必修1、2主要知识点.doc

高中数学主要知识点归纳必修1、2【集合】一、集合中元素的性质：确定性、互异性、无序性二、集合的表示法1.列举法：如、 等2.描述法：如、 （数集） 、 （点集）3.图示法（Venn图）：如 a，b，c，d 、 1，2，3如，方程组解的结果用列举法表示为用描述法表示为三、集合与集合的关系1.子集：集合A是集合B的子集，记作，即A中的任意一个元素都是集合B中的元素。2.相等：如果，且，则，即集合A、B中元素相同3.真子集：如果，且集合B中至少存在一个元素，则A叫做B的真子集，记作【注意】 包含两种情况：和A=B4.几个结论： （1）任何集合是它自身的子集，记作 （2）空集是任何集合的子集，记作 空集是任何非空集合的真子集，记作【注意】属于符号“”与包含符号“”使用的对象是不同的。四、集合的运算1.交集：，即由A、B的公共元素构成集合。2.并集：，即由A、B的所有元素构成集合。3.补集：，即全集U中去掉与A中相同的元素，余下的元素构成的集合。4.两个结论：，五、求有限集合的子集个数 设集合A中有n个元素，则A的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个， 如，已知集合，则A的子集是 所以子集个数有8个，非空子集有7个，真子集有7个，非空真子集有 6个。【函数的概念与基本性质】一、函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一的的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作。其中x是自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，y叫做函数值，y的取值范围叫做值域。构成函数的三要素是：定义域、对应关系、值域两个函数相等的条件是：定义域和对应关系相同二、映射的概念设A、B是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个映射。例如，设是集合A到集合B的映射，下列说法正确是（ C ）（A）A中不同元素在B中必有不同的元素与它对应 （B）B中每一个元素在A中必有元素与它对应 （C）A中每一个元素在B中必有元素与它对应 （D）B中每一个元素在A中对应的元素是唯一的【注意】函数的概念和映射的概念的区别：函数指“A、B是非空的数集”而映射的概念指“A、B是非空的集合”，所以映射的适用范围更广。三、函数的单调性1、定义：对于给定区间D上的函数，若任意的，且 （1） 是增函数；（2） 是减函数。2、用定义证明函数单调性的步骤：(1) 求函数的定义域（区间表示）；(2) 在定义域内任取，一般设； （不能取两个特殊值）(3) 得出相应的函数值、，然后作差；(4) 对进行恒等变形：归类提取、因式分解、配方，通分等，一般是分解出因式或；(5)讨论、判断的符号；(6)写出结论：若，则在其定义域上是增函数；若，则在其定义域上是减函数。四、函数的奇偶性1、奇函数：如果对于函数的定义域内的任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数。2、偶函数：如果对于函数的定义域内的任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数。3、对称性：奇函数的图象关于原点对称； 偶函数的图象关于y轴对称。【注意】由于存在奇偶性的函数的图象具有对称性，其函数的定义域必然关于原点对称。所以，判断一个函数的奇偶性时，可以先看它的定义域是否关于原点对称，如果没有，则该函数是非奇非偶函数，如果有，再利用上面的定义进行判断。例如，函数的定义域为，它关于原点对称，且有，所以函数是奇函数。 又如，函数，虽有，但由于函数的定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数3、非奇非偶函数（1）定义域不关于原点对称的函数；（2），且的函数。4、既奇又偶函数 满足，且的函数。只有一个函数（或通过化简后得此函数），因为它满足：，且五、函数的奇偶性与单调性的关系利用图象的对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。奇偶性奇函数偶函数区间（）单调性增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数增函数简记为：奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性偶函数在两个对称区间上具有不同的单调性函数单调性与奇偶性综合运用时，注意用数形结合法。（画图）六、函数图象对称性的一般情况 如果函数在某个定义内都有，则函数在该定义域内具有对称性，其对称轴是关系式的特点是与的关系（一正一负）， 例如，函数，且，则函数图象关于对称，故函数在上是减函数，在上是增函数又如，函数，且，则函数图象关于对称。 