小学数学运算经典题解

数学运算经典题解数学运算经典题解 1 剪绳子问题 例一例一 将一根绳子连续对折三次 然后每隔一定长度剪一刀 共剪 6 刀 问这样操作后 原来的绳子被剪成了几段 A 18 段 B 49 段 C 42 段 D 52 段 息戎注 对折三次这条绳子就变成息戎注 对折三次这条绳子就变成 2 3 段 有段 有 7 个拐点 对折个拐点 对折 n 次就有次就有 2 n 段 拐段 拐 点有点有 2 n 1 个 注意是对折 与平均折三次有本质区别 个 注意是对折 与平均折三次有本质区别 解析 切一刀变成解析 切一刀变成 2 n 1 份 以后每多切一刀就增加份 以后每多切一刀就增加 2 n 份 所以切了份 所以切了 6 刀 就变成刀 就变成 2 3 6 1 49 因此针对因此针对 对折剪绳子问题对折剪绳子问题 得到公式如下 对折得到公式如下 对折 n 次 均匀剪了次 均匀剪了 m 刀 共变成刀 共变成 2 n m 1 份 其中有份 其中有 2 n 1 份份 看拐点的个数看拐点的个数 的长度是其他绳子长度的两倍 的长度是其他绳子长度的两倍 例二例二 变形题 将一根绳子连续对折三次 然后每隔一定长度剪一刀 共剪 6 刀 问 这样操作后 剪成两种长度的绳子 较短的绳子比较长的绳子多多少根 解析 一共剪成解析 一共剪成 49 短 拐点有短 拐点有 7 个 因此有个 因此有 7 个长度是另一种长度两倍 个长度是另一种长度两倍 49 7 2 35 例三 例三 一根铁丝长 厘米 剪二种规格的小段 厘米和 厘米的 不能有 剩余 问最少剪几次 最多剪 息戎解析息戎解析 2000 36 55 20 2000 19 105 5 我们发现 我们发现 36n 19m 2000 n 和和 m 都是整数 都是整数 从上面两个式子我们可以得到 从上面两个式子我们可以得到 36 乘乘 以以 n 小于小于 55 的数加上的数加上 20 是是 19 的倍数 因为的倍数 因为 余数的积余数的积 等于等于 积的余数积的余数 17n 20 是是 19 可以看成 可以看成 19 17 2 的倍数 的倍数 n 10 符合条件的还有符合条件的还有 29 48 10 19 的倍数的倍数 所以 所以 45 2000 19 45 20 65 最少要切成最少要切成 65 段需要段需要 64 刀刀 最多 就是切成最多 就是切成 36 的越少 段数越多 的越少 段数越多 36 48 20 19 55 48 92 7 99 所以切所以切 98 刀刀 2 不定值问题 不定值问题 例一例一 小明用 5 天时间看完了一本 200 页的故事书 已知第二天看的页数比第一天多 第 三天看的页数是第一 二两天看的页数之和 第四天看的页数是第二 三两天看的页数 之和 第五天看的页数是第三 四两天看的页数之和 那么 小明第五天至少看了多少页 解析 解析 设小明第一天看了设小明第一天看了 a 页 第二天看了页 第二天看了 b 页 则前五天看的页数依次为页 则前五天看的页数依次为 a b a b a 2b 2a 3b 上面各个数的和是上面各个数的和是 200 得到 得到 5a 7b 200 因为因为 5a 与与 200 都是都是 5 的倍数 所以的倍数 所以 b 是是 5 的倍数的倍数 因为因为 b a 所以上式只有两组解所以上式只有两组解 b 20 a 12 b 25 a 5 将这两组解分别代入将这两组解分别代入 2a 3b 得到第五天至少看了 得到第五天至少看了 84 页页 例二 例二 国 2007 51 学校举办一次中国象棋比赛 有 10 名同学参加 比赛采用单循 环赛制 每名同学都要与其他 9 名同学比赛一局 比赛规则 每局棋胜者得 2 分 负者 得 0 分 平局两人各得 1 分 比赛结束后 10 名同学的得分各不相同 已知 1 比赛第一名与第二名都是一局都没有输过 2 前两名的得分总和比第三名多 20 分 3 第四名的得分与最后四名的得分和相等 那么 排名第五名的同学的得分是 A 8 分 B 9 分 C 10 分 D 11 分 解析 解析 10 名同学单循环比赛 共需比赛名同学单循环比赛 共需比赛 C210 