2010-2011年广东各地高考数学模拟题和答案

广东省茂名市2010年第二次高考模拟考试数学试题（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，净答题卷交回。5参考公式：第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已右集合则MN=（ ）A（-4，1）BCD（1，+）2在等差数列中，已知则=（ ）A19B20C21D223在平面直角坐标系中，点在直线的右上方，则的取值范围是（ ）A（1，4）B（-1，4）C（-，4）D（4，+）4定积分等于（ ）A半径为4的球的体积B半径为4的四分之一球的体积C半径为4的半球的体积D半径为4的球面积5如右图，在中，AD是边BC上的高，则的值等于（ ）A0B4C8D-46某银行开发出一套网银验证程序，验证规则如下：（1）有两组数字，这两组数字存在一种对应关系；第一组数字对应于第二组数字；（2）进行验证时程序在电脑屏幕上依次显示产第二组数字，由用主要计算出第一组数字后依次输入电脑，只有准确输入方能进入，其流程图如图，试问用户应输入（ ）A3，4，5B4，2，6C2，6，4D3，5，77若圆O1方程为，圆O2方程为，则方程表示的轨迹是（ ）A线段O1O52的中垂线B过两圆内公切线交点且垂直线段O1O2的直线C两圆公共弦所在的直线D一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相等8设，则对任意实数是的（ ）A充分必要条件B充分而非必要条件C必要而非充分条件D既非充分也非必要条件第卷（非选择题 共110分）二、填空题：（本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按第14小题给分，共30分）9为虚数单位，若复数满足，则 。10已知正实数满足，则的最小值为 。11关于的方程的解集是，则实数 。12已知函数有3个零点，则实数的取值范围是 。13设，若，则的取值范围是 。选做题：以下两题任选一道作答，两题都答的按第14题正误给分。14（极坐标与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平在直角坐标系的原点，极轴为的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是为参数），则直线与曲线C相交所得的弦的弦长为 。15（几何证明选讲选做题）如右图所示，AC和AB分别是圆O的切线，且OC=3，AB+4，延长AO到D点，则的面积是 。三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16（本小题满分12分）已知函数的最大值为2。 （1）求的值及的最小正周期； （2）求在区间上的单调递增区间。17（本小题满分12分）第16届亚运会将于2010年11月12日至27日在中国广州进行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余不喜爱。 （1）根据以上数据完成以下22列联表：喜爱运动不喜爱运动总计男1016女614总计30 （2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？ （3）从女志原者中抽取2人参加接待工作，若其中喜爱运动的人数为，求的分布列和均值。参考公式：，其中参考数据：0.40100.7081.3232.7066.63518（本小题满分14分）已知四棱锥PABCD的三视图如下右图所示，其中正（主）视图与侧（左）视为直角三角形，俯视图为正方形。 （1）求四棱锥PABCD的体积； （2）若E是侧棱上的动点。问：不论点E在PA的任何位置上，是否都有？请证明你的结论？ （3）求二面角DPAB的余弦值。19（本题满分14分）已知是的导函数，且函数的图象过点（0，-2）。 （1）求函数的表达式； （2）设，若在定义域内恒成立，求实数的取值范围。20（本小题满分14分）如图所示，椭圆的离心率为，且A（0，1）是椭圆C的顶点。 （1）求椭圆C的方程； （2）过点A作斜率为1的直线，在直线上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过点M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程。21（本小题满分14分）已知数列的相邻两项是关于的方程的两实根，且 （1）求证：数列是等比数列； （2）设是数列的前项和，求； （3）问是否存在常数，使得对都成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由。参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）14CBDC 58BADA二、填空题（每题5分，共30分）910411121314415三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16解：（1） 4分当=1时，取得最大值，又的最大值为2，即 5分的最小正周期为 6分 （2）由（1）得 7分 8分得 10分的单调增区间为和 12分17解：（1）喜爱运动不喜爱运动总计男10616女6814总计161430 2分 （2）假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：因此，在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关 6分 （3）喜爱运动的人数为的取值分别为：0，1，2，其概率分别为： 8分喜爱运动的人数为的分布列为：012P10分所以喜爱运动的人数的值为： 12分18解：（1）由三视图可知，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱底面ABCD，且PC=2 4分 （2）不论点E在何位置，都有 5分证明：连结AC，是正方形，底面ABCD，且平面ABCD， 6分又，平面PAC 7分不论点E在何位置，都有平面PAC。不论点E在何位置，都有BDCE。 9分 （3）在平面DAP过点D作DFPA于F，连结BF，AD=AB=1，又AF=AF，AB=AD从而，为二面角DAPB的平面角 12分在中，故在中，又，在中，由余弦定理得：所以二面角DPAB的余弦值为 14分19解：（1）由已知得 1分又 3分 5分 （2）由（1）得定义域为（-1，+）， 7分令 8分当时，且在区间上，在区上处取得极小值，也是最小值。 