高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.2 充要条件课件4 新人教A版选修11.ppt

第2课时充要条件的应用 自主预习 1 充要条件 1 定义 若p q且q p 则记作 此时p是q的充分必要条件 简称充要条件 2 条件与结论的等价性 如果p是q的充要条件 那么q也是p的 p q 充要条件 2 互为充要条件如果 那么p与q互为充要条件 p q 即时小测 1 若p是q的必要条件 s是q的充分条件 那么下列推理一定正确的是 a p sb s pc p sd p s 解析 选a 因为p是q的必要条件 s是q的充分条件 所以q p s q 所以s p 则根据逆否命题的等价性可知 p s 2 x y 是 x y 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选b x y x y或x y x y x y 3 已知sin 0 是 为第三象限角 的 a 充分但不必要条件b 必要但不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选c 当sin 0 为第三象限角 4 在锐角 abc中 a 是 sina 成立的 条件 解析 因为 abc是锐角三角形 所以a sina 答案 充要 5 log3m log3n 是 m n 成立的 条件 解析 由log3m log3n 又因为对数函数y log3x在定义域 0 上单调递增 所以m n 当m n 由于不知道m n是否为正数 所以log3m log3n不一定有意义 故不能推出log3m log3n 所以log3m log3n是m n成立的充分不必要条件 答案 充分不必要 知识探究 探究点充要条件1 符号 的含义是什么 提示 表示 等价 如 a与b等价 指的是 如果a 那么b 同时有 如果b 那么a 或者说 从a推出b 同时可 从b推出a 2 p的充要条件是q与p是q的充要条件一样吗 提示 从充要性来说一样 但 p的充要条件是q 的充分性是q p 而 p是q的充要条件 的充分性是p q 归纳总结 1 命题按条件和结论的充分性 必要性可分为四类 1 充分必要条件 充要条件 即p q且q p 2 充分不必要条件 即p q且qp 3 必要不充分条件 即pq且q p 4 既不充分又不必要条件 即pq且qp 2 从集合的角度判断充分条件 必要条件和充要条件 其中p a x p x 成立 q b x q x 成立 特别提醒 p是q的充要条件意味着 p成立则q成立 p不成立则q不成立 类型一充要条件的判断 典例 1 2015 重庆高考 x 1 是 x 2 0 的 a 充要条件b 充分而不必要条件c 必要而不充分条件d 既不充分也不必要条件 2 2016 天津高考 设x 0 y r 则 x y 是 x y 的 a 充要条件b 充分而不必要条件c 必要而不充分条件d 既不充分也不必要条件 解题探究 1 典例1中如何求满足 x 2 1 2 题2中判断的关键是什么 提示 分y 0和y 0去绝对值讨论 解析 1 选b x 2 1 x 1 因此若x 1 则x 1成立 若x 1 则x 1不一定成立 所以是充分不必要条件 2 选c 当y 0时 x y x y 当y y x y但x yx y 所以 x y 是 x y 的必要而不充分条件 方法技巧 充要条件的常用判断方法 1 命题判断法 设 若p 则q 为原命题 那么 原命题为真 逆命题为假时 p是q的充分不必要条件 原命题为假 逆命题为真时 p是q的必要不充分条件 原命题与逆命题都为真时 p是q的充要条件 原命题与逆命题都为假时 p是q的既不充分也不必要条件 2 等价转化法 p是q的什么条件等价于 q是 p的什么条件 变式训练 1 a 2 是 函数f x ax 3在区间 1 2 上存在零点 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选a 若函数f x ax 3在区间 1 2 上存在零点 则f 1 f 2 0 得a 3或a 所以 a 2 是 函数f x ax 3在区间 1 2 上存在零点 的充分不必要条件 2 已知命题p x 1或y 2 命题q x y 3 则命题p是q的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选b 命题p x 1或y 2 则 p x 1且y 2 命题q x y 3 则 q x y 3 易知 p q 其等价命题为q p 故p是q的必要不充分条件 3 