九年级数学下圆综合复习计算.doc

切线的判定与性质【知识要点】1直线与圆的三种位置关系 在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和O是什么关系?2.切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线对定理的理解：经过半径外端；垂直于这条半径注意：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可（如图）3.切线的判定方法判定一条直线是圆的切线的三种方法：(1)定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。(2)数量关系：即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线(3)图形位置关系（判定定理）：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同解题时，灵活选用其中之一。4.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。注意：对于切线性质定理的两个推论：垂直于切线；经过切点；经过圆心，知道任意二个就可以推出第三个【典型例题】例1下列说法正确的是（ ）（1）与直径垂直的直线是圆的切线；（2）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端点的直线是圆的切线；（4）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；（5）经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线 A、（1）（2）（3） B、（2）（3）（5） C、（2）（4）（5） D、（3）（4）（5）例2如图所示，PBC是O的割线，A点是O上一点，且OPABC求证：PA是O的切线例3如图所示，已知：梯形ABCD中ABCD，A=，腰BC是O的直径，且BC=CD+AB求证：AD和O相切 ABDC 例4如图所示，已知：两个同心圆O中，大圆的弦AB、CD相等，且AB与小圆相切于点E求证：CD是小圆O的切线ACBDO例5如图所示，AB是O的直径，BC为弦，C为弧AD的中点，过C作BD的垂线交BD的延长线于E点求证：CE与O相切DCAOBEBOADCE例6 如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，DCBC，AB=8，BC=5，若以AB为直径为与DC相切于点E ，则DC= 。【课堂练习】一填空题：1以边长为3、4、5的三角形的三个顶点为圆心，分别作圆与对边相切，则这三个圆的半径分别为 ， ， .2已知O的直径为，点O到直线的距离是方程的根，则直线与O的位置关系是 3两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切,则AB= cm. 4.如图1，AB是O的直径，直线MN切半圆于C，AMMN，BNMN，若AM=，BN=，则AB= .5如图2，AB是O的直径，延长AB到D，使BD=OB，DC切O于C，则D= ，ACD= ，若半径为，AC= 6经过圆的直径两端点的切线必互相 7如图3，AB为O的直径，MN切O于C，交AB的延长线于M，ACN=，M= 。 8如图4，P为O外一点，PB切O于B，连结PO交O于A，已知OB=5cm，则PB= ABDCO图2OBMCNA图3OPBA图4CAOBN图1M二选择题：1如图5所示，PA切O于A，PA=，PO交O于B，则PB的长为（ ） A、1cm B、2cm C、1.5cm D、 2如图6所示，PA、PB分别切O于A、B两点，P=，则C=（ ） A、 B、 C、 D、 3已知直径为13cm的圆，圆心到直线的距离是6.5cm，那么这条直线和这个圆的公共点个数是（ ） A、0个 B、1个 C、2个 D、不能确定 4如图7，在直角梯形ABCD中，ADBC，A=，以CD为直径的圆切AB于E点，AD=3，BC=4，则CD的长为（ ） A、7 B、3.5 C、 D、以上答案都不对CBOAP图6CABODDE图7AOBP图5 三、解答题：ABCEOD 1如图所示，已知：AB是O的直径，CD切O于C，ADCD，垂足为D，AD、BC相交于E求证：AB=AEABCEOD 2如图所示，中，以AC为直径作O交AB于D，E为BC中点。