45 场 每人比赛场 每人比赛 9 场 每场比赛无场 每场比赛无 论比赛结果如何 对比赛双方得分总贡献为论比赛结果如何 对比赛双方得分总贡献为 2 分 若双方打平的话 双方各得分 若双方打平的话 双方各得 1 分 若分 若 有一方获胜 则胜方得有一方获胜 则胜方得 2 分 负方得分 负方得 0 分 因此所有人总得分是分 因此所有人总得分是 45 2 90 分 根据分 根据 条件 条件 1 知道前两名之间的比赛是平局 第一名的成绩最多是 知道前两名之间的比赛是平局 第一名的成绩最多是 2 8 1 17 分 因为分 因为 他们得分各不相同 第二名的得分最多是他们得分各不相同 第二名的得分最多是 16 分 根据条件 分 根据条件 2 第三名的得分最多是 第三名的得分最多是 13 分 那么第四名的得分最多是分 那么第四名的得分最多是 12 分 第五名的得分最多是分 第五名的得分最多是 11 分 根据条件 分 根据条件 3 后四名 七至十名 的得分和最多是后四名 七至十名 的得分和最多是 12 分 若第五名得分不足分 若第五名得分不足 11 分 则第五名得分最分 则第五名得分最 多是多是 10 分 第六名的得分最多是分 第六名的得分最多是 9 分 此时所有人的得分和分 此时所有人的得分和 17 16 13 12 10 9 12 89 90 分 矛盾 假设不成立 即第五名的得分恰为分 矛盾 假设不成立 即第五名的得分恰为 11 分 分 息戎解析息戎解析 设第三名为 设第三名为 a 第四名为 第四名为 b 第五名为 第五名为 c 第六名为第六名为 d 10 名同学单循环比赛就是每俩人干一场名同学单循环比赛就是每俩人干一场 C210 45 所以所以 45 场共场共 90 分 下面就是看看这个分 下面就是看看这个 90 分的分配 分的分配 2a 20 2b c d 90 2 a b c d 70 a b 大于等于大于等于 c d 4 所以 所以 3 c d 62 c d 20 6666 c d c 11 可以确定 可以确定 因为考场上没有时间验证 只能直接去确定值 因为考场上没有时间验证 只能直接去确定值 例三 例三 A B C D E 五个人在一次满分为 100 分的考试中 得分都是大于 91 的整 数 如果 A B C 的平均分为 95 分 B C D 的平均分为 94 分 A 是第一名 E 是 第三名得 96 分 则 D 的得分是 A 96 分 B 98 分 C 97 分 D 99 分 息戎解析息戎解析 95 3 94 3 可以得到 可以得到 A D 3 可以排除可以排除 B 和和 D 项 项 如果如果 D 等于等于 96 那么那么 B 或或 C 就是第二名 第就是第二名 第 5 名就小于名就小于 91 只能选只能选 C 例四例四 五个人的体重之和是 428 斤 他们的体重都是整数 并且各不相同 则体重最轻的人 最重可能是 斤 A 80 B 82 C 83 D 84 解析 解析 423 5 84 3 抛开抛开 3 先看中间值是 先看中间值是 84 的连续五个数的连续五个数 82 83 84 85 86 最轻的提高一斤 就需要最轻的提高一斤 就需要 5 斤来提高整体斤来提高整体 3 可以忽略掉 可以忽略掉 例五 例五 现有鲜花 21 朵分给 5 人 若每个人分得的鲜花数目各不相同 则分得鲜花最多 的人至少分得 朵鲜花 A7 B 8 C 9 D 10 3 解析 解析 21 5 4 1 展开 展开 23456 看最高的 余数只能加到看最高的 余数只能加到 6 上 上 余数 倍余数 倍 数 约数问题 数 约数问题 例一 例一 有四个自然数 A B C D 它们的和不超过 400 并且 A 除以 B 商是 5 余 5 A 除以 C 商是 6 余 6 A 除以 D 商是 7 余 7 那么 这四个自然数的和是 A 216 B 108 C 314 D 348 息戎解析息戎解析 先确定 先确定 A 的值 的值 A 是是 5 6 7 的公倍数 其中最小公倍数是的公倍数 其中最小公倍数是 210 因为 因为 他们的和不超过他们的和不超过 400 只有只有 210 符合 