10分由得 11分当，在区间（-1，+）上，恒成立。在区间（-1，+）上单调递减，没有最值 13分综上得，的取值范围是 14分20解：（1）由题意可知， 1分即 3分所以椭圆C的方程为： 4分 （2）设椭圆C的焦点为F1，F2，则可知F1（-2，0），F2（2，0），直线 方程为： 6分因为M在双曲线E上，所以要使双曲线E的实轴最长，只需最大。又关于直线的对称点为则直线F2F1与直线的交点即为所求的点M 9分直线F2F1的斜率为，其方程为：解得 12分又，此时故所求的双曲线方程为 14分21解：（1）证明：是关于的方程的两实根， 2分故数列是首项为，公比为-1的等比数列。 4分 （2）由（1）得，即 8分 （3）由（2）得要使，对都成立，即（*） 10分当为正奇数时，由（*）式得：即对任意正奇数都成立，故为奇数）的最小值为1。 12分当为正偶数时，由（*）式得：即对任意正偶数都成立，故为偶数）的最小值为综上所述得，存在常数，使得对都成立，的取值范围为（-，1）。 14分2011年佛山市普通高中高三教学质量检测（二） 数 学 (理科) 2011.4本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知全集，集合，则 A B. C. D. 2若将复数表示为，是虚数单位)的形式,则的值为 A2 B C2 D 3在正项等比数列中，若，则A. B. C. D. 4已知，则的最小值为A. B. C. D. 5已知，为的反函数.若，那么与在同一坐标系内的图像可能是 A B C D 6设满足约束条件，则目标函数的最大值是A B C D 7设的三边长分别为，（），则“”是“，成等差数列”的A充分非必要条件 B必要非充分条件C充分必要条件 D既非充分又非必要条件8如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数： 则中午12点时最接近的温度为A B C D二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分）(一)必做题(913题)9.已知，则 10. 某品牌平板电脑的采购商指导价为每台2000元，若一次采购数量达到一定量，还可享受折扣. 右图为某位采购商根据折扣情况设计的算法程序框图，若一次采购85台该平板电脑，则 元.11.某射击爱好者一次击中目标的概率为，在某次射击训练中向目标射击次，记为击中目标的次数，且，则_.12.已知双曲线的一条渐近线与曲线相切，则的值为 _.13. 如右数表，为一组等式：某学生猜测，老师回答正确，则 (二)选做题(1415题,考生只能从中选做一题)14.（坐标系与参数方程）已知的方程为（为参数），则上的点到直线（为参数）的距离的最大值为 15.（几何证明选讲）如图，已知是圆的切线，切点为，直线交圆于两点， ,，则圆的面积为 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（本题满分12分）（第一问5分，第二问7分）已知平面直角坐标系上的三点，（），且与共线.（1）求；（2）求的值.17（本题满分12分）（第一问5分，第二问5分，第三问2分）为提高广东中小学生的健康素质和体能水平，广东省教育厅要求广东各级各类中小学每年都要在体育教学中实施“体能素质测试”，测试总成绩满分为分.根据广东省标准，体能素质测试成绩在之间为优秀;在之间为良好；在之间为合格；在之间，体能素质为不合格.现从佛山市某校高一年级的900名学生中随机抽取30名学生的测试成绩如下: 65,84,76,70,56,81,87,83,91,75,81,88,80,82,93,85,90,77,86,81,83,82,82,64,79,86,68,71,89,96.（1）在答题卷上完成频率分布表和频率分布直方图,并估计该校高一年级体能素质为优秀的学生人数；（2）在上述抽取的30名学生中任取2名，设为体能素质为优秀的学生人数，求的分布列和数学期望（结果用分数表示）；（3）请你依据所给数据和上述广东省标准，对该校高一学生的体能素质给出一个简短评价. 18（本题满分14分）（第一问8分，第二问6分）如图，已知几何体的下部是一个底面是边长为2的正六边形、侧面全为正方形的棱柱，上部是一个侧面全为等腰三角形的棱锥，其侧棱长都为 （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值19（本题满分14分）（第一问5分，第二问9分）已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：以线段为直径的圆恒过轴上的定点.20（本题满分14分）（第一问5分，第二问4分，第三问5分）已知数列，中，对任何正整数都有：（1）若数列是首项为和公比为的等比数列，求数列的通项公式；（2）若数列是等差数列，数列是否为等比数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由；（3）求证：21（本题满分14分）（第一小题8分，第二小题6分）（1）定理：若函数的图像在区间上连续，且在内可导，则至少存在一点，使得成立.应用上述定理证明：；.（2）设.若对任意的实数， 恒成立，求所有可能的值.2011年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：（每题5分，共40分）题号12345678选项BAADCBCB二、填空题（每题5分，共30分）9 10 11 12或（注：正确写出两个才得满分） 13 14 15三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（本题满分12分）解：（1）解法1：由题意得：，2分， 4分. 5分解法2：由题意得：，2分， 4分 5分解法3：由题意知，点为单元圆上的点，如图所示，则，3分；5分（2），由，解得， 8分；10分 12分17（本题满分12分）解：(1) 分组频数频率26评分说明：正确填表2分；正确完成频率分布直方图2分.说明：频率分布表对1个、2个、3个给1分；对4个给2分.频率分布直方图对一个给1分；对2个给2分.根据抽样,估计该校高一学生中体能素质为优秀的有人 5分(2) 的可能取值为. 6分 8分（上述3个对一个给1分）分布列为：9分所以，数学期望. 10分（3）答对下述三条中的一条即可给分：估计该校高一学生中体能素质为优秀有人，占总人数的，体能素质为良好的有人，占总人数的，体能素质为优秀或良好的共有人，占总人数的，说明该校高一学生体能素质良好.估计该校高一学生中体能素质为不合格的有人，占总人数的，体能素质仅为合格的有人，占总人数的，体能素质为不合格或仅为合格的共有人，占总人数的，说明该校高一学生体能素质有待进一步提高，需积极参加体育锻炼. 