614数列综合问题.doc

高中数学专题教学研习本资源由专人彭剑平整理，未经允许不得复制影印，资源仅供教师研习，欢迎批评指正说明：Level A为基本（要求熟悉掌握），Level B为高考（常考规律总结），Level C为竞赛（拓展的课外知识）注： 本资源仅提供pdf版本 交流： 博客：/ansontop 邮箱：anson_专题： 数列综合问题& 基本知识点（Level A）【1】等差数列与等比数列的关系举例（1）成等差数列（总有意义）成等比数列；（2）成等比数列成等差数列推论：成等比数列成等差数列（3）成等差数列，成等比数列 是；是（但未必是； 、是；（4）为等比数列 、成等比数列 两等比数列对应项积（商）组成的新数列仍成等比数列，即等比数列、组成的新数列、成等比数列 、成等比数列（5）如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列；但数列是常数、数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件（不是非零，即不可能有等比数列）【2】差比数列：的通项公式差比数列（等比差数列）:的通项公式为：；其前项和公式为：.【3】等差中项与等比中项的联系与区别（1）两数的等差中项惟一存在（2） S 注意：i，是、成等比的双非条件，即、等比数列ii为、等比数列的充分不必要iii为、等比数列的必要不充分iv且为、等比数列的充要S 小结：任意两数、不一定有等比中项，除非有，则等比中项一定有两个（3）在遇到三数或四数成等差、等比数列时，为减少运算量，要注意设元的技巧，常考优先虑选用“中项关系”转化求解三个数成等差的设法：，；四个数成等差的设法：，；三个数成等比的设法：，；四个数成等比的错误设法：，S 思考：为什么？答案：因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为_ 经典案例 有疑问随时mail例：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是，第二个数与第三个数的和为，求此四个数答案：，或，【4】数列公共项问题（1）如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数（2）如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般的方法”进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，并构成新的数列S 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究但也有少数问题中研究，这时既要求项相同，也要求项数相同& 拓展知识点（Level B）【1】数列中蕴含的几种数学思想：（1）函数的思想a=0（2）等价转化的思想： 将“非等差、等比数列”转化为“等差数列、等比数列”，如：错位相减 与之间的转化（3）分类讨论的思想： 由求 等比数列的求和公式：，或 项数分奇、偶讨论（4）从特殊到一般的思想（“归纳、猜想”）从一般到特殊的思想：时成立，则，也应该均成立 （5）解方程组思想：、（）、五个变量“知三求二”其中、（）称作为基本元素，所有问题都能回归基本量问题（6）回归基本量的思想：首项、公差决定等差数列；首项、公比决定等比数列（7）递推的思想：如：已知，求 析：，两式相减得：，所以为等比数列再如：求数列通项时的叠加法、叠乘法；求数列前和时，总体指导思想：欲求和，先研究通项（错位相减法、倒序相加法、分组求和法、裂项相消法）总之，对于数列章节的学习，不光是掌握几个公式，而更要很好地从数学的思想方法【2】递推数列与数列思想1递推数列（1）能根据递推公式写出数列的前几项；（2）常见题型：由，求解题思路：利用2数学思想（1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法）若，则；（2）迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法）若，则；（3）逆序相加（等差数列求和公式的推导方法）；（4）错位相减（等比数列求和公式的推导方法）【3】数列通项求解思路（1）1由非递推关系求通项（1）定义法：根据等差等比数列的等价条件，套用公式（2）公式法： 已知（即）求用作差法： 一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或只含的关系式，然后再求解用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？答案：，当时， 已知求用作商法：（2） 由递推式，求用迭加法（累加法），还可以用迭代法 由递推式求用迭乘法（累乘法），还可以用迭代法（迭乘法）（迭代法）（3）间接法（倒数法）形如的递推数列都可以用倒数法求通项例如：；满足，则数列是等差数列（4）数学归纳法（理科选学）（5）已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）特别地，形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求以递推式为为例可以作如下具体分解，均可用构造法求解（先引入可化简辅助数列，再求目标通项）类型1 待定系数法（型）转化为变形为 可用解题途径： 转化等差、等比数列： 逐项选代：选代法： 消去常数转化为的形式，再用特征根方法求；用特征方程求解：相减 （公式法），、由、确定由选代法推导结果：， S 注意：类型2及往后在下一讲中，不需要掌握_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）（公式法）已知数列，试写出其一个通项公式： 答案：（2）（作差法）已知数列满足，求答案：解：当时， 当时， 得：， ，（3）（作差法）已知的前项和满足，求答案：（4）（作商法）已知数列满足，求答案：解：注意到，代入得：，又，是等比数列，当时，（5）（作商法）数列中，对所有的都有，则 答案：（6）（累加法）由，求答案：当时，两边相加得：， （7）（累加法）已知数列满足，则 答案：（8）（累加法）已知数列，求答案：（9）（累乘法）数列中，求答案：解： 又，（10）（累乘法）已知数列中，前项和，若，求答案：（11）（倒数法）已知，求答案：由已知得：， ， 为等差数列，且，公差为 （12）（构造法）数列满足，求答案：（13）（构造法）已知，求答案：（14）（构造法）已知，求答案：（15）（倒数法）已知，求答案：（16）（构造法）已知数列满足，求答案：（17）（综合法）数列满足，求答案：【4】数列求和的常用方法1公式法 等差数列求和公式 等比数列求和公式 ； 注意：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与的关系，必要时分类讨论2分组求和法（简单通项转换法）在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和，即通项分解法：（简单通项转换法）先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和3倒序相加法若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加 相加4错位相减法如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）, 其中是等差数列， 是等比数列（见差比数列，A2）记；则5裂项相消法如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，使之出现成对互为相反数的项常用裂项形式有：（1）（理科选学） ； ； ；（分母缩小整体变大，分子缩小整体变小，缩放的基本思想）； ； （2）（3）其余分解形式（公共） ； （同时）（4）其余分解形式（理科）（理科选学）例题：；6通项转换法（构造法）若一阶线性递归数列，则总可以将其改写变形成如下形式：，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）（公式法）等比数列的前项和，则 答案：（2）（公式法）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的二进制即“逢进”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制数是 答案：（3）（分组求和法）求答案：（4）（倒序相加法）已知，则 答案：解：由： 原式（5）（倒序相加法）（理科）求证： 答案：略（6）（错位相减法）若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列的前项和答案：解：可由求，其中为数列的公比如： ，（7）（错位相减法）设为等比数列，已知， 求数列的首项和公比； 求数列的通项公式答案：，；（8）（错位相减法）设函数，数列满足：， 求证：数列是等比数列； 令，求函数在点处的导数，并比较与的大小答案：略；，当时，；当时，（9）（裂项相消法）求和： 答案：（10）（裂项相消法）在数列中，且，则 答案：（11）（简单通项转换法）求数列，前项和 答案：（12）（简单通项转换法）求和： 答案：（13）（裂项相消法）已知是公差为的等等差数列，求答案：解：由 （14）（裂项相消法）求和：答案：【5】数列应用问题“分期付款”、“森林木材”型应用问题这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决1平均增长率的问题（负增长时）如果原来产值的基础数为，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.且过时间后总产值为：2储蓄、贷款问题（1）单利问题零存整取储蓄（单利）本利和计算模型 若每期存入本金元，每期利率为，期后，本利和为： .（等差数列问题） （2）复利问题如贷款问题分期付款(按揭贷款)的每期还款计算模型（按揭贷款分期等额归还本息的借款种类）. 若贷款（向银行借款）元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还