2008年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题(含答案)

第 1 页 共 4 页 20082008 年我爱数学初中生夏令营数学竞赛年我爱数学初中生夏令营数学竞赛 说明说明 第一试每题 50 分 共 150 分 第二试每题 15 分 共 150 分 第一试第一试 1 已知当 x 的值分别为 2 m1 m2时 多项式 ax2 bx c 的值分别为 0 p1 p2 如果 a b c 并且 p1p2 cp1 ap2 ac 0 那么 能否保证 当 x 的值分别为 m1 5 m2 5 时 该多项式的值中至少有一个 是正数 证明你的结论 2 在 ABC 中 A 75 B 35 D 是边 BC 上一点 BD 2CD 求证 AD2 AC BD AC CD 3 1 写出四个连续的正整数 使得它们中的每一个都是某个不为 1 的完全平方数的倍数 并指出它们 分别是哪一个完全平方数的倍数 2 写出六个连续的正整数 使得它们中的每一个都是某个不为 1 的完全平方数的倍数 并指出它们分 别是哪一个完全平方数的倍数 说明你的计算方法 第二试第二试 1 若 2 008 an 3 n an 1 3 n 1 a1 3 a0 ai 0 1 2 i 0 1 n 则 an an 1 a1 a0 2 能使关于 x 的方程 x2 6x 2n 0 n N 有整数解的 n 的值的个数等于 3 如果函数 y b 的图像与函数 y x2 3 x 1 4x 3 的图像恰有三个交点 则 b 的可能值是 4 已知 a 为整数 关于 x 的方程 2 a 0 有实数根 则 a 的可能值是 1 4 1 2 2 4 x x x x 5 如果某数可以表示成 91 的某个倍数的数字和 就把这个数叫做 和谐数 那么 在 1 2 2 008 中 和谐数的个数是 6 已知某种型号的汽车每台的售价是 23 万元 某工厂在一年中生产这种汽车的总成本由固定成本和 生产成本两部分组成 一年的固定成本为 7000 万元 在这一年中生产这种汽车 x 辆时 生产每一辆车 的生产成本为万元 0 xb c 得 a 0 c 0 c 2a 0 因此 仅当 c 2a x 2 时 该多项式的值不是正数 由已知得 p1 a p2 c 0 则 p1 a 0 或 p2 c 0 解得 p1 a 0 或 p2 c 0 因此 存在 i i 1 或 2 使得 pic 2a 由已知得 c 4a 2b 6a 则 c a 6 c 2a 3 mi 5 2 当 x mi 5 时 该多项式的值是正数 因此 可以保证 当 x 的值分别为 m1 5 m2 5 时 该多项式的值 中至少有一个是正数 2 由已知得 C 70 延长 BC 至 E 使 AC CE 联结 AE 则 CEA CAE ACB 35 ABC 2 1 故 CAE AEB 从而 AE2 AC BE 即 AB2 AC AC BC 设 F 是 BD 的中点 联结 AF 则 CD DF FB 在 ACF ADB 中 由中线的性质分别得 AC2 AF2 2CD2 2AD2 AD2 AB2 2DF2 2AF2 由式 得 2AC2 AB2 6CD2 3AD2 将式 代入式 得 3AC2 AC BC 6CD2 3AD2 将 BC 3CD 代入上式得 AC2 AC CD 2CD2 AD2 故 AD2 AC2 AC CD 2CD2 AC 2CD AC CD AC BD AC CD 3 1 242 243 244 245 是四个连续的正整数 242 是 112的倍数 243 是 32的倍数 244 是 22的倍数 245 是 72的倍数 2 2 348 124 2 348 125 2 348 126 2 348 127 2 348 128 2 348 129 是六个连续的正整数 其中 2 348 124 是 22的倍数 2 348 125 是 52的倍数 2 348 126 是 112的倍数 2 348 127 是 32的倍数 2 348 128 是 22的倍数 2 348 129 是 72的倍数 计算方法如下 记 A 4 9 121 49k k N 由 1 可知 A 240 是 22的倍数 A 242 是 112的倍数 A 243 是 32的倍数 A 244 是 22的倍数 A 245 是 72的倍数 设 A 241 是 52的倍数 则当 k 11 时 上式成立 此时 A 2 347 884 A 240 2 348 124 是 22的倍数 A 241 2 348 125 是 52的倍数 A 242 2 348 126 是 112的倍数 A 243 2 348 127 是 32的倍数 A 244 2 348 128 是 22的倍数 A 245 2 348 129 是 72的倍数 