【指数函数】一、指数的运算法则：(1) ； (2) ； (3) ；(4) ； (5) ； (6) 二、指数函数（a0，且a1）的图像和性质： 图像 性质（1）定义域：（2）值域：（3）过定点：即时，（4）单调性：在上是增函数（4）单调性：在上是减函数【对数函数】一对数的运算法则：（a0，且a1）(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 换底公式： (10)，特殊：即 (11) 常用对数： (12) 自然对数： （其中e=2.71828） 二对数函数（a0，且a1）的性质：图像 性质（1）定义域：（2）值域：（3）过定点：即时，（4）单调性：在上是增函数(4)单调性：在上是减函数【幂函数】一、幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数。二、幂函数的图象和性质图 象定义域值 域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性在上是增函数在上递增在上是递减在上是增函数在上是增函数在和上都是减函数公共点【函数与方程】一、方程、函数、图象之间的关系：方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点二、函数零点的判定定理（方程根的存在性）如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根解答有关函数零点问题的方法有：1、直接解方程（能解的情况下）；2、运用函数零点的判定定理；3、画图【直线、平面、简单几何体】一、定理、公里及其运用公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。（确定平面的依据）公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论1 经过一条直线和该直线外一点有且只有一个平面。推论2 经过两条平行直线有且只有一个平面。推论3 经过两条相交直线有且只有一个平面。公理3 两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线。公里4 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 ab，bcac。空间等角定理 空间中若两个角的两边对应平行，则这两个角相等或互补（两个角对应边方向相同时两角相等，一边方向相同，另一边方向相反时两角互补）【线面、面面平行与垂直的关系】判定定理性质定理线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直判定定理性质定理性质定理判定定理判定定理性质定理结论结论性质定理 二、夹角1.异面直线所成的角 已知两条异面直线，经过空间任意一点O作直线，则与所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角（或夹角）。范围是。通常把点O定在其中的一条直线上，平移另一条直线即可。 （如学案2.1 空间点、线、面的位置关系 例3）2.直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角，范围是，而直线和平面所成的角的范围是。 （如学案2.3.1 直线与平面垂直的判定 例2）3.二面角 平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平ABO面。从一条直线()出发的两个半平面(与)所组成的图形叫做二面角。记作二面角。范围是二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的叫做二面角的平面角。即是二面角的平面角。十、空间几何体的表面积和体积名 称侧面积与表面积体 积棱 柱长方体三条棱长为，则（对角线为，则）正方体棱长为，则（对角线为，则）棱 锥棱 台圆 柱圆 锥圆 台球【直线、圆与方程】一、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角的取值范围是，直线的斜率为当为锐角时，；当为钝角时， 任何直线都有倾斜角，但未必都有斜率（2）过两点的直线的斜率公式直线过点，则 当直线x轴（或重合）时，；当直线x轴时， ，不存在。二、两条直线平行与垂直的判定 直线： 直线： （1）； （2） （3）； （4）注意：斜率不存在的情况，画图分析三、直线的方程1.点斜式方程：直线过定点，斜率为，方程为 （1）当直线x轴（或重合）时，方程为，即；（2）当直线x轴时，不存在。方程为，即；2.斜截式方程：直线的斜率为，在y轴上的截距为b，方程为 ，当b=0时，直线过原点，方程为 注意：截距b实际上是直线与y轴的交点的纵坐标，不是距离，是一个实数。