高考数学总复习 第六篇 数列 第5讲 数列的综合应用课件 理.ppt

2014年高考浙江会这样考 1 结合函数 不等式 方程 几何等知识 综合考查数列和式的相关性质 如和式的最值 单调性 不等关系式的证明等 2 以数列的综合问题为背景 考查在综合问题中推理及分析 解决问题的能力 第5讲数列的综合应用 考点梳理1 等差 等比数列的综合解决等差数列与等比数列的综合问题 关键是理清两个数列的关系 如果同一数列中部分项成等差数列 部分项成等比数列 要把成等差数列或等比数列的项抽出来 研究这些项与序号之间的关系 如果两个数列通过运算综合在一起 要从分析运算入手 把两个数列分割开 弄清两个数列各自的特征 再进行求解 2 等差 等比数列的实际应用 1 现实生活中涉及银行利率 存款利息 企业股金 产品利润 人口增长 产值产量等问题 常常考虑用数列的知识去解决 2 利息 本金 利率 存期 如果涉及复利问题 常用等比数列模型解决 涉及分期付款问题时 由于一般采用复利计算利息的办法 所以也要借助等比数列模型解决 3 一般地 涉及递增率要用等比数列 涉及依次增加或者减少要用等差数列 有的问题是通过转化得到等差数列或等比数列的 在解决问题时要往这些方面去联系 4 在实际问题中建立数列模型时 一般有两种途径 一是从特例入手 归纳猜想 推广到一般结论 二是从一般入手 找到递推关系 再进行求解 3 等差 等比数列与其他知识的综合 1 数列是自变量为正整数的一类函数 数列的通项公式相当于函数的解析式 我们可以用函数的观点来研究数列 例如要研究数列的单调性 周期性 可以通过研究其通项公式所对应函数的单调性 周期性来实现 但要注意数列与函数的不同 数列只能看作是自变量为正整数的一类函数 在解决问题时要注意这一特殊性 3 数列与不等式的综合问题主要有三种 一是判断数列问题中的一些不等关系 二是以数列为载体 考查不等式的恒成立问题 三是考查与数列问题有关的不等式的证明问题 在解决这些问题时 要充分利用数列自身的特点 例如在需要用到数列的单调性的时候 可以通过比较相邻两项的大小进行判断 助学 微博 两点提醒 1 对等差 等比数列的概念 性质要有深刻的理解 有些数列题目条件已指明是等差 或等比 数列 但有的数列并没有指明 可以通过分析 转化为等差数列或等比数列 然后应用等差 等比数列的相关知识解决问题 2 等差数列和等比数列是两种最基本 最常见的数列 它们是研究数列性质的基础 它们与函数 方程 不等式 三角等内容有着广泛的联系 等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用 随着高考对能力要求的进一步增加 这一部分内容也将受到越来越多的关注 考点自测1 已知等差数列 an 的公差为2 若a1 a3 a4成等比数列 则a2的值为 a 4b 6c 8d 10答案b 2 2012 广州调研 等比数列 an 的前n项和为sn 若a1 1 且4a1 2a2 a3成等差数列 则s4 a 7b 8c 15d 16答案c 3 2013 广东六校联考 在等差数列 an 中 a3 a11 8 数列 bn 是等比数列 且b7 a7 则b6 b8的值为 a 2b 4c 8d 16答案d 解析由数列通项可知 当1 n 25 n n 时 an 0 当26 n 50 n n 时 an 0 因为a1 a26 0 a2 a27 0 所以s1 s2 s50都是正数 当51 n 100 n n 时 同理s51 s52 s100也都是正数 所以正数的个数是100 答案d 5 若互不相等的实数a b c成等差数列 c a b成等比数列 且a 3b c 10 则a 答案 4 考向一等差 等比数列的综合应用 方法锦囊 对于等差 等比数列的综合问题 应重点分析等差 等比数列的通项 前n项和 以及等差 等比数列项之间的关系 往往用到转化与化归的思想方法 考向二数列与函数的综合应用 审题视点 第 1 问将点 n sn 代入函数解析式 利用an sn sn 1 n 2 得到an 再利用a1 s1可求r 第 2 问错位相减求和 方法锦囊 此类问题常常以函数的解析式为载体 转化为数列问题 常用的数学思想方法有 函数与方程 等价转化 等 考向三数列与不等式的综合应用 审题视点 1 利用an与sn之间关系求an 2 利用函数的单调性或分离参数求解 法二令bn 1 bn 2n 1 a 2 0 所以a 1 2n 对任意n n 恒成立 所以a 1 故实数a的取值范围是 1 方法锦囊 1 以数列为背景的不等式恒成立问题 多与数列求和相联系 最后利用函数的单调性求解 2 以数列为背景的不等式证明问题 多与数列求和有关 有时利用放缩法证明 规范解答12破解数列的实际应用问题 命题研究 通过近三年的高考试题分析 数列试题在高考中的位置逐步前移 考查难度也逐步降低 因此对数列应用题的考查也有所降低 数列应用题多以现实生活中的 增长率 贷款 等问题为背景命题 考查数列的通项 前n项和等知识 真题探究 本小题满分13分 2012 湖南 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产 该企业第一年年初有资金2000万元 将其投入生产 到当年年底资金增长了50 预计以后每年资金年增长率与第一年的相同 公司要求企业从第一年开始 每年年底上缴资金d万元 并将剩余资金全部投入下一年生产 设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元 1 用d表示a1 a2 并写出an 1与an的关系式 2 若公司希望经过m m 3 年使企业的剩余资金为4000万元 试确定企业每年上缴资金d的值 用m表示 阅卷老师手记 本题考查利用数列知识解决实际应用题 考查数学建模的能力和运算能力 难度偏大 考生在本题出现的错误主要有 1 对题理解不透 an 1与an的关系式求错 2 第 2 问计算出错 第一步 建模 首先要认真审题 理解实际背景 理清数学关系 把应用问题抽象为数学中的数列问题 第二步 解模 利用所学的数列知识 解决数列模型中的相关问题 第三步 释模 把已解决的数列模型中的问题返回实际中去 与实际问题相对应 确定问题的结果 经典考题训练 试一试1 2012 天津 已知 an 是等差数列 其前n项和为sn bn 是等比数列 且a1 b1 2 a4 b4 27 s4 b4 10 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 记tn a1b1 a2b2 anbn n n 证明 tn 8 an 1bn 1 n n n 2 试一试2 2012 山东 已知等差数列 an 的前5项和为105 且a10 2a5 1 求数列 an 的通项