第二章 第三节

第三节函数的奇偶性及周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(5)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x| Dy2x解析：选B根据偶函数的定义知偶函数满足f(x)f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数也不是偶函数3已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()AB.C.D解析：选Bf(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0，ab.4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x3)f(x)，且当x时，f(x)x3，则f()A B. C D.解析：选B由f(x3)f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，所以fff3.5函数f(x)在R上为奇函数，且x0时，f(x)x1，则当x0时，f(x)x1，当x0，f(x)f(x)(x1)，即x0时，f(x)(x1)x1.答案：x16.设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为_解析：由函数f(x)为奇函数，作出函数在5,0)上的图象，由图象知，不等式f(x)0的解集为(2,0)(2,5答案：(2,0)(2,5考什么怎么考函数的奇偶性问题是高考的热点，主要考查函数奇偶性的判断与函数奇偶性的应用，多以选择、填空题的形式出现，属于中低档题.考法(一)函数奇偶性的判断1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x)解：(1)由f(x)，可知故函数f(x)的定义域为x|6x0或0x6，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数(2)由x21x1，故函数f(x)的定义域为1,1，关于原点对称，且f(x)0，所以f(x)f(x)f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数(3)由1x0或0x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数法三：f(x)还可以写成f(x)x2|x|(x0)，故f(x)为偶函数题型技法判定函数奇偶性的2种常用方法(1)定义法(2)图象法考法(二)函数奇偶性的应用2(2018福建三明模拟)函数yf(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)()A2xB2xC2x D2x解析：选C当x0时，x0，x0时，f(x)2x.f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)f(x)2x.3(2018合肥八中模拟)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.解析：f(x)xln(x)为偶函数，f(x)f(x)，即xln(x)xln(x)，从而ln()2x20，即ln a0，故a1.答案：1题型技法函数奇偶性的应用(1)求函数解析式将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；将转化后的自变量代入已知解析式；利用函数的奇偶性求出解析式(2)求参数值在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(x)f(x)或偶函数满足f(x)f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)0列式求解，若不能确定则不可用此法注意利用“奇函数在关于原点对称的区间上有最值，则f(x)maxf(x)min0”的性质解决有关最值问题怎样快解准解1力避失误稳得分(1)首先必须判断f(x)的定义域是否关于原点对称若不关于原点对称，则是非奇非偶函数若关于原点对称，则需定义域内的任意x满足定义若否定函数的奇偶性只需有一个自变量不满足(如第1题(1)(2)有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误，(如第1题(2)，若不化简可能会出现误判)，(如第1题(3)可能会误判为非奇非偶函数)(3)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性(如第1题(4)2利用二级结论快得分 (1)对于运算函数有如下结论：奇奇为奇；偶偶为偶；奇偶为非奇非偶；奇()奇为偶；奇()偶为奇；偶()偶为偶(2)若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式记偶函数g(x)f(x)f(x)，奇函数h(x)f(x)f(x)，则f(x)g(x)h(x)(3)复合函数yfg(x)的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇(4)若奇函数yf(x)在x0处有意义，则有f(0)0；偶函数yf(x)必满足f(x)f(|x|)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题，在高考中经常出现，虽不及函数的单调性、奇偶性考查频率高，但仍不失为一个重点内容，多以选择题、填空题形式考查，属中低档题.典题领悟1若f(x)是定义在R上的周期为4的函数，且在0,2上的解析式为f(x)则f_.解析：因为f(x)的周期为4，则fffcoscos，所以ff.答案：2已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x2)1f(x)1f(x)，f(2)2 018，则f(2 018)_.解析：显然f(x)1，故已知条件可变形为f(x2)，所以f(x4)，所以f(x8)f(x)，则f(x)为周期函数，且8为f(x)的一个周期，所以f(2 018)f(25282)f(2)2 018.答案：2 018解题师说1明确解题的2个关键(1)根据函数的周期性将待求函数值的自变量值转化到分段函数中的定义域范围内，再代入相应解析式求解；(2)对其函数解析式变形，使得其满足函数周期性的相关定义，进而归纳总结确定对应的周期，为进一步分析与求解打下基础2熟记4种常见抽象函数的周期(1)若f(xa)f(x)，则T2|a|；(2)若f(xa)，则T2|a|；(3)若f(xa)，则T2|a|；(4)若f(xa)f(xa)，则T2|a|.冲关演练1设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1,1)时，f(x)则f_.解析：f(x)是定义在R上的周期为2的函数，且f(x)ff4221.答案：12已知定义在R上的函数满足f(x2)，x(0,2时，f(x)2x1.则f(1)f(2)f(3)f(2 018)的值为_解析：f(x2)，f(x4)f(x)，函数yf(x)的周期T4.又x(0,2时，f(x)2x1，f(1)1，f(2)3，f(3)1，f(4).f(1)f(2)f(3)f(2 018)504f(1)f(2)f(3)f(4)f(50441)f(50442)504131 348.答案：1 348函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主.多以选择题、填空题形式出现.,常见的命题角度有：(1)单调性与奇偶性结合；(2)周期性与奇偶性结合；(3)单调性、奇偶性与周期性结合.题点全练角度(一)单调性与奇偶性结合1(2017全国卷)函数f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是()A2,2B1,1C0,4 D1,3解析：选Df(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)单调递减，1x21，1x3.