化工类练习题2009年.doc

练 习 题1 简述解线性代数方程组的直接法和迭代法的基本思想和解法种类2用Gauss消去法求下列方程组的解. 3使用矩阵的三角分解法，求解线性方程组:4给定线性方程组：证明：它用Jacobi 方法求解时发散，而用Gauss-seidel方法求解时收敛，并说明用Jacobi 方法求解时发散的含义。解： ， ， 由A=-L+D-U 可得： 由可知 由可得： 1=0，2，3= , 故 从而可知用Jacobi迭代法求解时发散。 而 由可得 1=0，2，3=，故从而可知Gauss_seidel迭代法收敛。 Jacobi迭代法发散的含义是：并不是对所有初始x(0),都有迭代序列x(k)发散，有可能对某些初始值x(0)，由它产生的序列收敛，若迭代序列的所有特征值的模均大于1，则对任何初始值x(0)，由它产生的迭代序列均发散，若迭代矩阵的特征值中有部分特征值其模大于1，有部分特征值其模小于1，则迭代序列的收敛性不定。5. 设有线性方程组：试证明此线性代数方程组用Jacobi迭代法求解时对任意初始向量都收敛, 而用Gauss-seidel迭代法求解时不是对任意初始向量都收敛。取 ,试用J-迭代法进行求解,要求。解：对此方程组,由于，(1)用J-迭代法求解，故用J-迭代法求解时对任意初始值都收敛。(2)用GS-迭代法求解，故用Gauss-seidel迭代法求解发散.这种发散的含义:用Gauss-seidel迭代法求解时并不是对任意初始值都发散,即对有的初始值,用GS-迭代法求解时可能发散,但对有些初始值,用GS-迭代法求解时却可能收敛。，。6.设是维向量，是阶方阵， ，其中 为矩阵B的谱半径，试证明向量范数和矩阵范数满足关系式：（1） ；（2）；（3）。7写出时 Lagrange插值基函数的表达式；解：8对线性代数方程组假设全不为零，试写出J acobi迭代格式的分量形式以及矩阵形式。解：线性代数方程组的矩阵形式为，其中 ，令，则，从而线性代数方程组可以写成因此，J acobi迭代格式的分量形式为J acobi迭代格式的矩阵形式为 9.设是互不相同的节点，是插值基函数，求证：对任何k=0,1,2,n下式成立： （1） （2）证明：(1) 令 则的Lagrange插值多项式为其中为Lagrange插值基函数。插值余项为 其中 ，在之间.由于 故，从而,即), 故(2) 根据二项式展开定理有： (由(1)结论可得) 10.已知函数的数据如下：， （1）求的四次Lagrange插值多项式及牛顿差商表和牛顿插值公式，并写出截断误差表达式。（2）如果再增加一个节点，试利用（1）的结果，来求在新的条件下，的牛顿差商表和牛顿插值公式，并写出截断误差表达式。解：（1）Lagrange插值多项式： 牛顿差商表：xy一阶差商二阶差商三阶差商0213121294514745913-17429103牛顿差值多项式为： 截断误差为： （2）牛顿差值多项式为：截断误差为： 11、设的函数值及导数值为：，试求次数不超过2的插值多项式。解：因为若在上有三阶连续导数，已知在上两个互异点上的函数值，和一阶导数值，则次数不超过二次的插值多项式为 并且插值余项为所以本题的插值多项式为 12、的插值二次式，使得，计算的近似值。解：插值多项式为故的近似值为 13. 若则14.若在上有三阶连续导数，且已知在上两个互异点上的函数值，和一阶导数值，试用插值导出的表达式为其中15.求满足条件12231-1的埃尔米特（Hermite）插值多项式.16对下列数据集，用最小二乘法求解拟合抛物线12345-2-1012101029