第二试第二试 1 0 或 4 或 8 2 008 2 3 6 2 3 5 2 3 3 3 2 1 此时 an an 1 a0 0 2 008 2 3 6 2 3 5 2 3 3 3 2 3 2 此时 an an 1 a0 4 第 3 页 共 4 页 2 008 3 7 3 6 2 3 5 2 3 3 3 2 3 2 此时 an an 1 a0 8 2 008 2 3 6 2 3 5 3 4 3 3 3 2 1 此时 an an 1 a0 4 2 008 3 8 2 3 7 3 5 3 4 3 3 3 2 1 此时 an an 1 a0 8 注意到 将 3 n变为 1 3 n 1 2 3 n 将 2 3 n变为 1 3 n 1 3 n 将 3 3 n变为 1 3 n 1 的时候 an an 1 a0的值都增加或减少 4 并且当 n 8 时 an an 1 a0的绝对值不大于 8 因此 an an 1 a0 0 或 4 或 8 2 1 x 3 其中 是完全平方数 显然 n 2 n2 23 n2 23 当 n 2 时 可设 2n 32 2k 1 2 k N k 2 即 2n 2 k 2 k 1 显见 k 1 1 k 2 n 4 能使原方程有整数解的 n 的值的个数等于 1 3 6 25 4 令 y x2 3 x 1 4x 3 则 y x2 x 6 x 1 4 25 2 1 2 x y x2 7x x 1 4 49 2 7 2 x 当 x 1 时 y 6 当 x 12 时 y 25 4 由图像知 所求 b 的可能值是 6 25 4 4 0 1 2 令 y 则 0 y 1 由 1x x 2 y2 4y 2 a 0 y 2 2 2 a 1 2 a 4 1 a 2 因此 a 的可能值是 0 1 2 5 2 007 注意到 91 7 13 数字和为 1 的数不是 91 的倍数 1 001 10 101 10 011 001 101 011 001 100 110 011 001 1 010 110 011 001 都是 91 的倍数 而它们的数字和依次是 2 3 4 5 6 7 因此 在 1 2 2 008 中 能够表示成 91 的某个倍数的数字和的数的个数是 2 007 6 318 若该厂一年中生产的这种汽车的销售收入不低于总成本 则 23x 7000 0 x x x 3 70 x 300 0 xx 2 201 1 1 x x 318 2 34 6601 因此 在一年中至少需要生产这种汽车 318 辆 7 2 008 2 0062 由已知得或 2008 a a 1 n n 1 n n a 1 a 1 只能经过第 类变换或第 类变换变为 an n 2 3 2 008 从 a1 开 第 4 页 共 4 页 始连续经过 2 007 次这样的变换变为 a2 008 连续两次第 类变换相互抵消 保持原数不变 连续三次变换依次是 第 类变换 第 类变换 第 类变换 时 其中两次第 类变换相互抵消 相当于只对原数进行了一次第 类变换 因此 对 2 的连续 2 007 次变换相当于对 2 连续进行 m 次第 类变换或第 类变换 而且只有在第一次和最后一次变换中才可能是第 类变换 而对 2 连续 2 007 次变换 前 2 006 次为第 类变换 最后一次为第 类变换 时 a2008达到最大值 2 008 2 0062 8 线段 AM 内 设直线 AB 与 O 的另一交点为 D 不妨设点 B 在点 A 和 D 之间 过点 D 作直线 AC 的垂线 DE 垂足为 E 则 AB AD k k 是一个不变的常数 ABC ADE AB AC AD AE AB2 AC AB AD AE k AE 当 AE 达到最大值 即点 B 的位置在线段 AM 内时 AB2 AC 的值达到最小 9 50 由已知 BAC 20 BCD 50 故 BC BD CBE 60 ABE 20 在 CE 上取一点 F 使 CBF 20 则 EBF 40 BF FE DBF 60 BFC 80 BC BF 由式 得 BD BF 知 BDF 是正三角形 于是 BF DF 由式 得 DF FE 知 DFE 是等腰三角形 又 BFD 60 知 DFE 40 从而 FED 70 ADE 50 10 1 351 373 940 将 1 2 2 008 分成 1 004 组 1 2 008 2 2 007 1 004 1 005 由题设 各组中恰取出一个数 将 2 4 2 008 中的 1 004 1 006 1 008 1 010 分别换成同一组的 1 005 1003 1001 999 其余各数不变 就是所选出的符合题目要求的 1 004 个数 2 4 2 008 1 004 1 006 1 008 1 010 1 005 1 003 1