求证：DE是O的切线三角形的内切圆【知识要点】 三角形的内接圆，三角形的内心，圆的外切三角形，以及相应的多边形的内切圆，圆的外切多边形本节课通过作图题引入新的概念，说明作三角形的外切圆的重要性，另外学生要深刻理解三角形的内心的实质：三角形三个内角平分线的交点这对于解相关问题起点睛的作用常用公式：已知三角形ABC三边分别为a,b,c面积为s，则其内切圆半径r= ;若该三角形为直角三角形，C=，则则其内切圆半径r= ;若等边三角形边长为m,则则其内切圆半径r= 。【经典例题】AOBC 例1如图所示，O是的内心，且BOC=求A的度数AFEMDCB 例2如图所示，中，内切圆M与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F若FDE=，求A的度数 例3如图所示，点I是的内心，AI的延长线交边BC于点D，交外接圆于点E（1）求证：IE=BE；（2）若IE=4，AE=8，求DE的长ABICEDAFOCDBE 例4如图所示，C=，AB=10，AC=8，BC=6，O为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F求O的半径AFOCDBE例5. 如图所示，C=，O为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F求证：【典型练习】一、填空题 1如图1，在中，ABC=，ACB=，点O是内心，则BOC的度数为 2直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为 ，内切圆半径为 3等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为，则= 4如图2，中，C=，O是的内切 圆，分别切BC、AC、AB于D、E、F，AB=8cm，OD=2cm，则的周长为 cm 5外切于O，E、F、G分别是O与各边的切点，则的外心是的 。 6圆外切等腰梯形底角为，腰长为10，则圆的半径长为 7的内切圆I与AB、BC、CA分别切于D、E、F点，且FID=EID=，则为 三角形图4ABCODEF图3ABCOD图1OBCA 8如图3所示，在中，ABC=，ACB=，点O为的内心，BO的延长线交AC于D，则BDC= ABCDOEF图29等腰中，AB=AC=13，的面积为60求的内切圆的半径= 二、选择题 1半圆圆心在的斜边BC上，且半圆分别外切AB、AC于D、E，AB=4，AC=5，则半圆的半径R为（ ） A、 B、 C、 D、 2如图4，的内切圆O分别切BC、CA、AB于D、E、F，如果A=，EDF的度数为（ ） A、 B、 C、 D、 3一定有内切圆的四边形是（ ） A、矩形 B、菱形 C、等腰梯形 D、直角梯形 4等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是（ ） A、1: B、1: C、1:2:3 D、1:2: 5等边三角形一边长为2，则其内切圆半径等于（ ）A、 B、 C、 D、三、解答题 BDFCEAO 1如图所示，的内切圆O切斜边AB于点D，切BC于点F，BO的延长交AC于点E求证： 2如图所示，O为的内切圆，切点分别是D、E、F，A:B:C=2:3:4求EDF:DEF:EFDBDFCEAO切线长定理【知识要点】1、切线长的概念如图，P是O外一点，PA，PB是O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到O的切线长2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角3、切线长定理的基本图形研究如图，PA，PB是O的两条切线，A，B为切点直线OP交O于点D，E，交AP于C(1)写出图中所有的垂直关系；(2)写出图中所有的全等三角形；(3)写出图中所有的相似三角形；(4)写出图中所有的等腰三角形说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础【典型例题】：APEMDBO例1如图所示，过半径为5cm的O外一点P引O的切线PA、PB，连结PO交O于点M，过M作O的切线分别交PA、PB于点E、D，如果OP=13cm，则的周长为 例2已知：如图，P为O外一点，PA，PB为O的切线，A和B是切点，BC是直径求证：ACOPADCBO 例3如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，AD=3，BC=2，半圆O与AD、DC、BC都相切，且圆心O在AB上，则AB= 例4如图所示，已知过O的直径AB的两端及AB上任一点E作O的三条切线AD、BC和CD，它们分别交于D、C两点求证：为定值ADOBCEABCDO例5如图，已知AD是O的直径，AB、DC是O的两条切线，且ABCD=BC，求证：BC与O相切【典型练习】一、填空题 1O是菱形ABCD的内切圆，半径为，A=，则菱形ABCD的边长为 2如图1，外切于O，D、E、F为切点，AB=5，BC=7，AC=8，则AD= ，BE= ，CF= 3O的半径为4，点P到圆心O的距离为5，由P作O的切线，切点为A，则PA的长为 4已知点P为O外一点，AP、PB是O的两条切线，A、B为切点，APB=，则AOB= ，POA= 5如图2，PA、PB是O的切线，A、B为切点，若O的半么为5，AB=8，则PA= ABCEFD图1ABOP图2ABOPED图3ABCOPE图4二、选择题。