角度(二)周期性与奇偶性结合2(2017山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.解析：f(x4)f(x2)，f(x6)f(x)，f(x)的周期为6，91915361，f(919)f(1)又f(x)为偶函数，f(919)f(1)f(1)6.答案：6角度(三)单调性、奇偶性与周期性结合3定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在0,2)上单调递减，则下列结论正确的是()A0f(1)f(3) Bf(3)0f(1)Cf(1)0f(3) Df(3)f(1)f(0)f(1)，即f(1)00时，f(x)2x，则0的解集为()A(1,0)(0,1) B(1,0)(1，)C(，1)(0,1) D(，1)(1，)解析：选D当x0时，函数f(x)单调递增，又f(1)0，f(x)2x0的解集为(1，)f(x)是奇函数，是偶函数，则0的解集为(，1)(1，)2已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若实数a满足f(2|a1|)f()，则a的取值范围是_解析：f(x)是定义在R上的偶函数，且在(，0)上单调递增，f(x)在(0，)上单调递减，f()f()，f(2|a1|)f()，2|a1|2，|a1|，即a1，即a.答案：3设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间2,0)(0,2上，f(x)则f(2 017)_.解析：设0x2，则2x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当x0时，f(0)0，也满足f(x)f(x)所以函数f(x)为奇函数答案：10设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当0x1时，f(x)2x1，则ff(1)ff(2)f_.解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)f(1)0，f(1)f(1)，即f(1)0.ff(1)ff(2)ff0ff(0)ffff(0)fff(0)212011.答案：1B级中档题目练通抓牢1设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sin x当0x时，f(x)0，则f()A. B.C0 D解析：选Af(x2)f(x)sin(x)f(x)sin xsin xf(x)，f(x)的周期T2，又当0x时，f(x)0，f0，ffsin0，f，fff.2已知函数f(x)是奇函数，在(0，)上是减函数，且在区间a，b(abg(0)g(1)答案：f(1)g(0)g(1)5.已知偶函数yf(x)，奇函数yg(x)的定义域均为4,4，f(x)在4,0上，g(x)在0,4上的图象如图所示，则不等式0的解集为_解析：因为函数yf(x)是偶函数，yg(x)是奇函数，它们的定义域均为4,4，结合奇函数和偶函数图象的性质可得两个函数在定义域上完整的图象如图所示由图可得，当x(2,0)(2,4)时，f(x)与g(x)异号，此时f(x)g(x)0，即0.答案：(2,0)(2,4)6设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有ff成立(1)证明yf(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)2，求f(2)f(3)的值解：(1)证明：由ff，且f(x)f(x)，知f(3x)fff(x)f(x)，所以yf(x)是周期函数，且T3是其一个周期(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)0，且f(1)f(1)2，又T3是yf(x)的一个周期，所以f(2)f(3)f(1)f(0)202.7已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是xf(2x1)成立的x的取值范围为_解析：由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)f(|x|)，由f(x)f(2x1)，可得f(|x|)f(|2x1|)当x0时，f(x)ln(1x)，因为yln(1x)与y在(0，)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，)上单调递增由f(|x|)f(|2x1|)，可得|x|2x1|，两边平方可得x2(2x1)2，整理得3x24x10，解得x1.所以符合题意的x的取值范围为.答案：(二)重点高中适用作业A级保分题目巧做快做1(2018长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，)上单调递增的是()AyexexByln(|x|1)Cy Dyx解析：选D选项A，B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D中，yx是奇函数，且yx和y在(0，)上均为增函数，故yx在(0，)上为增函数，所以选项D正确2.(2018莱芜模拟)设函数f(x)为偶函数，当x(0，)时，f(x)log2x，则f()()A B.C2 D2解析：选B由已知得f()f()log2.故选B.3已知函数f(x)x3sin x1(xR)，若f(a)2，则f(a)的值为()A3 B0C1 D2解析：选B设F(x)f(x)1x3sin x，显然F(x)为奇函数，又F(a)f(a)11，所以F(a)f(a)11，从而f(a)0.4.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)则g(f(7)()A3 B3C2 D2解析：选D因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)所以f(7)f(7)log2(71)3，所以g(f(7)g(3)f(3)f(3)log2(31)2，故选D.5.奇函数f(x)的定义域为R.若f(x2)为偶函数，且f(1)1，则f(8)f(9)()A2 B1C0 D1解析：选D由函数f(x2)为偶函数可得，f(2x)f(2x)又f(x)f(x)，故f(2x)f(x2)，所以f(2x)f(x2)，即f(x4)f(x)所以f(x8)f(x4)f(x)f(x)，故该函数是周期为8的周期函数又函数f(x)为奇函数，故f(0)0.所以f(8)f(9)f(0)f(1)011，故选D.6.已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x(0,1)时，f(x)3x1，则f()A.1 B.1C1 D1解析：选D由题可知f(x2)f(x)f(x)，所以fffff.又当x(0,1)时，f(x)3x1，所以f1，则ff1.7.已知函数f(x)是奇函数，当x0时，f(x)ln x，则f的值为_解析：由已知可得fln2，所以ff(2)又因为f(x)是奇函数，所以ff(2)f(2)ln 2.答案：ln 28.设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当0x1时，f(x)2x1，则ff(1)ff(2)f_.解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)f(1)0，f(1)f(1)，即f(1)0.ff(1)ff(2)ff0ff(0)ffff(0)fff(0)212011.答案：19已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是xf(2x1)成立的x的取值范围为_解析：由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)f(|x|)，由f(x)f(2x1)，可得f(|x|)f(|2x1|)当x0时，f(x)ln(1x)，因为yln(1x)与y在(0，)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，)上单调递增由f(|x|)f(|2x1|)，可得|x|2x1|，两边平