高考数学一轮总复习 第五篇 第1讲 平面向量的概念及其线性运算课件 理 湘教版.ppt

第1讲平面向量的概念及其线性运算 2014年高考会这样考 1 在平面几何图形中考查向量运算的平行四边形法则及三角形法则 2 考查平面向量的几何意义及共线向量定理的应用 考点梳理 1 向量的定义 即有 又有 的量叫做向量 1 向量的有关概念 有向线段的方向 大小 长度 大小 方向 4 零向量 长度等于 的向量 其方向是任意的 5 单位向量 长度等于 的向量 6 平行向量 方向相同或 的非零向量 又叫共线向量 规定 0与任一向量共线 7 相等向量 长度相等且 相同的向量 8 相反向量 长度相等且 相反的向量 1个单位 相反 方向 方向 0 2 向量的线性运算 b a a b c 三角形 平行四边形 三角形 1 法则 将向量v乘以一个正数 得到一个向量 v 它的方向与v相同 长度 v 是 v 的 倍 将向量v乘以一个负数 得到一个向量 v 它的方向与 相反 长度 v 是 v 的 倍 向量v乘以0得到的0v是零向量 2 运算律 向量与实数的乘法满足以下运算律 设a是任意向量 x y是任意两个实数 则 x y a xa ya x ya xy a 设a b是任意两个向量 是任意实数 则 a b a b 3 实数与向量相乘 两个向量平行 其中一个向量是另一个向量的实数倍 上述结论还可表示为 向量a a 0 与b共线的充要条件是存在唯一一个实数 使得 4 共线向量 b a 一条规律一般地 首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量 一个结论一个区别向量的平行与直线的平行不同 向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两种情形 助学 微博 a 有不相等的模b 不共线c 不可能都是零向量d 不可能都是单位向量解析因为所有的零向量都是相等的向量 故只有c正确 答案c 考点自测 1 若向量a与b不相等 则a与b一定 a 共线b 不共线c 共线且同向d 不一定共线解析当n 0时 k与m不共线 故选d 答案d 2 若m n n k 则向量m与向量k 答案d 答案a 5 设a与b是两个不共线向量 且向量a b与2a b共线 则 例1 给出下列命题 审题视点 以概念为判断依据 或通过举反例 考向一平面向量的有关概念 正确 a b a b的长度相等且方向相同 又b c b c的长度相等且方向相同 a c的长度相等且方向相同 故a c 不正确 当a b且方向相反时 即使 a b 也不能得到a b 故 a b 且a b不是a b的充要条件 而是必要不充分条件 综上所述 正确命题的序号是 答案 准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键 特别是对相等向量 零向量等概念的理解要到位 充分利用反例进行否定也是行之有效的方法 a与b共线 b与c共线 则a与c也共线 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四顶点 向量a与b不共线 则a与b都是非零向量 有相同起点的两个非零向量不平行 其中所有正确命题的序号是 训练1 给出下列四个命题 解析由于零向量与任一向量都共线 命题 中的b可能为零向量 从而不正确 由于数学中研究的向量是自由向量 所以两个相等的非零向量可以在同一直线上 而此时就构不成四边形 更不可能是一个平行四边形的四个顶点 所以命题 不正确 向量的平行只要方向相同或相反即可 与起点是否相同无关 所以命题 不正确 正确 综上所述 正确命题的序号是 答案 审题视点 结合图形 灵活运用三角形法则和平行四边形法则进行加减运算 考向二平面向量的线性运算 用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧 观察各向量的位置 寻找相应的三角形或平行四边形 运用法则找关系 化简结果 例3 设两个非零向量a与b不共线 求证 a b d三点共线 2 试确定实数k 使ka b和a kb共线 考向三共线向量的应用 2 解假设ka b与a kb共线 则存在实数 使ka b a kb 即 k a k 1 b 又a b是两不共线的非零向量 k k 1 0 k2 1 0 k 1 利用共线向量成立条件 既可以证明向量共线 也可以由向量共线求参数 利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点 命题研究 通过近三年的高考试题分析 平面向量的概念和运算时常以选择题 填空题的形式出现 有时解答题的题设条件也以向量的形式给出 命题的出发点主要是以平面图形为载体 借助平面几何 解析几何等知识 考查平面向量的线性运算法则及其几何意义以及两个向量共线的充要条件 或以向量为载体求参数的值 方法优化6 准确把握平面向量的概念和运算 a 若 a b a b 则a bb 若a b 则 a b a b c 若 a b a b 则存在实数 使得b ad 若存在实数 使得b a 则 a b a b 教你审题 思路1根据选项逐个进行排除 思路2将模的运算转化为数量积的形式进行分析 真题探究 2012 浙江 设a b是两个非零向量 一般解法 排除法 选项a 若b a 则等式 a b a b 成立 显然a b不成立 选项b 若a b且 a b 则 a b 0 显然 a b a 0 故 a b a b 不成立 选项d 若b a 则 a b 0 显然 a b 2 a 0 故 a b a b 不成立 综上 a b d都不正确 故选c 优美解法 数量积法 把等式 a b a b 两边平方 得 a b 2 a b 2 即2a b 2 a b 而a b a b cos a b 所以cos a b 1 又因