初二数学-等腰三角形

1,华乐思在线教学直播课堂,马上开始,请同学们准备好笔和纸，认真听讲,直播课程：等腰三角形,主讲老师：邬风云,中学高级教师，毕业于东北师范大学数学系，曾在吉林市524厂子弟中学、山东省信息技术学院、北京市十一学校担任数学教师，连续多年带毕业班，中考成绩优异,3,一、本专题考察的知识点,1.等腰三角形的性质与应用2.等边三角形的性质与应用3.含30直角三角形的性质4.分类讨论的思想方法在等腰三角形中的应用,4,1.等腰三角形的概念:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角,二、知识归纳,5,2.等腰三角形的性质等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”）等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”）,二、知识归纳,6,3.等腰三角形的判定方法:(1)有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（定义）(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.简写成“等角对等边”.,二、知识归纳,7,4.等边三角形的有关概念在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。,二、知识归纳,8,5.等边三角形的性质:(1)等边三角形的三边相等（定义）(2)等边三角形的三个内角都相等,都等于60.,二、知识归纳,9,6.等边三角形的判定:(1)三边相等的三角形是等边三角形（定义）(2)三个内角都相等的三角形是等边三角形(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形,二、知识归纳,10,7.直角三角形的性质:在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半,二、知识归纳,11,例1.已知：如图，房屋顶角BAC=100，过屋顶A的立柱ADBC，屋檐AB=AC求顶架上的B，C，BAD，CAD的度数,三、典型例题 -计算题,思路分析：已知顶角BAC=100，利用等腰三角形顶角与底角的关系，易求B和C；利用三线合一，易求BAD和CAD的度数,12,解：在ABC中，AB=ACB=C（等边对等角）BAC=100B=C=1/2(180100)=40在ABC中， AB=AC，ADBC（三线合一）BAD=CAD=1/2BAC=50,三、典型例题 -计算题,13,例2. 已知等腰三角形的一个角是70,求其余两角,思路分析：已知等腰三角形的一个角是70,那么这个70的角可能为等腰三角形的底角或为等腰三角形的顶角；由三角形内角和定理易求出其余两角,70、40或55、55,；,三、典型例题 -计算题,14,引申： 已知等腰三角形的一个角是110，求其余两角,答案:其余两角为35、35,三、典型例题 -计算题,15,归纳：等腰三角形的顶角可以是锐角、直角和钝角； 底角只能是锐角所以，看到等腰三角形中的一个角的度数时，要注意判断这个角可能是顶角还是底角，是否需要分类讨论,三、典型例题 -计算题,16,例3.如图：ABC中，AB=AC，BD平分ABC交AC于D，若BDC=120，求DBC的度数.,思路分析：由BD平分ABC，易知1=2， 则设1=2 =x，由AB=AC可得C=1+2=2x,在DBC中由三角形内角和定理可列出x的方程，求出x,三、典型例题 -计算题,17,三、典型例题 -计算题,18,三、典型例题 -计算题,19,例4. 在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求A的度数.,思路分析: 由题设中的等边关系(AB=AC，BD=BC=AD),可以推出角的等量或倍数关系,在利用方程思想,可求出图中各角的度数.,1,三、典型例题 -计算题,20,解：设1=x,BD=BC=AD ,1=2,3=C,3 =C=1+2=2x,AB=AC，ABC=C=2x,在ABC中，A+ABC+C=180,即5x=180,A=x=36.,三、典型例题 -计算题,21,例5. 等腰三角形底边中点到两腰的距离相等.,提示：本题为文字命题，解题时应分为以下三个步骤：（1）根据题意作图；（2）写出已知，（3）进行求证,三、典型例题 -证明题,22,三、典型例题 -证明题,23,三、典型例题 -证明题,24,例6.