高优指导高考数学一轮复习 第十三章 选修4系列 13.3 不等式选讲课件 文 北师大版选修45.ppt

13 3选修4 5不等式选讲 2 考纲要求 1 理解绝对值的几何意义 并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件 a b a b a b r a b a c c b a b r 2 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式 ax b c ax b c x c x b a 3 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法 比较法 综合法 分析法 3 1 绝对值三角不等式 1 定理1 若a b是实数 则 a b a b 当且仅当ab 0时 等号成立 2 性质 a b a b a b 3 定理2 若a b c是实数 则 a c a b b c 当且仅当 a b b c 0时 等号成立 4 2 绝对值不等式的解法 1 含绝对值的不等式 x a a 0 的解法 x a x a或x0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c c ax b c ax b c ax b c或ax b c 5 3 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法法一 利用绝对值不等式的几何意义求解 体现了数形结合的思想 法二 利用 零点分段法 求解 体现了分类讨论的思想 法三 通过构造函数 利用函数的图像求解 体现了函数与方程的思想 6 7 4 柯西不等式 1 设a b c d均为实数 则 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 当且仅当ad bc时等号成立 3 柯西不等式的向量形式 设 为平面上的两个向量 则 当且仅当 共线时等号成立 5 不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法 综合法 分析法 反证法 放缩法等 8 1 2 3 4 5 1 下列结论正确的打 错误的打 1 不等式 x a的解集为 x a x a 2 a b a b 2a 3 x a x b 的几何意义是表示数轴上的点x到点a b的距离之和 4 不等式 a b a b 等号成立的条件是ab 0 5 已知x为正实数 则1 x 3 9 1 2 3 4 5 2 2015南昌模拟 若不等式 a 2 1对于一切非零实数x均成立 则实数a的取值范围是 a 2 a 3b 1 a 2c 1 a 3d 1 a 4 答案 解析 10 1 2 3 4 5 3 2015西安模拟 若a b 1 x a y b 则x与y的大小关系是 a x yb x yc x yd x y 答案 解析 11 1 2 3 4 5 4 不等式 x 1 x 2 5的解集为 答案 解析 12 1 2 3 4 5 5 关于x的不等式 x 3 x 4 a的解集不是空集 则参数a的取值范围为 答案 解析 13 1 2 3 4 5 自测点评1 对于绝对值三角不等式 易忽视等号成立的条件 对 a b a b 当且仅当a b 0时 等号成立 对 a b a b a b 如果a0 的不等式一般可用零点分段法求解 利用实数绝对值的几何意义求解较简便 3 求函数y x a x b 的最值问题 一般利用绝对值三角不等式 但要找出等号成立的条件 只有等号成立 才存在最值 14 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点1含绝对值不等式的解法例1 2015河北石家庄二中一模 设f x x 1 x 1 1 求f x x 2的解集 2 若不等式对任意实数a 0恒成立 求实数x的取值范围 15 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 16 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 思考 绝对值不等式的常见解法有哪些 解题心得 绝对值不等式的常见解法有 1 解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次或一元二次不等式 组 进行求解 2 含有多个绝对值符号的不等式 一般可用零点分段法求解 其一般步骤为 令每个含绝对值符号的代数式为零 并求出相应的根 将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间 由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式 解这些不等式 求出解集 取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集 17 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 3 对于形如 x a x b m或 x a x b m m为正常数 的不等式 利用实数绝对值的几何意义求解较简便 即利用数形结合法 把绝对值转化为数轴上的动点x到两个定点a b的距离之和 18 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 对点训练1 2015河北衡水中学二模 已知函数f x 2x 1 2x 3 x r 1 解不等式f x 5 2 若不等式m2 m f x 对 x r都成立 求实数m的取值范围 答案 19 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点2绝对值三角不等式的应用例2设函数f x x a a 0 1 证明 f x 2 2 若f 3 5 求a的取值范围 答案 20 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 思考 如何求y x a x b 或y x a x b 型的最值 解题心得 求y x a x b 或y x a x b 型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便 形如y x a x b 的函数只有最小值 形如y x a x b 的函数既有最大值又有最小值 21 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 对点训练2如果关于x的不等式 x 3 x 4 a的解集不是空集 求实数a的取值范围 答案 22 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点3含参数的绝对值不等式问题例3 2015课标全国 理24 已知函数f x x 1 2 x a a 0 1 当a 1时 求不等式f x 1的解集 2 若f x 的图象与x轴围成的三角形面积大于6 求a的取值范围 答案 23 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 思考 求解含参数的绝对值不等式问题的常用基本方法是什么 解题心得 求解含参数的绝对值不等式问题时 根据绝对值的定义 分类讨论去掉绝对值符号 转化为分段函数 然后数形结合解决是常用的基本方法 24 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 对点训练3已知函数f x 2x 1 2x a g x x 3 1 当a 2时 求不等式f x 1 且当x 时 f x g x 求a的取值范围 25 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 26 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点4不等式的证明例4 2015课标全国 理24 设a b c d均为正数 且a b c d 证明 27 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 28 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 思考 证明不等式常用的方法有哪些 解题心得 证明不等式常用的方法有 1 比较法证明不等式 作差比较法 作商比较法 2 用分析法证明不等式 使用分析法证明的关键是寻找推理的每一步的充分条件 3 用综合法证明不等式 在用综合法证明不等式时 常用到不等式的性质和基本不等式等 29 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 对点训练4 2015辽宁丹东二模 已知a b为正实数 1 若a b 2 求的最小值 2 求证 a2b2 a2 b2 ab a b 1 答案 30 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 考点5柯西不等式的应用例5 2015福建 理21 已知a 0 b 0 c 0 函数f x x a x b c的最小值为4 1 求a b c的值 2 求的最小值 解 1 因为f x x a x b c x a x b c a b c 当且仅当 a x b时 等号成立 又a 0 b 0 所以 a b a b 所以f x 的最小值为a b c 又已知f x 的最小值为4 所以a b c 4 31 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 32 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 思考 如何利用柯西不等式证明不等式或求最值 解题心得 1 用柯西不等式证明时 一般需要对不等式变形 使之与柯西不等式有相似的结构 然后再根据柯西不等式的结构特征 利用柯西不等式进行证明 2 利用柯西不等式求最值的一般结构为在使用柯西不等式时 要注意右边为常数和等号成立的条件 33 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 对点训练5 2015陕西 理24 已知关于x的不等式 x a b的解集为 x 2 x 4 1 求实数a b的值 2 求的最大值 答案 34 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 1 含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法 1 分离参数法 运用 f x a f x max a f x a f x min a 可解决恒成立中的参数范围问题 2 数形结合法 在研究不等式f x g x 恒成立问题时 若能作出两个函数的图象 通过图象的位置关系可直观解决问题 2 含绝对值不等式的证明 可用 零点分段法 讨论去掉绝对值符号 也可利用重要不等式 a b a b 及其推广形式 a1 a2 an a1 a2 an 3 不等式求解和证明中应注意的事项 1 作差比较法适用的主要是多项式 分式 对数式 三角式 作商比较法适用的主要是高次幂乘积结构 2 利用柯西不等式求最值 实质上就是利用柯西不等式进行放缩 放缩不当则等号可能不成立 因此 要切记检验等号成立的条件 35 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混 1 在解决有关绝对值不等式的问题时 充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题 若用零点分