高考数学 3.7正弦定理和余弦定理配套课件 文 新人教A版.ppt

第七节正弦定理和余弦定理 正弦定理与余弦定理 b2 c2 2bccosa c2 a2 2cacosb a2 b2 2abcosc 2rsina 2rsinb 2rsinc a b c 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 在 abc中 a b必有sina sinb 2 正弦定理对钝角三角形不成立 3 在 abc中共有三个角 三个边六个量 可以已知三个量求另外三个量 4 余弦定理对任何三角形均成立 5 正弦定理可以实现边角互化 但余弦定理不可以 解析 1 正确 a b a b 由正弦定理可得又sinb 0 sina sinb 2 错误 正弦定理对任意三角形均成立 3 错误 当已知三个角时不能求三边 4 正确 由余弦定理推导过程可知对任意三角形均适用 5 错误 余弦定理可以实现角化边 也能实现边化角 答案 1 2 3 4 5 1 在 abc中 a 3 a 30 b 60 则b等于 解析 选a 由正弦定理得 2 在 abc中 则边c等于 解析 选b 由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosc 16 12 2 4 4 c 2 3 abc满足acosb bcosa 则 abc的形状为 a 直角三角形 b 等边三角形 c 等腰三角形 d 等腰直角三角形 解析 选c 由acosb bcosa及正弦定理得 sinacosb sinbcosa 即sinacosb cosasinb 0 故sin a b 0 故a b 0 因而a b 所以 abc是等腰三角形 4 在 abc中 b 30 c 120 则a b c 解析 a 180 30 120 30 由正弦定理得 a b c sina sinb sinc 答案 5 在 abc中 已知a2 b2 bc c2 则角a等于 解析 由已知得b2 c2 a2 bc 答案 考向1正弦定理的应用 典例1 1 2013 中山模拟 在 abc中 则b 2 abc中 bc 3 则 abc的周长为 3 如图 在 abc中 点d在bc边上 ad 33 求sin abd的值 求bd的长 思路点拨 1 利用正弦定理求解即可 2 利用求解即可 也可取特殊值验证 3 利用 abd adc bad及两角差的正弦公式求解 利用正弦定理求解 规范解答 1 选c 由正弦定理可得 2 选d 方法一 由正弦定理得得故三角形的周长为 方法二 可取 abc为直角三角形 令周长应为故排除a b c 3 因为cos因为 abd adc bad 所以sin abd sin adc bad sin adccos bad cos adcsin bad 在 abd中 由正弦定理 得所以 互动探究 若将本例题 2 中添加如何求边ab 解析 拓展提升 1 三角形解的情况判断已知两边和其中一边的对角 解三角形时 注意解的情况 如已知a b a 则有两解 一解 无解三种情况 2 解三角形中的常用公式和结论 1 a b c 2 0 a b c sin a b sinc cos a b cosc tan a b tanc 3 三角形中等边对等角 大边对大角 反之亦然 三角形中任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 变式备选 在 abc中 b 45 求角a c和边c 解析 由正弦定理得 a b a 60 或a 120 当a 60 时 c 180 45 60 75 当a 120 时 c 180 45 120 15 考向2余弦定理的应用 典例2 1 在 abc中 2a c cosb bcosc 则角b等于 2 已知 abc中 sina sinb sinc 3 2 4 则cosc等于 3 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 且满足则边a 思路点拨 1 利用余弦定理代入整理转化可求 2 利用已知条件得a b c关系 再利用余弦定理可求 3 利用已知可得cosa及bc的值 从而利用余弦定理可求a 规范解答 1 选c 由 2a c cosb bcosc得得又 0 b b 2 选b 由sina sinb sinc 3 2 4 a b c 3 2 4 故设a 3k 则b 2k c 4k 故 3 选c 因为所以由 3 得bccosa 3 所以bc 5 由bc 5 且b c 6 解得由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosa 20 故 拓展提升 正 余弦定理的相互转化正 余弦定理在应用时 应注意灵活性 尤其是其变形应用时可相互转化 如a2 b2 c2 2bccosa可以转化为sin2a sin2b sin2c 2sinbsinccosa 利用这些变形可进行等式的化简与证明 变式训练 在 abc中 a b c分别是角a b c的对边 且 1 求角b的大小 2 若a c 4 求a c的值 解析 1 由余弦定理知 将上式代入得 整理得 a2 c2 b2 ac b为三角形的内角 2 将代入b2 a2 c2 2accosb 得b2 a c 2 2ac 2accosb 故a 1 c 3或a 3 c 1 考向3利用正 余弦定理判断三角形的形状 典例3 1 2013 哈尔滨模拟 在 abc中 若sina 2sinbcosc 则 abc是 a 锐角三角形 b 等腰三角形 c 钝角三角形 d 直角三角形 2 在 abc中 a b c分别为内角a b c的对边 且2asina 2b c sinb 2c b sinc 求a的大小 若sinb sinc 1 试判断 abc的形状 思路点拨 1 将sina转化为sin b c 