如图：在三角形ABC中，AB=AC,BDAC于D，求证：DBC= A,思路分析：由等腰三角形“三线合一”可联想到作底边的高，可推出1/2BAC=EAC, 由BDAC，AE为高可知EAC和DBC都与C互余，推出DBC=EAC=1/2BAC.,E,三、典型例题 -证明题,25,E,证明：过点A作AEBC于点E,又AB=AC,EAC =1/2BAC,BDAC，AE为高可知,EAC和DBC都与C互余,DBC=EAC=1/2A,三、典型例题 -证明题,26,课间休息五分钟,27,例7.在ABC中，AB=AC，D是CA延长线上一点,DFBC于F，交AB于E，求证：AE=AD.,思路分析：由等腰三角形“三线合一”可联想到作底边的高AM，可推出1=2,由DFAC，AMBC可知DFAM，从而3=4，证出结论,M,1,3,4,2,三、典型例题 -证明题,28,3,4,1,2,证明：过点A作AMBC于M， AB=AC,1=2,DFAC，AMBC,DFAM，3=1， 2=4 3=4 ,AD=AE,三、典型例题 -证明题,29,例8如图，ABC是正三角形，D、E、F分别是AB、BC、CA上的点，且ADBECF，试说明DEF是等边三角形,思路分析：利用等边三角形的性质可推出，边、角的等量关系，从而易证三角形全等。进而说明DEF是等边三角形,三、典型例题 -证明题,30,证明：ABC是正三角形，AB=BC=CA,A=B=C=60,又ADBECF，BD=EC=AF,ADFBEDCFE,DE=EF=DFDEF是等边三角形,三、典型例题 -证明题,31,例9如图，ABD、 AEC都是等边三角形，求证： AFG是等边三角形,思路分析：利用等边三角形的性质可推出，边、角的等量关系，从而易证三角形全等，进而说明AFG是等边三角形,三、典型例题 -证明题,32,证明：ABD 和AED是正三角形，AB=AD,AC=AE,BAD=CAE=60, CAD=BAD+CAB=60+CAB, BAE=CAE+CAB=60+CAB, CAD=BAE, ADCBAE, ADF=GBA,三、典型例题 -证明题,33,又AD=AB,FAG=180-BAD-CAE=60, FAG=DAF=60, ADFBAG, AF=AG,又FAG=60,DEF是等边三角形,三、典型例题 -证明题,34,例10. 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形,提示：本题为文字命题，首先应根据题意作图；写出已知，求证,三、典型例题 -证明题,35,已知：CAE为ABC的外角，1=2， ADBC.求证：AB=AC,思路分析：欲证AB=AC 可先证B=C,又1=2，所以应设法寻求B、C与1、2的关系，又由 ADBC易得结论.,三、典型例题 -探究题,36,证明： ADBC，1=B（两直线平行， 同位角相等）， 2=C（两直线平行， 内错角相等）1=2，B=C，AB=AC（等边对等角）,三、典型例题 -探究题,37,归纳基本图形:图中有三个论断:(1)AD平分EAC,(2)ADBC,(3)ABC为等腰三角形.,三、典型例题 -探究题,我们任选两个论断作为条件,都能推出第三个论断.(即可以知二推一),38,引申1：已知，在ABC中，BO、 CO分别平分ABC和ACB，BO与CO交于点O，过O点作DEBC,交AB于D点,交AC于E点，若AB=8cm,AC=6cm，求ADE的周长.,思路分析：通过观察可以发现本图是由上例的两个基本图形组合而成的.,三、典型例题 -探究题,1,3,2,4,6,5,39,引申2：当过ABC的一个内角和一个外角平分线的交点作这两角的公共边的平行线时，如图EF=?,思路分析：通过观察可以发现本图是由上例的两个基本图形组合而成的.,三、典型例题 -探究题,40,引申3：当过ABC的两个外角平分线上一点，作这两个角的公共边的平行线时，如图EF=？,思路分析：通过观察可以发现本图是由上例的两个基本图形组合而成的.,三、典型例题 -探究题,41,例11已知：ABC中，ABC=3C, 1=2,BEAE.求证：AC-AB=2BE.,思路分析：延长BE与AC交于点F,构造全等三角形ABEAFE,则2BE=BF,AC-AB=CF,我们只要判定FBC为等腰三角形即可,F,三、典型例题 -探究题,42,证明：延长BE与AC交于点F, BEAE.AEB=AEF=90 , 1=2,AE=AE,ABEAFE,2BE=BF,AB=AF,AC-AB=AC-AF=FC, ABF=AFB=FBC+C,三、典型例题 -探究题,43,ABC=3C,ABF+FBC=3C, FBC+C+FBC=3C, FBC=C,BF=FC,AC-AB=2BE.,三、典型例题 -探究题,44,例12已知：ABC中，AB=AC,A=90, BD平分ABC,CEBD.求证：BD=2CE.,思路分析：由条件BD平分ABC,AB=AC,可以想到延长CE与BA交于点F,构造等腰三角,推出CF=2CE,又由BEFACF,则BD=CF,即推出BD=2CE,三、典型例题 -探究题,F,1,1,