2016 北京高考 设a b是向量 则 a b 是 a b a b 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解题指南 利用向量加法的平行四边形法则 减法的三角形法则解决 解析 选d 由 a b a b 可得a b 所以 a b 是 a b a b 的既不充分也不必要条件 类型二充要条件的证明 典例 2016 广安高二检测 求证 0 a0对一切实数x都成立的充要条件 解题探究 典例中不等式成立的条件怎样求 提示 分a 0 a 0两种情况求 解析 充分性 当00对一切实数x都成立 而当a 0时 不等式ax2 ax 1 a 0可变成1 0 显然当a 0时 不等式ax2 ax 1 a 0对一切实数x都成立 必要性 因为ax2 ax 1 a 0对一切实数x都成立 所以a 0或解得0 a0对一切实数x都成立的充要条件 方法技巧 充要条件的证明策略 1 要证明一个条件p是否是q的充要条件 需要从充分性和必要性两个方向进行 即证明两个命题 若p 则q 为真且 若q 则p 为真 2 在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明 证明p与q的解集是相同的 证明前必须分清楚充分性和必要性 即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论 变式训练 已知a b是实数 求证 a4 b4 2b2 1成立的充分条件是a2 b2 1 该条件是否为必要条件 试证明你的结论 解析 因为a2 b2 1 所以a4 b4 2b2 a2 b2 a2 b2 2b2 a2 b2 2b2 a2 b2 1 即a4 b4 2b2 1成立的充分条件是a2 b2 1 另一方面 若a4 b4 2b2 1 即a4 b4 2b2 1 0 a4 b2 1 2 0 a2 b2 1 a2 b2 1 0 又a2 b2 1 0 所以a2 b2 1 0 即a2 b2 1 因此a2 b2 1是a4 b4 2b2 1成立的必要条件 补偿训练 2015 西安高二检测 若m a b三点不共线 且存在实数 1 2 使 求证 c为ab的中点 的充要条件是 1 2 解题指南 证明时首先搞清楚条件p和结论q分别指什么 然后证明p q 充分性 和q p 必要性 成立 证明 充分性 因为 1 2 所以即即 0 所以c为ab的中点 必要性 因为c为ab的中点 所以所以所以 又因为m a b三点不共线 所以是平面向量的一组基底 所以 1 2 所以 c为ab的中点 的充要条件是 1 2 类型三求充要条件 典例 1 直线x y m 0与圆 x 1 2 y 1 2 2相切的充要条件是 2 2016 运城高二检测 求关于x的一元二次不等式ax2 1 ax对于一切实数x都成立的充要条件 解题探究 1 直线与圆相切的充要条件是什么 提示 圆心到直线的距离等于半径 2 求一个问题的充要条件的关键是什么 提示 关键是把这个问题进行等价转化 规范解答 1 直线x y m 0与圆 x 1 2 y 1 2 2相切 圆心 1 1 到直线x y m 0的距离等于 m 2 2 m 4或0 答案 m 4或02 由题可知等价于 0 a 4 延伸探究 1 典例2中不等式改为ax2 1 ax 求其对于一切实数x都成立的充要条件 解析 不等式恒成立等价于解得 4 a 0 2 典例2中的不等式改为方程 求方程有两个正根的充要条件 解析 一元二次方程为ax2 ax 1 0 设方程的两根为x1 x2 则方程有两个正根的充要条件是解得a 4 方法技巧 求充要条件的方法求一个问题的充要条件 就是利用等价转化的思想 使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合 这就要求我们转化的时候思维要缜密 补偿训练 求一元二次方程ax2 bx c 0有一正根和一负根的充要条件 解析 方法一 设方程两根为x1 x2 则方程有一正根和一负根的充要条件是x1x2 0 即ac 0 方法二 1 先求必要条件 因为方程ax2 bx c 0有一正根和一负根 设为x1 x2 则由根与系数的关系得x1x2 0 即ac 0 2 证明该条件是充分的 当ac0 所以方程一定有两个不等实根 设为x1 x2 则x1x2 0 所以方程的两根异号 即方程ax2 bx c 0有一正根和一负根 由 1 2 可知 一元二次方程ax2 bx c 0有一正根和一负根的充要条件是ac 0 自我纠错充要条件的判断 典例 若a b为实数 则 ab 1 是 0 a 的 a 充