1PA、PB切O于A、B两点，若点C为优弧AB上一点，若P=，则ACB=（ ） A、 B、 C、 D、2PA、PB是O的切线，切点是A、B，则（ ） A、OP不一定垂直于AB B、OP不一定平分AB C、OP不一定垂直平分AB D、以上结论都不对3如图3，APB=，PA、PB、DE均为O的切线，则DOE为（ ） A、 B、 C、 D、4如图4，PA、PB分别和O相切于点A、B，AC是直径，弦BC和切线PB所夹的角CBE=，则APB的度数为（ ） A、 B、 C、 D、5从圆外一点向半径为1cm的圆上引切线，其切线长为cm，则两切线所夹的角是（ ） A、 B、 C、 D、以上都不对 三、解答题ABOECD 1如图所示，在中，BAC=，以AB为直径的O交BC于点D，切线DE交AC于点E求证：DE=ACABFCDOEG2如图所示，AB为O的直径，AC、BF分别是O的切线，CF切O于D，DEAB于E，BC交DE于G求证：DG=EGAPCQBO 3如图所示，已知AB为O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A、B的切线交于P、Q求证：课堂小练 1如图1，AB、AC是O的切线，将OB延长一倍到D，若DAC=，则D= 2腰长为10cm，底边长为6cm的等腰三角形内切圆在两腰上切点间的距离为 3如图2，PC为O的切线，C是切点，PO交O于点A，过A的切线交PC于点D，CD:DP=1:2,AD=2cm，则O的半径长为 cm 4若O是四边形ABCD的内切圆，且AB=8，BC=7，CD=5，则AD= 5PA、PB切O于A、B，AB=，若O的半径为，则PAPB= AODBC图3 6如图3，O内切于等腰梯形ABCD，圆的半径r=5cm，等腰梯形的中位线长=12cm，则梯形的周长为 cm，面积为 AODCP图2ABODC图1弦切角【知识要点】1.弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。2.弦切角定理： 3.迁移圆周角定理的证明方法先证明了特殊情况，在考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况将一般情况的证明转化为特殊情况：如图(1)，圆心O在CAB外，作O的直径AQ，连结PQ，则BACBAQ-lAPQ-2APC如图(2)，圆心O在CAB内，作O的直径AQ连结PQ，则BACQAB十1QPA十2APC，【典型例题】例1 填空题：（1）如图，CD是O的直径，AE切O于点B，DC的延长线交AB于A点，A=，则DBE= （2）如图，经过O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P，若CAP=40，ACP=100，则BAC= ACPB例1（2）题ADCBP例1（3）题ABDC例1（1）题E （3）如图，已知直线BC切O于点C，PD为O的直径，BP的延长线与CD的延长线交于点A，A=28，B=26，PDC= 例2如图所示，PA、PB切O于A、B两点，PCD为割线求证：APBCOD例3如图所示，O是的外接圆，PD是O的切线，与AC的延长线交于点P，D是切点，且BCDP求证：ACEDBPO例4如图所示，内接于O，AE是BAC的角平分线，交BC于E，过A作O的切线，交BC的延长线于点D求证：（1）AD=DE （2）ACEDBO例5如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连ON，NP，下列结论中哪些是一定成立的，成立的给出证明。