广东省中考数学 第一部分 考点研究 第五章 四边形 第二节 矩形、菱形和正方形课件.ppt

第五章四边形第二节矩形 菱形和正方形 考点精讲 矩形菱形和正方形 矩形菱形正方形平行四边形 矩形 菱形 正方形之间的关系 矩形 性质判定面积 s a b表示长和宽 ab 性质 1 边 对边平行且相等 即2 角 四个角都是直角 即 abc bcd adc bad 90 3 对角线 矩形的对角线相等 即ac 4 对称性 既是中心对称图形又是轴对称图形 有 条对称轴 ad bc ad ab cd bc ab cd bd 2 判定 1 有一个角是 的平行四边形是矩形2 有三个角都是直角的四边形是矩形3 对角线 的平行四边形是矩形 即 直角 相等 平行四边形abcdac bd 四边形abcd是矩形 菱形 性质判定面积 s m n分别表示两条对角线的长 性质 四条边都相等 即ab bc cd da对边平行 ab cd ad bc2 角 对角相等 dab dcb adc abc3 对角线4 对称性 既是中心对称图形又是轴对称图形 有 条对称轴 1 边 2 3 对角线 菱形的对角线互相垂直且 即对角线平分一组对角 即 ao oc do ob ac bd 平分 平分 dab与 bcd 平分 abc与 adc bd ac 判定 2 对角线 的平行四边形是菱形 即3 四条边 的四边形是菱形 即 平行四边形abcd 四边形abcd是菱形 四边形abcdab bc cd ad 四边形abcd是菱形 ac bd 1 有一组邻边 的平行四边形是菱形 相等 互相垂直 相等 正方形 性质判定面积 s a表示边长 性质 四条边都相等 即ab bc cd ad对边平行 即ab cd ad bc2 角 四个角都是直角 即 abc bcd adc bad 90 3 对角线4 对称性 既是中心对称图形又是轴对称图形 有4条对称轴 1 边 3 对角线 对角线互相 且相等对角线平分一组对角 即 ac bdoa oc ob od ac bd 垂直平分 dac cab dca acb 45 adb bdc abd dbc 45 45 45 判定 1 有一个角是 的菱形是正方形2 有一组 相等的矩形是正方形3 有一组邻边相等 并且有一个角是直角的平行四边形是正方形4 对角线相等的 是正方形5 对角线互相 的矩形是正方形 即6 对角线垂直平分且相等的四边形是正方形 即 直角 邻边 矩形abcd 四边形abcd是正方形 oa oc ob od 四边形abcd是正方形 ac bd ac bd 菱形 垂直 平行四边形 矩形 菱形和正方形四者之间的关系 平行四边形 菱形 矩形 正方形 一组邻边 有一个角是 有一个角是 相等 直角 直角 一组邻边 相等 有一组邻边相等 一个角是90 重难点突破 一 矩形的性质与判定 例1如图 在平行四边形abcd中 bad的平分线交cd于点e 交bc的延长线于点f 连接be f 45 1 求证 四边形abcd是矩形 2 若ab 14 de 8 求sin aeb的值 例1题图 思维教练 1 要证四边形abcd是矩形 因为四边形abcd是平行四边形 所以只需证四边形abcd的一个角为直角结论即可得证 2 过点b作bh ae于点h 构建rt beh 要求sin aeb的值 只需求得bh be的值 在rt bce和rt ahb中 分别由勾股定理和锐角三角函数求得be和bh的值 即可求解 例1题图 1 证明 四边形abcd是平行四边形 ad bc daf f f 45 dae 45 af是 bad的平分线 eab dae 45 dab 90 四边形abcd是矩形 例1题图 2 解 如解图 过点b作bh ae于点h 四边形abcd是矩形 ab cd ad bc dcb d 90 ab 14 de 8 ce 6 在rt ade中 dae 45 dea dae 45 ad de 8 bc 8 例1题解图 在rt bce中 由勾股定理得 be 10 在rt ahb中 hab 45 bh ab sin45 7 在rt bhe中 bhe 90 sin aeb 例1题解图 1 矩形判定的一般思路 首先判定是否为平行四边形 若为平行四边形 然后找角或者对角线的关系 若角度容易求 则可找其一角为90 便可判定是矩形 若对角线容易求 则证明其对角线相等便可判定是矩形 若为一般四边形 则可证四个角为直角 便可判定是矩形 2 运用矩形性质计算的一般思路 根据矩形的四个角都是直角 一条对角线将矩形分成两个直角三角形 用勾股定理或三角函数求线段的长是常用的思路 又因为矩形对角线相等且互相平分 故可借助对角线的关系得到全等三角形 矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形 在矩形性质相关的计算和证明中要注意这个结论的运用 建立能够得到线段或角度的等量关系 3 对于解决矩形中的折叠问题 