高考数学二轮复习 专题五 立体几何与空间向量 第2讲 空间中的平行与垂直课件 理.pptVIP

第2讲空间中的平行与垂直 专题五立体几何与空间向量 热点分类突破 真题押题精练 热点一空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法 1 根据空间线面平行 垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题 2 必要时可以借助空间几何模型 如从长方体 四面体等模型中观察线面位置关系 并结合有关定理来进行判断 例1 1 2017 四川省眉山中学月考 已知m n为空间中两条不同的直线 为空间中两个不同的平面 下列命题正确的是a 若n n m 则m b 若m 则m c 若m n在 内的射影互相平行 则m nd 若m l l 则m 解析由题意知 n n 则 又m 则m a正确 若m 可能会现m b错误 若m n在 内的射影互相平行 两直线异面也可以 c错误 若m l l 可能会出现m d错误 故选a 答案 解析 答案 解析 2 2017届泉州模拟 设四棱锥p abcd的底面不是平行四边形 用平面 去截此四棱锥 使得截面四边形是平行四边形 则这样的平面 a 有无数多个b 恰有4个c 只有1个d 不存在 思维升华 解析如图 由题知面pad与面pbc相交 面pab与面pcd相交 可设两组相交平面的交线分别为m n 由m n决定的平面为 作 与 平行且与四条侧棱相交 交点分别为a1 b1 c1 d1 则由面面平行的性质定理得a1b1 n c1d1 a1d1 m b1c1 从而得截面必为平行四边形 由于平面 可以上下平移 可知满足条件的平面 有无数多个 故选a 思维升华解决空间点 线 面位置关系的组合判断题 主要是根据平面的基本性质 空间位置关系的各种情况 以及空间线面垂直 平行关系的判定定理和性质定理进行判断 必要时可以利用正方体 长方体 棱锥等几何模型辅助判断 同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中 答案 解析 跟踪演练1 1 是三个平面 m n是两条直线 则下列命题正确的是a 若 m n m n 则 b 若 m n 则m nc 若m不垂直平面 则m不可能垂直于平面 内的无数条直线d 若m n m n 则 解析逐一分析所给的命题 a项 若 m n m n 并非一条直线垂直于平面内的两条相交直线 不一定有 该说法错误 b项 若 m n 无法确定m n的关系 该说法错误 c项 若m不垂直平面 则m可能垂直于平面 内的无数条直线 该说法错误 d项 若m n m n 则 该说法正确 故选d 答案 解析 2 2017届株洲一模 如图 平面 平面 直线l a c是 内不同的两点 b d是 内不同的两点 且a b c d 直线l m n分别是线段ab cd的中点 下列判断正确的是 a 当cd 2ab时 m n两点不可能重合b m n两点可能重合 但此时直线ac与l不可能相交c 当ab与cd相交 直线ac平行于l时 直线bd可以与l相交d 当ab cd是异面直线时 直线mn可能与l平行 解析由于直线cd的两个端点都可以动 所以m n两点可能重合 此时两条直线ab cd共面 由于两条线段互相平分 所以四边形acbd是平行四边形 因此ac bd 则bd 所以由线面平行的判定定理可得ac 又因为ac l 所以由线面平行的性质定理可得ac l 故应排除答案a c d 故选b 热点二空间平行 垂直关系的证明空间平行 垂直关系证明的主要思想是转化 即通过判定定理 性质定理将线线 线面 面面之间的平行 垂直关系相互转化 例2 1 2017 全国 如图 四棱锥p abcd中 侧面pad为等边三角形且垂直于底面abcd ab bc ad bad abc 90 证明 直线bc 平面pad 证明在平面abcd内 因为 bad abc 90 所以bc ad 又bc 平面pad ad 平面pad 所以bc 平面pad 证明 若 pcd的面积为2 求四棱锥p abcd的体积 解答 解如图 取ad的中点m 连接pm cm 因为侧面pad为等边三角形且垂直于底面abcd 平面pad 平面abcd ad 所以pm ad pm 底面abcd 因为cm 底面abcd 所以pm cm 取cd的中点n 连接pn 则pn cd 