山西省忻州市高考数学 专题 排列组合与二项式定理复习课件.ppt

排列组合与二项式定理 第一章 计数原理 1 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1 2 排列与组合 1 3 二项式定理 1 分类加法计数原理 完成一件事 有n类办法 在第1类办法中有m1种不同的方法 在第2类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有种不同的方法 2 分步乘法计数原理 完成一件事 需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有种不同的方法 两个计数原理 完成一件事 共有n类办法 关键词 分类 区别1 完成一件事 共分n个步骤 关键词 分步 区别2 区别3 每类办法都能独立地完成这件事情 它是独立的 一次的 且每次得到的是最后结果 只须一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果 任何一步都不能独立完成这件事 缺少任何一步也不能完成这件事 只有各个步骤都完成了 才能完成这件事 各类办法是互相独立的 各步之间是互相关联的 类类独立 不重不漏 步步关联 步骤完整 经典例子来区分 现有5幅不同的国画 2幅不同的油画 7幅不同的水彩画 1 从中任选一幅画布置房间 有几种不同的选法 2 从国画油画水彩画里各选一幅布置房间 有几种不同的选法 3 从这些画中选两幅不同种类的画布置房间 有几种不同的选法 解析 1 分类原理 5 国画 2 油画 7 水彩 14 2 分步原理 5 国画 2 油画 7 水彩 70 3 先分类再分步 第一类 一幅国画一幅油画5 2 10第二类 一幅国画一幅水彩画5 7 35第三类 一幅油画一幅水彩画2 7 14所以 共有10 35 14 59种不同的方案 多面手问题 例题 成才p72例四 某外语组有9人 每人至少会英语和日语中的一门 其中7人会英语 3人会日语 从中选出会英语和日语的各一人 有多少种不同的选法 首先算出多面手的个数 以多面手的选择情况分类 多面手 只会英语 多面手 只会日文 不含多面手 6种 2种 2x6 12 共6 2 12 20种 注意 当多面手人数 1时 要在多面手里进行选择 还有一种情况是只有多面手 现在问题来了 还有没有其他方法呢 假设现有a b两名多面手 会英语的有a b a b c 会日语的有a b d e f ababc abdef 对于会英语的a b a b c它们各有五种选择 a b d e f 可是a选择a b选择b是不符合挑两个人的条件的 所以这两种情况不可取 还有a选择b和b选择a重复 所以5 5 3 22 会a的乘于会b的 n n 1 1 直接法 在处理有限制条件的排列 优先排特殊元素 后再排其他元素 定元定位优先排间接法 先不考虑特殊元素 而列出所有元素的全排列数 从中减去不满足特殊元素要求的排列数 注意 不重不漏 排列问题里的 直接法 vs 间接法 成才后翻p56t13六个人从左到右排成一行 最左端只能排甲或已 最右端不能排甲 则不同的排法 直接法 最左端排甲 则剩下的随便排 最左边排乙 则甲有四个位置选择 剩下的随便排 共216种 间接法 全排列数 右端站甲 最左端站的不是甲乙 右端站甲左端不站乙共216种 排列与组合 排列 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 排列数 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 用符号表示 排列数公式 排列数公式的推导 我们可以把排序过程分解为m个程序 第一个程序决定排于第一位的数字 第二个程序决定排于第二位的数字 第m个程序决定排于第m位的数字 在进行第一个程序时 有n个数字可供选择 因此有n种选法 在进行第二个程序时 由於在前一程序已选定了一个数字 现在可供选择的数字只剩下n 1个 因此有n 1种选法 在进行第三个程序时 由於在前一程序已选定了一个数字 现在可供选择的数字只剩下n 2个 因此有n 2种选法 按照这样直至第m个程序 这时可供选择的数字只剩下n m 1个 因此只有n m 1种选择 由於以上各程序是各自独立的 我们可以运用分步乘法计数原理求得答案为n n 1 n 2 n m 1 即 排列数的另一个公式 阶乘 一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积 并且规定0的阶乘为1 自然数n的阶乘写作n 亦即n 1 2 3 n 排列数的计算 化简 解 解方程 解方程 解 由得化简得 解得 解不等式 解不等式 解 组合 组合 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素合成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 组合数 