有以下3方面的考虑 1 折叠的性质 位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称图形 满足折叠性质即折叠前后的两部分图形全等 对应边 角 线段 周长 面积等均相等 折叠之后 对应点的连线被折痕垂直平分 2 找出隐含的折叠前后的位置关系 平行或垂直 和数量关系 相等 3 一般运用三角形全等 勾股定理 相似三角形等知识及方程思想 设出恰当的未知数 解方程来求线段长 拓展1 如图 四边形abcd是矩形 ab 4 ad 3 把矩形沿直线ac折叠 点b落在点e处 ae交cd于点f 连接de 则df的长是 a b c d 拓展1题图 解析 四边形abcd是矩形 ad bc 3 ab dc 4 adf 90 由折叠的性质可得bc ec cef abc 90 ad ce adf cef 在 adf与 cef中 adf cef aas fa fc 设df x 则fa fc dc df 4 x 在rt dfa中 由勾股定理得 da2 df2 af2 即32 x2 4 x 2 解得x 即df的长是 adf cef afd cfead ce 答案 c 拓展2 如图 在矩形abcd中 de平分 adc交bc于点e ef ad交ad于点f 若ef 3 ae 5 则ad等于 拓展2题图 解析 四边形abcd是矩形 adc 90 又 de平分 adc ade adc 45 ef ad efd是等腰直角三角形 fd ef 3 在rt aef中 af 4 ad af fd 4 3 7 7 二 菱形性质的相关计算 例2如图 在菱形abcd中 bad 70 ab的垂直平分线交对角线ac于点f 垂足为点e 连接df 则 cdf等于 a 75 b 70 c 60 d 55 例2题图 思维教练 要求 cdf的度数 观察图形 cdf adc fda 分别求出 adc和 fda的度数即可求解 已知四边形abcd是菱形 bad的度数 易求 adc和 fad的度数 又由于ef垂直平分ab 连接bf bd 进而得到af bf bf df 故af df 即 fda fad cdf的度数进而得解 解析 如解图 连接bd bf 四边形abcd为菱形 bad 70 adc 110 fad 35 又 ef垂直平分ab ac垂直平分bd af bf bf df df af fda fad 35 cdf adc fda 110 35 75 例2题解图 答案 a 菱形的计算常涉及下面几种 1 求角度时 应注意菱形的四条边相等和对角相等 邻角互补等 以及结合等腰三角形和平行线的相关性质 转化为要求的角 直到找到与已知的角存在的关系 2 求长度 线段长或者周长 时 应注意使用等腰三角形的性质 若菱形中存在一个顶角为60 则菱形被 连接另外两点的对角线所割的两个三角形为等边三角形 故在计算时 可借助等边三角形的性质 由于菱形的对角线互相垂直 也应注意使用勾股定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 含特殊角的直角三角形等进行计算 3 求面积时 可利用菱形的两条对角线互相垂直 面积等于对角线之积的一半进行计算 拓展3 如图 菱形abcd的周长是20 对角线ac bd相交于点o 若bd 6 则菱形abcd的面积是 a 6b 12c 24d 48拓展3题图 解析 菱形abcd的周长是20 ab 20 4 5 ac bd ob bd 3 oa 4 ac 2oa 8 菱形abcd的面积是ac bd 8 6 24 拓展4 如图 在菱形abcd中 点o是对角线ac的三等分点 连接ob od 且ob oc od 已知ac 3 那么菱形的边长为 a b 2c d 拓展4题图 解析 四边形abcd是菱形 ab bc bac acb 点o是对角线ac的三等分点 ac 3 ob oc ac 1 bac acb obc boc abc 即 ab2 3 ab a 三 正方形性质的相关计算 例3如图 正方形abcd的边长为6 点e f分别在ab ad上 若点e为ab的中点 且满足be df ef 则ef的长为 a 4b 3c 5d 4 例3题图 思维教练 要求ef的长度 观察图形ef在rt aef中 因为题中未给出特殊角度 可以考虑用勾股定理 所以需计算出af和ae的长度 由于点e为ab的中点 则ae be ab ab已知 进而求得ae的长度 设ef x 又因为be df ef 即df ef be af ad df 将af用x表示出来 代入af2 ae2 ef2中列方程求解即可 解析 设ef x 四边形abcd是正方形 ab ad 6 点e为ab的中点 ae be 3 df x 3 af ad df 6 x 3 9 x 在rt aef中 af2 ae2 ef2 9 x 2 32 x2 x 5 即ef 5 答案 c 对于正方形性质的有