符合 B 5X 5 210 C 6x 6 210 D 7X 7 210 解出来加和便得到 解出来加和便得到 210 41 34 29 314 例二例二 已知三个连续自然数依次是 11 9 7 的倍数 并且都在 500 1500 之间 那么这 三个数的和是 A 3129 B 3132 C 3135 D 3140 息戎解析息戎解析 三个数的和一定 三个数的和一定 9 的倍数 的倍数 弃九法弃九法 各位数字加和看是否是各位数字加和看是否是 9 的倍数 的倍数 例三 例三 一个自然数 被 7 除余 2 被 8 除余 3 被 9 除余 1 1000 以内一共有多少个这样的自 然数有多少个 A 2 B 3 C 4 D 5 息戎解析息戎解析 7n 5 与与 8n 5 的最小公倍数是的最小公倍数是 56n 5 可以化成可以化成 56n 51 这个数与 这个数与 9n 1 的最小公倍数可以写成 的最小公倍数可以写成 504n X 在在 1000 内只有内只有 n 0 1 符合 符合 所以有两个 所以有两个 这里面这里面 X 是一个大于是一个大于 51 小于小于 504 的一个正整数 我们没有必要求出这个的一个正整数 我们没有必要求出这个 数来数来 例四 例四 一个自然数 被 2 3 4 5 6 整除 被 7 除余 6 被 8 除余 4 被 9 除余 3 这个数最少为 多少 息戎解析息戎解析 此题考查的是中国剩余定理 先找 此题考查的是中国剩余定理 先找 7 8 的最小公倍数 的最小公倍数 被被 9 除余除余 3 7 9 的最小公倍数 被的最小公倍数 被 8 整出余整出余 4 8 9 的最小公倍数 被的最小公倍数 被 7 整出余整出余 6 的 的 56 9 6 2 2 6 12 除以除以 9 余余 3 56 6 符合符合 同理可以找到 同理可以找到 能被能被 7 8 整除 被整除 被 9 除余除余 3 的数为的数为 56 6 336 能被能被 8 9 整除 被整除 被 7 除余除余 6 的数为的数为 72 3 216 能被能被 7 9 整除 被整除 被 8 除余除余 4 的数为的数为 63 4 252 804 504 300 公式就是公式就是 504n 300 最小值是最小值是 300 2 3 4 5 6 的最小公倍数是的最小公倍数是 60 N 05 10 15 符合符合 4 浓度问题浓度问题 例一 例一 甲杯中有浓度为 17 的溶液 400 克 乙杯中有浓度为 23 的溶液 600 克 现在 从甲 乙两杯中取出相同总量的溶液 把从甲杯中取出的倒入乙杯中 把从乙杯中取出 的倒入甲杯中 使甲 乙两杯溶液的浓度相同 问现在两倍溶液的浓度是多少 A 20 B 20 6 C 21 2 D 21 4 解析 两杯混合后溶液是解析 两杯混合后溶液是 1000 通过尾数法直接选 通过尾数法直接选 B 转载天字一号转载天字一号 盐水交换问题盐水交换问题 例二 例二 有甲乙两杯含盐率不同的盐水 甲杯盐水重 克 乙杯盐水重 克 现在 从两杯倒出等量的盐水 分别交换倒入两杯中 这样两杯新盐水的含盐率相同 从每杯 中倒出的盐水是多少克 公式 交换量公式 交换量 mn m n 通过公式可以直接得到通过公式可以直接得到 例三 例三 某容器中装有盐水 老师让小李再倒入 5 的盐水 800 克 以配成 20 的盐水 但小李却错误地倒入了 800 克水 老师发现后说 不要紧 你再将第三种盐水 400 克倒 入容器 就可以得到 20 的盐水了 那么第三种盐水的浓度时多少 A20 B 30 C 40 D 50 息戎解析息戎解析 拆补法解题 因为 拆补法解题 因为 800 清水与清水与 400 克溶液混合 再把它们分成克溶液混合 再把它们分成 800 克克 5 的的 溶液和溶液和 400 克克 20 的溶液 的溶液 800 5 400 20 120 120 400 100 30 例四 例四 有浓度为 30 的溶液若干 加了一定数量的水后稀释为 24 的溶液 如果再加 入同样多的水后 浓度将变为多少 息戎解析息戎解析 设中间量 设中间量 24 为为 100 克 所以溶质为克 所以溶质为 24 