也成立。（2）由（1）：AB为通径时，的值最大，最小。例：已知过抛物线的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为 。解：由结论二，12=（其中为直线AB的倾斜角）， 则，所以直线AB倾斜角为或。结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 （2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。已知AB是抛物线的过焦点F的弦，求证：（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。BAMNQPyxOF(2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB相切。证明：(1)设AB的中点为Q,过A、Q、B向准线l作垂线，垂足分别为M、P、N，连结AP、BP。由抛物线定义：，以AB为直径为圆与准线l相切OAMNPyxF（2）作图如（1），取MN中点P，连结PF、MF、NF，AMOF，AMF=AFM，AMF=MFO，AFM=MFO。同理，BFN=NFO，MFN=（AFM+MFO+BFN+NFO）=90，B，PFM=FMPAFP=AFM+PFM=FMA+FMP=PMA=90，FPAB以MN为直径为圆与焦点弦AB相切。结论四：若抛物线方程为，过（，0）的直线与之交于A、B两点，则OAOB。反之也成立。证明：设直线AB方程为:，由 得， 0，AOBO，将，代入得，。直线AB恒过定点（0，1）。当且仅当k=0时，取最小值1。结论五：对于抛物线，其参数方程为设抛物线上动点坐标为，为抛物线的顶点，显然，即的几何意义为过抛物线顶点的动弦的斜率例直线与抛物线相交于原点和点，为抛物线上一点，和垂直，且线段长为，求的值解析：设点分别为，则，的坐标分别为练习：1. 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若线段与的长分别是，则= 【解析：化为标准方程，得，从而取特殊情况，过焦点的弦垂直于对称轴，则为通径，即，从而，故】2.设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于两点点在抛物线的准线上，且轴证明直线经过原点【证明：抛物线焦点为设直线的方程为，代入抛物线方程，得若设，则轴，且点在准线；又由，得，故，即直线经过原点】3.已知抛物线的焦点是，准线方程是，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程【解：设是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得整理，得，此即为所求抛物线的方程抛物线的对称轴应是过焦点且与准线垂直的直线，因此有对称轴方程设对称轴与准线的交点为，可求得，于是线段的中点就是抛物线的顶点，坐标是】备选1.抛物线的顶点坐标是，准线的方程是，试求该抛物线的焦点坐标和方程解：依题意，抛物线的对称轴方程为设对称轴和准线的交点是，可以求得设焦点为，则的中点是，故得焦点坐标为再设是抛物线上的任一点，根据抛物线的定义