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 用符号表示 组合数公式 组合数性质 判断一个具体问题是否为组合问题 关键是看取出的元素是否与顺序有关 有关就是排列 无关便是组合 判断时要弄清楚 事件是什么 组合数的计算 算一算 求m的值解 m 5 m 7 5 m 6 m 7 6 m 7 m 10 7 m 21 m 2 0 m 21 舍去 或m 2 m 2 排列组合应用题的常用方法 1 基本原理法 2 特殊优先法 3 捆绑法 4 插空法 5 直接间接法 6 隔板法 7 穷举法 1 对有约束条件的排列问题 应注意如下类型 某些元素不能在或必须排列在某一位置 某些元素要求连排 即必须相邻 某些元素要求分离 即不能相邻 2 基本的解题方法 有特殊元素或特殊位置的排列问题 通常是先排特殊元素或特殊位置 称为优先处理特殊元素 位置 法 优先法 特殊元素 特殊位置优先安排策略 某些元素要求必须相邻时 可以先将这些元素看作一个元素 与其他元素排列后 再考虑相邻元素的内部排列 这种方法称为 捆绑法 相邻问题捆绑处理的策略 某些元素不相邻排列时 可以先排其他元素 再将这些不相邻元素插入空挡 这种方法称为 插空法 不相邻问题插空处理的策略 习题1 7人排一列 若7人中甲乙丙相邻 另外4人也相邻 共有几种排法 习题2 7人排一列 若甲在中间 乙丙相邻 共有几种排法 相邻问题 常用 捆绑法 习题3 7人排一列 若7人中甲 乙相邻 但都不与丙相邻 共有几种不同排法 不相邻问题 常用 插空法 分组问题 问题1 3个不同的小球分成两堆 有多少种分法 问题2 4个不同的小球分成两堆 有多少种分法 问题3 6个不同的小球分成3堆 有多少种分法 平均分成m组要除以 分配问题 分堆问题的变式 问题1变式 3个不同的小球放进两个盒子 每个盒子至少一个 有多少种放法 问题3变式 三名教师教六个班的课 每人至少教一个班 每班只配一名教师 则分配方案共有多少种 问题2变式 4本不同的书分给两个同学 每人至少一本 有多少种放法 多个分给少个时 采用先分组再分配的策略 例1 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛 每校至少有1人 这样有几种名额分配方法 分析 问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子 盒子不能空的 有几种放法 这类问题可用 隔板法 处理 解 采用 隔板法 得 分配问题 隔板法 类似练习 1 将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级 共有多少种不同的分配方法 2 从一楼到二楼的楼梯有17级 上楼时可以一步走一级 也可以一步走两级 若要求11步走完 则有多少种不同的走法 3 方程x y z 12的非负整数解的个数为多少 正整数解的个数呢 1 3 二项式定理 一般地 展开式的二项式系数有如下性质 1 2 4 对称性 1 3 二项式定理 例1 在 1 x 3 1 x 4 1 x 50的展开式中 求含x3项的系数 解法一 分析 可将此式看成首项为 1 x 3 公比为 1 x 的等比数列 原式 要在展开式中取得x3项 必须在 1 x 51取得x4项故其原式的展开式中x3的系数为c514 解法二 二项式定理的应用 特定项 若展开式中的偶数项系数和为 256 求n 例2 n 9 二项式定理的应用 奇偶项 解 1 求a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8设f x 3x 1 8分别赋予x 1 0a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 f 1 f 0 例 3x 1 8 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 a6x6 a7x7 a8x8 变式 即对 3x 1 8进行赋值x 1可得 二项式定理的应用 赋值法 1 求a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8变式 求 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 2 求a0 a2 a4 a6 a8 解 2 设f x 3x 1 8分别赋予x 1 1a0 a2 a4 a6 a8 f 1 f 1 2 3x 1 8 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 a6x6 a7x7 a8x8 一般来说多项式f x 各项系数和为f 1 奇数项系数和为1 2 f 1 f 1 偶数项系数和为1 2 f 1 f 1 二项式定理的应用 赋值法 求值 等式与不等式证明问题 3 求证 2 求证 5555 1能被8整除 课堂小结 1 正确区分 分类 与 分步 恰当地进行分类 使分类后不重 不漏 2 正确区分是组合问题还是排列问题 要把 定序 和 有序 区