解得x 2 舍去 或x 2 所以四棱锥p abcd的体积 2 2017 重庆市巴蜀中学三模 如图 平面abcd 平面adef 四边形abcd为菱形 四边形adef为矩形 m n分别是ef bc的中点 ab 2af cba 60 求证 dm 平面mna 证明 证明连接ac 在菱形abcd中 cba 60 且ab bc abc为等边三角形 又 n为bc的中点 an bc bc ad an ad 又 平面abcd 平面adef 平面abcd 平面adef ad an 平面abcd an 平面adef 又dm 平面adef dm an 在矩形adef中 ad 2af m为ef的中点 amf为等腰直角三角形 amf 45 同理可证 dme 45 dma 90 dm am 又 am an a 且am an 平面mna dm 平面mna 若三棱锥a dmn的体积为 求mn的长 证明 思维升华 证明设af x 则ab 2af 2x 在rt abn中 ab 2x bn x abn 60 平面abcd 平面adef ad为交线 fa ad fa 平面abcd 设h为点m到平面adn的距离 则h af x 思维升华垂直 平行关系的基础是线线垂直和线线平行 常用方法如下 1 证明线线平行常用的方法 一是利用平行公理 即证两直线同时和第三条直线平行 二是利用平行四边形进行平行转换 三是利用三角形的中位线定理证线线平行 四是利用线面平行 面面平行的性质定理进行平行转换 2 证明线线垂直常用的方法 利用等腰三角形底边中线即高线的性质 勾股定理 线面垂直的性质 即要证两线垂直 只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可 l a l a 跟踪演练2 2017 北京市海淀区适应性考试 如图 四棱锥p abcd的底面是边长为1的正方形 侧棱pa 底面abcd 且pa e是侧棱pa上的动点 1 求四棱锥p abcd的体积 解 pa 平面abcd 解答 2 如果e是pa的中点 求证 pc 平面bde 证明连接ac交bd于o 连接oe 四边形abcd是正方形 o是ac的中点 又 e是pa的中点 pc oe pc 平面bde oe 平面bde pc 平面bde 证明 3 是否无论点e在侧棱pa的任何位置 都有bd ce 证明你的结论 解无论点e在任何位置 都有bd ce 证明如下 四边形abcd是正方形 bd ac pa 底面abcd 且bd 平面abcd bd pa 又 ac pa a ac pa 平面pac bd 平面pac 无论点e在任何位置 都有ce 平面pac 无论点e在任何位置 都有bd ce 解答 热点三平面图形的折叠问题平面图形经过翻折成为空间图形后 原有的性质有的发生变化 有的没有发生变化 这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键 一般地 在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化 不在同一个平面上的性质发生变化 解决这类问题就是要根据这些变与不变 去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值 这是化解翻折问题的主要方法 例3 2017 孝义质检 如图 1 在五边形abcde中 ed ea ab cd cd 2ab edc 150 如图 2 将 ead沿ad折到 pad的位置 得到四棱锥p abcd 点m为线段pc的中点 且bm 平面pcd 1 求证 平面pad 平面abcd 证明 四边形abmn为平行四边形 an bm 又bm 平面pcd an 平面pcd an pd an cd 由ed ea 即pd pa及n为pd的中点 可得 pad为等边三角形 pda 60 又 edc 150 cda 90 cd ad 又an ad a an 平面pad ad 平面pad cd 平面pad 又 cd 平面abcd 平面pad 平面abcd 解设四棱锥p abcd的高为h 四边形abcd的面积为s 解答 思维升华 思维升华 1 折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口 2 存在探索性问题可先假设存在 然后在此前提下进行逻辑推理 得出矛盾或肯定结论 