第3章 空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法.doc

3.2 立体几何中的向量方法知识点一 用向量方法判定线面位置关系(1)设a、b分别是l1、l2的方向向量，判断l1、l2的位置关系：a(2,3，1)，b(6，9,3)a(5,0,2)，b(0,4,0)(2)设u、v分别是平面、的法向量，判断、的位置关系：u(1，1,2)，v(3,2，)u(0,3,0)，v(0，5,0)(3)设u是平面的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与的位置关系u(2,2，1)，a(3,4,2)u(0,2，3)，a(0，8,12)解(1)a(2,3，1)，b(6，9,3)，ab，ab，l1l2.a(5,0,2)，b(0,4,0)，ab0，ab，l1l2.(2)u(1，1,2)，v(3,2，)，uv3210，uv，.u(0,3,0)，v(0，5,0)，uv，uv，.(3)u(2,2，1)，a(3,4,2)，ua6820，ua，l或l.u(0,2，3)，a(0，8,12)，ua，ua，l.知识点二 利用向量方法证明平行问题如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点求证：MN平面A1BD.证明方法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M (0,1，)，N (,1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是 =（，0，），设平面A1BD的法向量是n=（x，y，z）. n(x，y，z)则n0，得取x1，得y1，z1.n(1，1，1)又 n (,0，)(1，1，1)0，方法二 = ，又MN平面A1BD.MN平面A1BD.知识点三 利用向量方法证明垂直问题在正棱锥PABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BEECPFFB12.(1)求证：平面GEF平面PBC；(2)求证：EG是PG与BC的公垂线段证明(1)方法一如图所示，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系令PAPBPC3，则A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)于是(3,0,0)，(3,0,0)，故 3，PAFG.而PA平面PBC，FG平面PBC，又FG平面EFG，平面EFG平面PBC.方法二 同方法一，建立空间直角坐标系，则E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)(0，1，1)，(0，1，1)，设平面EFG的法向量是n(x，y，z)，则有n，n，令y1，得z1，x0，即n(0,1，1)而显然=（3，0，0）是平面PBC的一个法向量.这样n = 0,n即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，平面EFG平面PBC.（2） =（1， 1， 1）， =（1，1，0）， =（0， 3，3），=11= 0， =33 = 0，EGPG，EGBC，EG是PG与BC的公垂线段. 知识点四 利用向量方法求角四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60，在四边形ABCD中，DDAB90，AB4，CD1，AD2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值解(1)如图所示，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，DDAB90，AB4，CD1，AD2，A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)由PD面ABCD得PAD为PA与平面ABCD所成的角PAD60.在RtPAD中，由AD2，得PD2P(0,0,2)（2）(2,0，2)， =（2， 3，0）cos,= PA与BC所成角的余弦值为正方体ABEFDCEF中，M、N分别为AC、BF的中点(如图所示)，求平面MNA与平面MNB所成二面角的余弦值解取MN的中点G，连结BG，设正方体棱长为1.方法一 AMN，BMN为等腰三角形，AGMN，BGMN.AGB为二面角的平面角或其补角AG=BG=,，设，=， 2222，1()22cos()2.cos，故所求二面角的余弦值为方法二以B为坐标原点，BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz则M(，0， )，N (,0)，中点G(，)，A(1,0,0)，B(0,0,0)，由方法一知AGB为二面角的平面角或其补角(，)，(，)， cos=,故所求二面角的余弦值为方法三 建立如方法二的坐标系，即取n1(1,1,1)同理可求得平面BMN的法向量n2(1，1，1)cosn1，n2,故所求二面角的余弦值为知识点五 用向量方法求空间的距离已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，求点B到平面EFG的距离解如图所示，以C为原点，CB、CD、CG所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Cxyz.由题意知C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)，F(2,4,0)，G(0,0,2)(0,2,0)，(2,4,0)，设向量平面GEF，垂足为M，则M、G、E、F四点共面，故存在实数x，y，z，使 = x + y + z，即 = x（0，2，0）+y（2，4，0）+z（4，0，2）=（2y4z，2x+4y，2z）.由BM平面GEF，得,，于是0，0，即即，解得 (2y4z,2x4y,2z)| 即点B到平面GEF的距离为考题赏析(安徽高考)如图所示，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点(1)求异面直线AB与MD所成角的大小；(2)求点B到平面OCD的距离解作APCD于点P.如图，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立平面直角坐标系A(0,0,0)，B(1,0,0)，P (0，0)，D (，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)(1)设AB与MD所成角为，(1,0,0)， (，1)，cos =AB与MD所成角的大小为（2） =（0,，）， =（， ，）,设平面OCD的法向量为n = ( x, y , z ),则n=0， n = 0.