克克 原有溶液 原有溶液 24 30 80 克 所以加了克 所以加了 20 克水 再加克水 再加 20 克水溶液变成克水溶液变成 120 克 克 例五例五 十字交叉法十字交叉法 容器中有某种浓度的酒精 加入一杯水后 容器中的纯酒精含量 为 25 再加入一杯纯酒精 容器中的纯酒精含量为 40 问原来容器中有几杯酒精 浓度是多少 息戎解析息戎解析 100 15 1 40 25 60 m 得到 得到 m 4 4 1 3 有三杯 有三杯 X 25 3 25 0 X 25 1 可以解出可以解出 X 的值的值 18 100 25 40 1 8 3 5 1 8 5 3 变形题 甲乙丙三个班从 A 地到 B 地 A B 两地相距 100 千米 甲班乘车先行 余下的人步行 先坐车的人到途中某处下车步行 汽车返回接先步行的那部分人 全部 人员同时到达 已知甲班速度为 8 千米 小时 乙班速度为 5 丙班速度为 10 汽车速度 为 40 千米 小时 问使团体全部成员同时到达 B 地需要多少时间 A3 86 B 4 43 C4 55 D5 息戎解析息戎解析 我们先推导下 分别设甲乙丙分别走了 我们先推导下 分别设甲乙丙分别走了 a b c 段距离 接甲乙丙空车汽段距离 接甲乙丙空车汽 车走的路程是车走的路程是 S1 S2 S3 已知量 速度是已知量 速度是 v1 v2 v3 汽车的速度为汽车的速度为 V 总路程为 总路程为 S 可以求出汽车与他们的速度 可以求出汽车与他们的速度 比 比 n1 n2 n3 所以 当甲班走所以 当甲班走 a 时 汽车就走时 汽车就走 n1 a S1 空车路程就是 空车路程就是 n1 1 a 2 同理得出 乙班 丙班的同理得出 乙班 丙班的 S2 S3 空车路程为 空车路程为 n2 1 b 2 和和 n3 1 c 2 我们知道我们知道 总路程总路程 S a b c 空车空车 所以 所以 S1 S2 S3 n1 1 a 2 n2 1 b 2 n3 1 c 2 此时我们根据此等式分别求出此时我们根据此等式分别求出 a b c 的值 以及空车的值 的值 以及空车的值 公式 公式 n1 1 a n2 1 b n3 1 c 此时我们 可以求值了 此时我们 可以求值了 40 8 5 40 5 8 40 10 4 所以 所以 4a 7b 3c a 4a 7 4a 3 2a 100 a 2100 103 总时间总时间 a v1 s a v 2 55 2 4 55 小时小时 变形题变形题 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十个班他们速度分别是 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十个班他们速度分别是 8 5 4 10 8 2 16 4 10 8 从从 A 地到地到 B 地 地 A B 两地相距两地相距 100 千米 甲班乘千米 甲班乘 车先行 余下的人步行 先坐车的人到途中某处下车步行 汽车返回接先步行的那部分车先行 余下的人步行 先坐车的人到途中某处下车步行 汽车返回接先步行的那部分 人 全部人员同时到达 汽车速度为人 全部人员同时到达 汽车速度为 40 千米千米 小时 问使团体全部成员同时到达小时 问使团体全部成员同时到达 B 地需地需 要多少时间 要多少时间 例六 例六 乙两辆车分别从 A B 两地出发 相向而行 出发时 甲 乙的速度之比是 5 4 相遇 后 甲的速度减少 20 乙的速度增加 20 甲到达 B 地时 乙离 A 地还有 10 千米 求 AB 两地之间的距离 息戎解析息戎解析 开始速度是 开始速度是 5 4 相遇后变成 相遇后变成 4 4 8 总路程是总路程是 9 份份 相遇后甲走了相遇后甲走了 4 份 乙走了份 乙走了 4 8 份 还有份 还有 0 2 份没有走份没有走 5 4 8 10 9 X 例七 例七 AB 两地相距 540 千米 甲乙两车往返行驶于 AB 两地之间 都是到达一地之后 立即返回 乙车较甲车快 设两辆车同时从 A 地出发后第一次和第二次相遇都在途中 P 地 那么两车第三次相