跟踪演练3 2017届四川省成都市九校模拟 如图 在直角梯形abcd中 ad bc ab bc bd dc 点e是bc边的中点 将 abd沿bd折起 使平面abd 平面bcd 连接ae ac de 得到如图所示的空间几何体 1 求证 ab 平面adc 证明 证明因为平面abd 平面bcd 平面abd 平面bcd bd 又bd dc dc 平面bcd 所以dc 平面abd 因为ab 平面abd 所以dc ab 又ad ab dc ad d ad dc 平面adc 所以ab 平面adc 解答 故bc 3 由于ab 平面adc ab ac e为bc的中点 因为dc 平面abd 设点b到平面ade的距离为d 真题体验 1 2017 全国 改编 如图 在下列四个正方体中 a b为正方体的两个顶点 m n q为所在棱的中点 则在这四个正方体中 直线ab与平面mnq不平行的是 答案 解析 1 2 1 解析对于 1 作如图 所示的辅助线 其中d为bc的中点 则qd ab qd 平面mnq q qd与平面mnq相交 直线ab与平面mnq相交 1 2 对于 2 作如图 所示的辅助线 则ab cd cd mq ab mq 又ab 平面mnq mq 平面mnq ab 平面mnq 1 2 对于 3 作如图 所示的辅助线 则ab cd cd mq ab mq 又ab 平面mnq mq 平面mnq ab 平面mnq 1 2 对于 4 作如图 所示的辅助线 则ab cd cd nq ab nq 又ab 平面mnq nq 平面mnq ab 平面mnq 1 2 2 2017 江苏 如图 在三棱锥a bcd中 ab ad bc bd 平面abd 平面bcd 点e f e与a d不重合 分别在棱ad bd上 且ef ad 求证 1 ef 平面abc 证明在平面abd内 因为ab ad ef ad 所以ab ef 又ef 平面abc ab 平面abc 所以ef 平面abc 1 2 证明 2 ad ac 证明因为平面abd 平面bcd 平面abd 平面bcd bd bc 平面bcd bc bd 所以bc 平面abd 因为ad 平面abd 所以bc ad 又ab ad bc ab b ab 平面abc bc 平面abc 所以ad 平面abc 又ac 平面abc 所以ad ac 1 2 证明 押题预测 答案 解析 押题依据空间两条直线 两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容 也是高考命题的热点 此类题常与命题的真假性 充分条件和必要条件等知识相交汇 意在考查考生的空间想象能力 逻辑推理能力 1 2 1 不重合的两条直线m n分别在不重合的两个平面 内 下列为真命题的是a m n m b m n c m d m n 押题依据 1 2 解析构造长方体 如图所示 因为a1c1 aa1 a1c1 平面aa1c1c aa1 平面aa1b1b 但a1c1与平面aa1b1b不垂直 所以平面aa1c1c与平面aa1b1b不垂直 所以选项a b都是假命题 cc1 aa1 但平面aa1c1c与平面aa1b1b相交而不平行 所以选项d为假命题 若两平面平行 则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面 是真命题 故选c 2 如图 1 在正 abc中 e f分别是ab ac边上的点 且be af 2cf 点p为边bc上的点 将 aef沿ef折起到 a1ef的位置 使平面a1ef 平面befc 连接a1b a1p ep 如图 2 所示 1 求证 a1e fp 押题依据以平面图形的翻折为背景 探索空间直角与平面位置关系的考题创新性强 可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力 预计将成为今年高考的命题形式 1 2 证明 押题依据 证明在正 abc中 取be的中点d 连接df 如图所示 因为be af 2cf 所以af ad ae de 而 a 60 所以 adf为正三角形 又ae de 所以ef ad 所以在题图 2 中a1e ef 又a1e 平面a1ef 平面a1ef 平面befc 且平面a1ef 平面befc ef 所以a1e 平面befc 因为fp 平面befc 所以a1e fp 1 2 2 若bp be 点k为