得取z=，解得n = (0,4, ).设点B到平面OCD的距离为d,则d为在向量n上的投影的绝对值. =（1，0， 2），d,点B到平面OCD的距离为,1已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( )A (，) B (，)C (，) D (，)答案D(1,1,0)，是平面OAC的一个法向量(1,0,1)，(0，1,1)设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z)令x1，则y1，z1n(1,1,1)单位法向量为： (,，)2已知正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是( )A60 B45C30 D90答案B3设l1的方向向量a(1,2，2)，l2的方向向量b(2,3，m)，若l1l2，则m( )A1 B2 C D3答案B解析因l1l2，所以ab0，则有1(2)23(2)m0，2m624，即m2.4若两个不同平面，的法向量分别为u(1,2，1)，v(3，6,3)，则( )A BC，相交但不垂直 D以上均不正确答案A解析因v3u，vu.故.5已知a、b是异面直线，A、Ba，C、Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a与b所成的角是( )A30 B45 C60 D90答案 C解析 设，=，=（+ += |2= 1，cos=,所以=606若异面直线l1、l2的方向向量分别是a(0，2，1)，b(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )A BC D答案B解析设异面直线l1与l2的夹角为，则cos7已知向量n(6,3,4)和直线l垂直，点A(2,0,2)在直线l上，则点P(4,0,2)到直线l的距离为_答案 ，解析 =（6，0，0），因为点A在直线l上， n与l垂直，所以点P到直线l的距离为8平面的法向量为(1,0，1)，平面的法向量为(0，1,1)，则平面与平面所成二面角的大小为_答案或，解析设n1(1,0，1)，n2(0，1,1)则cosn1，n2n1，n2因平面与平面所成的角与n1，n2相等或互补，所以与所成的角为或9已知四面体顶点A(2,3,1)、B(4,1，2)、C(6,3,7)和D(5，4,8)，则顶点D到平面ABC的距离为_答案 11解析 设平面ABC的一个法向量为n =（x,y,z）则令x=1,则n = (1,2, ), =（7，7，7）故所求距离为,10如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD平面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于F.(1)证明：PA平面BDE；(2)证明：PB平面DEF.证明 (1)如图建立空间直角坐标系，设DCa，ACBDG，连结EG，则A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)，E (0，)，G (，0)于是=（a，0， a）， =（，0，）, = 2，PAEG.又EG平面DEB.PA平面DEB.PA平面DEB.(2)由B(a,a,0),得 =(a, a, a),又 =（0, ,）, =PBDE.又EFPB，EFDE=E，PB平面EFD.11如图所示，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60.(1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小解如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz.则 =（1，0，0）， = (0,0,1).连结BD,BD.在平面BBDD中,延长DP交BD于H.设 = (m,m,1) (m0),由已知,= 60,由= |cos,可得2m =解得m =，所以(，1)，(1) 因为cos,= (2) 所以,= 45,即DP与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是= (0,1,0).因为cos,= 所以,= 60,可得DP与平面AADD所成的角为30.12. 如图，四边形ABCD是菱形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BAD=60.平面PBD平面PAC，(1)求点A到平面PBD的距离;(2)求异面直线AB与PC的距离.(1)解 以AC、BD的交点为坐标原点，以AC、BD所在直线为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（3，0，0），B（0，1，0），C（，0，0），D（0， 1，0），P（3，0，2）.设平面PBD的一个法向量为n1=（1，y1，z1）.由n1， n1，可得n1=（1，0，）.（1）=（，0，0），点A到平面PBD的距离,13.如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC = 2a，BB1 = 3a，D为A1C1的中点，在线段AA1上是否存在点F，使CF平面B1DF？若存在，求出|；若不存在，请说明理由.解 以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.假设存在点F，使CF平面B1DF，并设 =（0，0，3a）=（0，0，3a）（01），D为A1C1的中点，D(，,3a) (，,3a)(0,0,3a) (,， 0)，=CF平面B1DF，CF, ,即解得或存在点F使CF面B1DF，且当=时，|=,| = a当=，| =,| = 2a.14如图(1)所示，已知四边形ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为eq r(3)的等腰梯形将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图(2)(1)证明：ACBO1；(2)求二面角OACO1的余弦值(1)证明 由题设知OAOO1，OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAO