高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列的前n项和（2）课件 新人教A版必修5.ppt

等差数列的前n项和 二 等差数列的前n项和公式 形式1 形式2 复习回顾 前100个自然数的和 1 2 3 100 前n个奇数的和 1 3 5 2n 1 前n个偶数的和 2 4 6 2n 思考题 如何求下列和 n2 n n 1 1 将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数 这个函数有什么特点 当d 0时 sn是常数项为零的二次函数 则sn an2 bn 令 说明 推导等差数列的前n项和公式的方法叫 等差数列的前n项和公式类同于 an 为等差数列 这是一个关于的没有的 倒序相加法 梯形的面积公式 sn an2 bn n 常数项 二次函数 注意a还可以是0 例1已知数列 an 中sn 2n2 3n 求证 an 是等差数列 例1 若等差数列 an 前4项和是2 前9项和是 6 求其前n项和的公式 解 设首项为a1 公差为d 则有 设sn an2 bn 依题意得 s4 2 s9 6 即 解之得 另解 等差数列的前n项的最值问题 例1 已知等差数列 an 中 a1 13且s3 s11 求n取何值时 sn取最大值 解法1 由s3 s11得 d 2 当n 7时 sn取最大值49 等差数列的前n项的最值问题 例1 已知等差数列 an 中 a1 13且s3 s11 求n取何值时 sn取最大值 解法2 由s3 s11得 d 2 0 当n 7时 sn取最大值49 则sn的图象如图所示 又s3 s11 所以图象的对称轴为 等差数列的前n项的最值问题 例1 已知等差数列 an 中 a1 13且s3 s11 求n取何值时 sn取最大值 解法3 由s3 s11得 d 2 当n 7时 sn取最大值49 an 13 n 1 2 2n 15 由 得 a7 a8 0 等差数列的前n项的最值问题 例1 已知等差数列 an 中 a1 13且s3 s11 求n取何值时 sn取最大值 解法4 由s3 s11得 当n 7时 sn取最大值49 a4 a5 a6 a11 0 而a4 a11 a5 a10 a6 a9 a7 a8 又d 20 a7 0 a8 0 例1的变式题二 等差数列 an 的首项a1 0 前n项和为sn sm sl 问 n为何值时 sn最大 例1的变式题一 等差数列 an 中 首项a1 s3 s11 问 这个数列的前几项的和最大 例2 已知数列 an 是等差数列 且a1 21 公差d 2 求这个数列的前n项和sn的最大值 求等差数列前n项的最大 小 的方法 方法1 由利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值 方法2 利用an的符号 当a1 0 d0时 数列前面有若干项为负 此时所有负项的和为sn的最小值 其n的值由an 0且an 1 0求得 练习 已知数列 an 的通项为an 26 2n 要使此数列的前n项和最大 则n的值为 a 12b 13c 12或13d 14 c 2 等差数列 an 前n项和的性质 性质1 sn s2n sn s3n s2n 也成等差数列 公差为 在等差数列 an 中 其前n项的和为sn 则有 性质2 若sm p sp m m p 则sm p 性质3 若sm sp m p 则sp m n2d 0 m p 性质4 为等差数列 两等差数列前n项和与通项的关系 性质6 若数列 an 与 bn 都是等差数列 且前n项的和分别为sn和tn 则 例1 设等差数列 an 的前n项和为sn 若s3 9 s6 36 则a7 a8 a9 a 63b 45c 36d 27 例2 在等差数列 an 中 已知公差d 1 2 且a1 a3 a5 a99 60 a2 a4 a6 a100 a 85b 145c 110d 90 b a 3 等差数列 an 前n项和的性质的应用 例3 一个等差数列的前10项的和为100 前100项的和为10 则它的前110项的和为 110 等差数列 an 前n项和的性质的应用 例5 一个等差数列的前12项的和为354 其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32 27 则公差为 例6 09宁夏 等差数列 an 的前n项的和为sn 已知am 1 am 1 am2 0 s2m 1 38 则m 例7 设数列 an 的通项公式为an 2n 7 则 a1 a2 a3 a15 5 10 153 等差数列 an 前n项和的性质的应用 例8 设等差数列的前n项和为sn 已知a3 12 s12 0 s13 0 1 求公差d的取值范围 2 指出数列 sn 中数值最大的项 并说明理由 解 1 由已知得 等差数列 an 前n项和的性质 2 sn图象的对称轴为 由 1 知 由上得 即 由于n为正整数 所以当n 6时sn有最大值 sn有最大值 练习1已知等差数列25 21 19 的前n项和为sn 求使得sn最大的序号n的值 练习2 求集合的元素个数 并求这些元素的和 练习3 已知在等差数列 an 中 a10 23 a25 22 sn为其前n项和 1 问该数列从第几项开始为负 2 求s10 3 求使sn 0的最小的正整数n 4 求 a1 a2 a3 a20 的值 课堂小结 1 根据等差数列前n项和 求通项公式 2 结合二次函数图象和性质求的最值 3 设等差数列 an 的前 项和为sn 已知a3 12 s12 0 s13 0 1 求公差d的取值范围 2 指出s1 s2