3.两点式方程：直线经过两点，方程为 （1）当时，直线y轴时，方程为，即；（2）当时，直线x轴时，方程为，即；4.截距式方程：直线在x轴、y轴上的截距为，方程为 注意：当直线在x轴、y轴上的截距相等时，有两种情况：（1）当时，方程为（2）当时，直线过原点，方程为5.一般式方程： 化为斜截式方程得 ，则，四、距离1.两点间的距离： 2.点到直线的距离：点到直线：的距离为 注意：运用时把直线方程化为一般式，避免搞错系数A、B、C。3.两条平行线、间的距离 五、关于对称1.点关于点对称若点关于点对称的点是，则点P是线段的中点，有，知其中两点的坐标，可以求第三个点的坐标。2.点关于直线对称 若点关于直线：对称的点是，则有，且线段的中点在直线上，由此得方程组 解方程组可得六、圆的方程1、标准方程： ，圆心，半径为2、一般方程： 圆心，半径 注意：当时，方程表示一个点 当时，方程不表示任何图形。七、直线与圆、圆与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系：，圆心到直线：的距离为（1）相离：； （2）相切：； （3）相交：。 注意两种基本用法：（1）直线与圆相切：圆心到直线的距离为，则有，若切点为P，则，有（2）过点P的直线与圆相切，若点P在圆上，则切线只有一条，若点P在圆外，则切线有两条。（3）如果直线与圆相交，弦为AB，圆心到直线的距离为，则有，或弦长2、圆与圆的位置关系：圆与圆，半径、半径，两圆心距离（1）两圆相离：； （2）两圆外切：（3）两圆相交：； （4）两圆内切：（5）两圆内含：。八、空间两点的距离公式：空间中点与之间的距离为空间中任意一点与原点的距离九、空间中点的对称 规律：“关于谁（对称），谁（的坐标）不变，其余（坐标）变相反” “关于原点对称，全部坐标变相反” 如，在空间直角坐标系中，点 关于原点对称的点是: 关于x轴对称的点是： 关于y轴对称的点是： 关于z轴对称的点是： 关于xOy对称的点是： 关于xOz对称的点是： 关于yOz对称的点是：十、空间中点的射影问题规律：“在谁上的射影，谁（的坐标）不变，其余（坐标）为0” 如，在空间直角坐标系中，点 在x轴上的射影是： 在y轴上的射影是： 在z轴上的射影是： 在xOy平面上的射影是： 在xOz平面上的射影是： 在yOz平面上的射影是：直线、平面、简单几何体习题1.下面命题正确的是(A)经过三点有且只有一个平面；(B)若直线不在平面内，则直线与平面平行；(C)经过两条直线有且只有一个平面；(D)若两个平面有一个公共点，则它们一定有与已知点共线的无数个公共点。2.正方体中的一条对角线与它的棱可以组成异面直线的对数是 (A) 12 (B) 6 (C) 3 (D) 13.表示直线，表示平面，则满足“”的条件是（A） （B）且（C） （D）与都是异面直线4.下列命题中正确的个数是( )若，则； 若，则。若，则 若，则(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 5.已知直线，直线，有下列命题：； ； ； 其中正确命题的序号为 .6.长方体中共顶点的三条棱的长分别是2、，则长方体的对角线长是(A) (B) 4 (C) 14 (D) 167.右图是一个水平放置的三角形的斜二测直观图，它是腰长 的等腰直角三角形，则原来三角形的面积是 （A） （B）4 （C） （D）88.右图是一个简单组合体的正视图与侧视图，则这个组合体从上到下依次是(A)球、圆柱、圆台(B)球、棱柱、棱台(C)球、棱柱、圆台(D)球、圆柱、棱台 9.已知正方体中，与所成的角的大小是(A) (B) (C) (D) 10.在空间四边形PABC中，PA平面ABC，AB=BC=CA=2，PA=1，D是BC的中点，则PD与平面ABC所成角的大小是 ，二面角P-BC-A的大小是 . 13.一个正方体的八个顶点在同一个球上，则球与正方体的表面积之比为(A) (B) (C) (D) 11.圆柱、圆锥的底面半径与球的半径都是，圆柱、圆锥的高都是，则圆柱、圆锥和球的体积比为 12.已知一个圆锥的底面半径是，它的轴截面是等边三角形，则圆锥的表面积为 ，体积为 。 14.长方体中， ，的交点， 则 15.正四棱台的两底面边长分别3、6，其侧面积等于两底面积之和，则正四棱台的高为 ，斜高为 16.已知AC是圆的直径，圆所在平面，B为圆上 不同于A、C的一点，D、E分别为SB、SC的中点 （1）若圆的半径为5， 求三棱锥S-ABC的体积 （2）判断DE与平面SAB的位置关系，并证明你的结论 17.已知四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，且（1）若底面ABCD是矩形，且PD=AD=2，求四棱锥的体积； P ND C A M B（2）证明 MN平面PAD。 