（1）四边形ANPD是梯形；（2）ON=NP；（3）DPPC为定值；（4）PA为NPD的平分线ABCDNOPABEPFCDO例6如图，已知PA、PB切O于A、B,C为AB上一点，CD、CE、CF分别垂直AB、PB、PA于点D、E、F，求证：【典型练习】一、填空题1一条弦把圆周分成1:3两部分，过这条弦的一端引圆的切线，则所成的弦切角的度数为 2如图1，AB是O的直径，C是AB的延长线上一点，且BC=OB，CD切O于D，则A= 3如图2，CB、CD切O于B、D，直径DA的延长线交CB于E若AB的度数为，则BDC= ，C= ，E= 4如图3，AB为O的直径，DE切O于点C，ADDE于D，若CAD=，则AC的度数为 ，BAC= ，BCE= AOBCD图1BCEDA图3AOBED图4FC5已知：AB为O的直径，PB、PC分别切O于B、C，连结AC，若A=，则P= AEBCDO图2 二、选择题1如图4，AB是O的直径，直线EF切O于点B，点C、D是O上的点，弦切角CBE=，AD=CD，则BCD的度数（ ） A、 B、 C、 D、2如图5，以等腰直角三角形ABC直角边AC边直径的圆交斜边AB于D，过D的切线交BC于E，设AC=，则CE+DE=（ ） A、 B、 C、 D、3如图6，内接于O，EC切O于点C，若BOC=，则BCE=（ ） A、 B、 C、 D、4如图7，已知四边形ABCD为圆内接四边形，AD为圆的直径，直线MN切O于B，DC的延长线交MN于G，若，则的值为（ ） A、 B、 C、1 D、5如图8，在O中，AB是弦，AC是O的切线，A是切点，过点B作BDAC于D，BD交O于点E，若AE平分BAD，则ABD=（ ） A、 B、 C、 D、ACDEBO图8ABMGNOADC图7ABCOE图6AADBEC图5 ACBEODF三、解答题1如图，已知DA与O相切于点A，CEAD求证：2如图所示，内接于O，AB=AC，直线MN切O于点C，BDAC、BD相交于点EABDCOEMN（1）求证：；（2）若AB=6cm，BC=4cm，求AE的长3已知，如图所示，O的弦AB的延长线和过点E的切线相交于点P，APE的平分线和AE、BE分别相交于点C、D求证：（1）EC=ED；（2）APBECDO与圆有关的比例线段【知识要点】 1相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 2相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 3切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点的到割线与圆交点的两条线段的比例中项 4切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的长的积相等 （图示）相交弦定理及推论BPTOA切割线定理及推论图形OBDACPOBDACPDPBOAC条件弦AB与弦CD相交于P点弦CD垂直于直径AB于PPT是O切线，PAB是割线PAB、PCD均为QO的割线结论PAPB=PCPDPC2=PAPBPT2=PAPBPAPB=PCPD5、垂径定，：切线长定理，射影定理，相交弦定理，切割线定理之间的关系，如图所示，PA、PB为O的两条切线，A、B为切点，PCD为过O的割线。连结AB交PD于E，则有下列结论：BPADOEC （1）PA2=PB2=PCPD=PEPO； （2）AE2=BE2=DECE=OEPE； （3）AC平分BAP，则C为PAB的内心； （4）OA2=OC2=OEOP=OD2； （5）AC=BCAD=DB，PDAB；（6）AOP=BOP，APD=BPD。【经典例题】DBAPCTO例1如图所示，PT切O于点T，PAB、PCD是割线，弦AB=35cm，弦CD=50cm，AC:DB=1:2，求PT的长PAQODCB例2如图所示，PAB和PCD为O的割线，PQ是O的切线，Q为切点，连结AD、AC，若PAC=BAD求证：APODC例3已知：如图所示，PA切O于点A，D是O内一点，PD交O于C，若PA=6，PC=DC=3OD=2，求O的半径长ACTBDPO例4如图所示，PT切O于T，PA交O于点A、B，且与直径CT交于D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ABCD例5如图所示，内接于O，DA切O于点A，BC延长线交AD于点D求证：【典型练习】一、填空题 1圆内两条弦AB、CD相交于点E，AE=BE，CD=9，DE=4，则AB= . 