根据抽样,估计该校高一学生中体能素质为优秀有人，占总人数的，体能素质为良好的有人，占总人数的，体能素质为优秀或良好的共有人，占总人数的，但体能素质为不合格或仅为合格的共有人，占总人数的，说明该校高一学生体能素质良好,但仍有待进一步提高，还需积极参加体育锻炼.18（本题满分14分）解：（1）侧面全为矩形，；在正六边形中， 1分又，平面； 2分，平面；又平面，；5分（注：也可以由勾股定理得到，利用勾股定理求得垂直关系2分）在中，又；在平面中，如图所示，故； 7分又，平面 8分（说明1：在上述证明线面垂直的过程中，如果缺了 ，平面，三个条件中的任意两个本问扣掉3分，如果三个条件都缺，则本题最多只能得分）（2）解法1：在正六边形中，异面直线与所成角为（或其补角）； 10分在中， 11分， 13分异面直线与所成角的余弦值为 14分解法2：以底面正六边形的中心为坐标原点，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 11分设异面直线与所成角为，则， 13分异面直线与所成角的余弦值为 14分（说明1：坐标法，建系1分，写出四个坐标共2分，错一个或2个扣1分）19（本题满分14分）解：（1）由题意可知， 1分而， 2分且. 3分解得， 4分所以，椭圆的方程为. 5分（2）由题可得.设， 6分直线的方程为， 7分令，则，即； 8分直线的方程为， 9分令，则，即； 10分证法一：设点在以线段为直径的圆上，则， 11分即， 12分，（资料来源：数学驿站 ）而，即，或. 13分所以以线段为直径的圆必过轴上的定点或. 14分证法二：以线段为直径的圆为 11分令，得， 12分，而，即，或. 13分所以以线段为直径的圆必过轴上的定点或. 14分解法3：令，则，令，得 6分同理，. 7分以为直径的圆为 8分当时，或.圆过 9分令，直线的方程为， 令，则，即； 10分直线的方程为， 令，则，即； 11分 13分在以为直径的圆上.同理，可知也在为直径的圆上.定点为 14分20（本题满分14分）解：方法一、（1）依题意，数列的通项公式为， 1分由，可得，两式相减可得，即. 3分当，从而对一切，都有. 4分所以数列的通项公式是. 5分方法二、（猜想归纳法）求出 1分猜想出 2分正确使用数学归纳法证明 5分（2）法1：设等差数列的首项为，公差为，则.由（1）得， 6分 7分要使是一个与无关的常数，当且仅当 8分即：当等差数列的满足时，数列是等比数列，其通项公式是；当等差数列的满足时，数列不是等比数列 9分法2：设等差数列的首项为，公差为，则.由（1）得， 6分若数列是等比数列，则 7分要使上述比值是一个与无关的常数，须且只需.即：当等差数列的满足时，数列是等比数列，其通项公式是；8分当等差数列的满足时，数列不是等比数列 9分（3）证法1：由（1）知. 12分 13分 14分证法2：证明其加强命题： 11分证明：时，左边=1，右边=1，不等式成立；假设时，不等式成立.则时，； 13分由知，对一切正整数，不等式成立.综上，知 14分证法3：由（1）知. 当时， 11分当时，. 13分又当时，当时，综上，对一切自然数，都有. 14分21（本题满分14分）证明：， 1分（注1：只要构造出函数即给1分）故又 2分即 3分证明：由式可得 6分上述不等式相加，得 8分（注：能给出叠加式中的任何一个即给1分，能给出一般式，给出2分）（2）解法一、当时，显然成立. 9分当时， .10分下证当时，等式不恒成立.（注：能猜出时等式不恒成立即给1分）不妨设.设.则 11分13分所以函数单调在上单调递增，所以，即不恒为零.故的所有可能值为和. 14分解法二、当时，显然成立. 9分当时， . 10分下证当时，等式不恒成立.不妨设，则已知条件化为： 11分当时， 13分因此，时方程无解.故的所有可能值为和. 14分2010年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学（理科） 20103本试卷共4页，21小题， 满分150分 考试用时120分钟注意事项： 1答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题（或题组号）对应的信息点，再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效5考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回参考公式：球的体积公式，其中是球的半径 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数 的共轭复数是ABCD2设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点球面上有两个点，的坐标分别为，则AB12CD3已知集合，若，则实数的所有可能取值的集合为 A B C D4若关于的不等式的解集为，则实数的值为A2B1CD5已知：直线与平面内无数条直线垂直，：直线与平面垂直则是的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6根据中华人民共和国道路交通安全法规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在2080 mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款20 30 40 50 60 70 80 90 100酒精含量频率组距（mg/100ml）0.0150.010.0050.02图1据法制晚报报道，2009年8月15日至8 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图1是对这28800人酒后驾车血 液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为A2160 B2880C4320 D86407在中，点在上，且，点是的中点，若，则ABCD 图28如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，则第10行第4个数（从左往右数）为ABCD图3开始结束输入否是输出二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9在等比数列中，公比，若前项和，则的值为 10某算法的程序框如图3所示，若输出结果为，则输入的实数的值是_（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成 “”或“：=”）11有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点，则点到点的距离大于1的概率为 12已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围为 13如图4，点为正方体的中心，点为面的中心，点为的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是 （填出所有可能的序号） 图4ABCDEFOAAA图5ABCDO（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14（几何证明选讲选做题）如图5,是半圆的直径,点在半圆上,，垂足为，且,设,则的值为 .15（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点、的极坐标分别为，则（其中为极点）的面积为 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数（其中，）（1）求函数的最小正周期；（2）若函数的图像关于直线对称，求的值17（本小题满分12分）某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800600、0的四个球（球的大小相同）参与者随机从抽奖箱里摸取一球（取后即放回），公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金（元），并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次但是所得奖金减半（若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会），求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元18（本小题满分14分）如图6，正方形所在平面与圆所在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于、的点，圆的直径为9 （1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的正切值 19（本小题满分14分）已知，函数，（其中为自然对数的底数）（1）求函数在区间上的最小值；（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20（本小题满分14分）已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，求的最大值21（本小题满分14分）设数列的前项和为，且对任意的，都有，（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明： 2010年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案ACDABCBB二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性共7小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题97 10 11 12 1314 153三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：， 函数的最小正周期为 （2）解：函数，又的图像的对称轴为（），令，将代入，得（）， 17（本小题满分12分）（本小题主要考查随机变量的分布列、数学期望等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）解：设表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字1000，800，600，0，当摸到球上标有数字0时，可以再摸一次，但奖金数减半，即分别为500，400，300，0 则的所有可能取值为1000，800，600，500，400，300，0 依题意得: 数学驿站 ，则的分布列为奖金10008006005004003000概率所以所求期望值为元答：一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是675元 18（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：垂直于圆所在平面，在圆所在平面上， 在正方形中，平面平面，平面平面 （2）解法1：平面，平面， 为圆的直径，即设正方形的边长为，在中，在中，由，解得， 过点作于点，作交于点，连结，GF由于平面，平面，数学驿站 ，平面平面，平面平面，是二面角的平面角在中， 在中， 故二面角的平面角的正切值为 解法2：平面，平面，数学驿站 为圆的直径，即 设正方形的边长为，在中，在中，由，解得， xyz以为坐标原点，分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设平面的法向量为， 则即取，则是平面的一个法向量设平面的法向量为，则即取，则是平面的一个法向量， 故二面角的平面角的正切值为 19（本小题满分14分）（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：，令，得数学驿站 若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值 若，当时，函数在区间上单调递减，当时，函数在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值 若，则，函数在区间上单调递减，所以当时，函数取得最小值 综上可知，当时，函数在区间上无最小值；当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为（2）解：， 由（1）可知，当时，此时在区间上的最小值为，即当， 曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解 而，即方程无实数解数学驿站 故不存在，使曲线在点处的切线与轴垂直 20（本小题满分14分）（本小题主要考查圆、抛物线、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：设，则， 即，即，所以动点的轨迹的方程 （2）解：设圆的圆心坐标为，则