展开可求 2 利用正弦定理角化边转化 再结合余弦定理可解 利用c a b 转化为关于角b的关系式求解角b可判断 规范解答 1 选b 由sina sin b c 得sin b c 2sinbcosc 即sinbcosc cosbsinc 2sinbcosc 即sinbcosc cosbsinc 0 得sin b c 0 又b c为 abc的内角 故b c 0 即b c 故 abc为等腰三角形 2 由已知 根据正弦定理得2a2 2b c b 2c b c 即a2 b2 c2 bc 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosa 故cosa a 120 由 得sin2a sin2b sin2c sinbsinc 又sinb sinc 1 得sinb sinc 因为0 b 90 0 c 90 故b c 30 所以 abc是等腰的钝角三角形 互动探究 若将本例题 1 中条件改为则 abc的形状如何 解析 由sinb cosasinc得sin a c cosasinc 即sinacosc cosasinc cosasinc 故sinacosc 0 又0 a 故sina 0 所以cosc 0 故c 因而 abc是直角三角形 拓展提升 1 三角形形状的判断思路判断三角形的形状 就是利用正 余弦定理等进行代换 转化 寻求边与边或角与角之间的数量关系 从而作出正确判断 1 边与边的关系主要看是否有等边 是否符合勾股定理等 2 角与角的关系主要是看是否有等角 有无直角或钝角等 2 判定三角形形状的两种常用途径 1 通过正弦定理和余弦定理 化边为角 利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断 2 利用正弦定理 余弦定理 化角为边 通过代数恒等变换 求出边与边之间的关系进行判断 提醒 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一 并注重挖掘隐含条件 另外 在变形过程中要注意角a b c的范围对三角函数值的影响 变式备选 1 在 abc中 acos a bcos b 则 abc的形状为 a 直角三角形 b 等腰三角形 c 等边三角形 d 等腰直角三角形 解析 选b 方法一 acos a bcos b asina bsinb 由正弦定理可得 a2 b2 a b abc为等腰三角形 方法二 asina bsinb 由正弦定理可得 2rsin2a 2rsin2b 即sina sinb a b a b 不合题意舍去 故 abc为等腰三角形 2 abc中 已知a b ccosb ccosa 则 abc的形状为 a 等腰三角形 b 直角三角形 c 等腰直角三角形 d 等腰或直角三角形 解析 选d 由已知结合余弦定理可得a b c 整理得 a b a2 b2 c2 0 a b或a2 b2 c2 abc为等腰或直角三角形 3 abc中 若b asinc c acosb 则 abc的形状为 a 等腰三角形 b 直角三角形 c 等腰直角三角形 d 等腰或直角三角形 解析 选c 由b asinc可知由c acosb可知整理得b2 c2 a2 即三角形一定是直角三角形 a 90 sinc sinb b c abc为等腰直角三角形 满分指导 解答正 余弦定理的综合题 典例 12分 2012 江苏高考 在 abc中 已知 1 求证 tanb 3tana 2 若求a的值 思路点拨 规范解答 1 由得即为cbcosa 3cacosb 2分bcosa 3acosb 由正弦定理得sinbcosa 3sinacosb 3分两边同除cosacosb得tanb 3tana 即tanb 3tana成立 5分 2 因所以c为锐角 所以tanc 2 由 1 tanb 3tana 且a b c 得tan a c 3tana 6分即 tan a c 3tana即 8分所以tana 1或 10分因tanb 3tana 由内角和为 知两角均为锐角 故应舍去 所以 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2012 湖南高考 在 abc中 bc 2 b 60 则bc边上的高等于 解析 选b 设ab c bc边上的高为h 由余弦定理得ac2 c2 bc2 2bc ccos60 即7 c2 4 4ccos60 即c2 2c 3 0 2 2012 广东高考 在 abc中 若a 60 b 45 则ac 解析 选b 在 abc中 由正弦定理知 3 2012 湖北高考 设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 若三边的长为连续的三个正整数 且a b c 3b 20acosa 则sina sinb sinc为 a 4 3 2 b 5 6 7 c 5 4 3 d 6 5 4 解析 选d 由题意知 a b 1 c b 1 3b 20acos整理得 7b2 27b 40 0 解之得b 5或 舍去 可知a 6 c 4 结合正弦定理sina sinb sinc a b c 6 5 4 4 2013 惠州模拟 在 abc中 a b c分别为角a b c所对的边 若a 2bcosc 则此三角形一定是 a 等腰直角三角形 b 直角三角形 c 等腰三角形 d 等腰或直角三角形 解析 选c 在 abc中 若a 2bcosc 则sina 2sinbcosc 即sin b c 2sinbcosc sin b c 0 b c为 abc的内角 b c 0 b c abc为等腰三角形 1 在 abc中 若2acosb c 则的取值范围是 解析 选c 由2acosb c得2sinacosb sinc sin a b 即2sinacosb sinacosb cos