2在O中，弦AB平分弦CD于点E若CD=8cm，AE ：BE=3：1，则AB= cm 3从圆外一点引圆的切线长为20cm，再从圆外的这一点引圆的最长的割线为50cm，则圆的半径为 cm 4O的半径是，P是O内一点，OP=，AB是过点P的弦，则 5AB是O的直径，P是AB上一点，PCAB交O于C，连结OC，若AP=，PB=则OC= ，PC= 6如图1所示，PA是O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=4cm，PB=2cm，则O的面积为 7如图2所示，PA切O于点A，O的半径为3cm，OP=6cm，则PA= cmOAPBC图1O图2APOABDCP图3ABPQCD图4 8若PA切O于A，PCB是O的割线，PA=4，PB=8，则BC= 二、选择题 1如图3所示，直径AB=20，在0B上取一点P，使0P=8，过点P的弦CD被P点分成4:9两部分，则弦CD的长为（ ） A、10 B、12 C、13 D、14 2如图4所示，正方形ABCD，以D为圆心，以DA为半径的圆与以AB为直径的圆交于点P，AP的延长线交BC于Q，则CQ和QB的关系是（ ）OABDCP图5 A、CQ=QB B、CQQB C、CQQB D、无法确定 3如图5所示，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PD=4，则两圆组成圆环的面积是 OABDCE图6 4如图6所示，O的弦ABCD于E，EB=3，EA=4，EC=2，则O的直径长为（ ） A、 B、 C、 D、三、解答题 1AOBPCDT如图所示，AB为O的直径，P为AB延长线上一点，PT切O于T，过点B的切线和PT交于点C，和AT的延长线交于D（1）求证：为等腰三角形（2）当P=时，求的值AODBBMBNBC2已知：如图所示，AD是O的直径，AB是O的切线，经过点B的割线BMN交AD的延长线于点C，且BM=MN=NC，若AB=2求：BC和AD的长与圆有关的计算【知识要点】线段的计算：通过弦、半径、弦心、弦距之间的关系，构造直角三角形求解。弧的计算：（1）圆的周长 ；（2）弧长 。角的计算：通过圆心角、圆周角、弦切角及其关系求解。面积的计算：（1）圆的面积 ； （2）扇形面积 ； （3）弓形面积 。【经典例题】一、多边形的有关计算 1主要考点：设正多边形的边数为n，边长为an，半径为Rn，边心距为rn，中心角为，内角为，周长为Pn，面积为Sn，则求：中心角；边心距，周长，面积2重难点突破：将正多边形的计算问题围化为角平直角三角形的问题； 正多边形的有关计算公式例1 用48米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地，现有两种设计方案：一种是围成正方形的场地；另一种是围成圆形的场地，试问造用哪一种方案，使围成的场地面积较大？并说明理由。举一反三练：1半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ） A、B、C、3:2:1D、1:2:3ABC2如图三个半径为的圆两两外切，且ABC的每边都与其中两个圆相切，那么ABC的周长是（ ） A、 B、 C、 D、3如图是五角星，已知AC=a，求五角星外接圆的直径。ABCDEMO二、弧长计算 1主要考点：弧长计算 2重难点突破：弧长公式：，已知、中任意两个量可求分第三个量，由此可见求弧长关键要有两个量：圆心角的度数n和半径，同时应注意圆心角应以度为单位。例2 如图，大半圆的弧长为，几个小圆互相外切，其直径之和等于大圆的直径，若几个小的半圆的总弧长，同下列关系成立的是（ ） A、 B、 C、 D、举一反三练：1、秋干拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，其小朋友荡该秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米（左右对称），则该秋千所汤过的圆弧长为（ ）。 A、 B、2米C、 D、ABC2如左下图，在ABC中，C=90o，AC=2cm，把这个三角形在平面内绕点C顺时针旋转90o，那么点A移动能走过的路线长是 cm（不取近似值）。3如图，5个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲早沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，则下列结论不正确的是（ ）AA1A2A3BDEFG A、甲先到B点 B、乙先到B点 C、甲、乙同时到B点 D、无法确定三、求阴影部分面积 1主要考点：阴影面积的计算 2重难点突破：首先观察阴影部分是由哪些弧线或线段围成的，一般将弧转化成扇形，即连结弧端点所在半径，同时通过观察，利用图形面积和，差进行转化成扇形与特殊的三角形（或四边形）的面积，在计算时，要注意线段与所隐含的角度。AEOFBDC例3 如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OD为半径的半圆交AB于E、F，弦AC是小圆的切线，D为切点，AD=4，EO=2，求阴影部分的面积。ABCDO2O1举一反三练：1以直角三角形的两条直角边AC、AB为直径，向三角形内作半圆，两半圆交于点D，CD=1，BD=3，则图中阴影部分面积为 （平方单位）