P ND C A M B（3）证明平面PAD平面PDC； P ND C A M B直线、圆与方程习题1.下列命题正确的是(A)若两直线平行，则它们的斜率相等；(B)若两直线垂直，则它们的斜率之积为；(C)过点且斜率为2的直线方程为；(D)过点且在两坐标轴上的截距相等的直线有两条。2.过两点和的直线的倾斜角是，则_3. 直线在x轴、y轴上的截距分别是（ ）(A)-5，-2 (B) 5，2 (C)-5，2(D) 5，-24.点 到直线的距离等于1，则的值为(A) (B) (C) (D)5.若直线与直线平行，则实数_，此时两条直线的距离为_。6.直线和互相垂直，则实数 7.如果,那么直线不经过（ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限8.直线的图象可能是 (A) (B) (C) (D) 9. 直线被圆截得的弦长为 10.与圆同圆心，且过点的圆的方程是_11.点关于点对称的点的坐标是 12.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为，关于原点对称的点为，关于平面对称的点为，则（ ），（ ）（A） （B） （C） （D）613.将直线绕原点逆时针旋转后，所得直线的倾斜角是_，所得直线的方程是_，所得直线与圆的位置关系是_。14.集合，其中，若中有且只有一个元素，则的值是_15.已知三角形的顶点是 （1）求过A、C两点的直线方程；（2）求平行于BC边的中位线所在的直线方程；（3）求过点C且与AB边平行的直线方程；（4）求AB边上的高所在直线方程；（5）求线段AB的中垂线所在直线方程。16.已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程。17.已知直线过直线和的交点P，且与圆相切，求直线的方程。18.已知直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程。19.已知点与，且动点满足，求动点的轨迹方程，并说明它表示什么图形。直线、平面、简单几何体习题参考答案（教师）1.D 2.B 3.C 4.B 5. 6.B 7.C 8.C 9.C 10. ， 11.C 12.312 13. ， 14. 15.2，16.解：（1）AC是圆的直径，ABBC，（2）DE平面SAB 证明：DE平面SAB，平面ABC SABC，且ABBC 又平面SAB，SAAB=A BC平面SAB DE为SBC的中位线，DEBC DE平面SAB17.（1）解：， ，PC=2PD=4， （2）证明 MN平面PAD。 P证法一：取PD的中点为E，连结AE、EN ，ENCD， E N又AMCD， D CAMEN，且AM=EN 四边形AMNE是平行四边形 A M BMNAE ，MN平面PAD 证法二：取CD的中点为F，连结FM、FN P， FNPD， N D E CFN平面PAD A M B又FMAD， FM平面PAD 平面MNF平面PAD，MN平面PAD （3）证明：由（2）知MNAE，又 ，又ABCD， ，平面PAD平面PDC直线、圆与方程习题参考答案（教师）1.D 2.-5 3.D 4.A 5.-6， 6. 7.B 8.C 9. 10. 11. 12.C，B 13. ，相交 14.3或715.解：（1）由截距式得直线AC的方程为，即 （2）AB的中点为，AC的中点为 由两点式得平行于BC边的中位线DE的方程为，即 （3）设所求直线为， 由斜截式得直线的方程为 ，即 （4）设所求直线为，则，又直线过点C，由斜截式得直线的方程为 ，即 （5）设所求直线为，则，又AB的中点为由点斜式得直线的方程为 ，即16.解法一：设圆C的方程为，依题意有圆C的方程为解法二：设圆C的方程为，依题意有圆C的方程为17.解：解方程组，即当存在时，设直线的方程为，即 圆的圆心为，直线与圆相切，圆心到直线的距离 ，即，解得直线的方程为，即 又当不存在时，过点的直线的方程为，它也与圆相切 所以直线的方程为或18.解：依题意知存在，设直线的方程为，它与坐标轴的交点为 ，即 ， 即或（，无解），或1所以直线的方程为或 即或19.解：设动点M的坐标为， ， ，即 这就是动点的轨迹方程，把它化为标准方程得，它表示圆心为，半径为的圆。直线、平面、简单几何体习题参考答案（学生）16.解：（1）AC是圆的直径，ABBC，（2）DE平面SAB 证明：DE平面SAB，平面ABC SABC，且ABBC DE为SBC的中位线，DEBC DESA，DEAB 又平面SAB，SAAB=A DE平面SAB17.（1）解：， ，PC=2PD=4， （2）证法一：取PD的中点为E，连结AE、EN P E NENCD， D C又AMCD， A M BAMEN，且AM=EN 四边形AMNE是平行四边形MNAE MN平面PAD 证法二：取CD的中点为F，连结FM、FN P NFNPD， D F C FN平面PA