高中数学 §3.4 基本不等式B 新人教A版必修5.pptVIP

第三章不等式 3 4基本不等式 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标 会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去象一个风车 代表中国人民热情好客 思考 这会标中含有怎样的几何图形 思考 你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系 探究1 a b 1 正方形abcd的面积s 四个直角三角形的面积和s s与s 有什么样的不等关系 探究 s s 问 那么它们有相等的情况吗 重要不等式 一般地 对于任意实数a b 我们有 当且仅当a b时 等号成立 a b c d e fgh a b 思考 你能给出不等式的证明吗 证明 作差法 结论 一般地 对于任意实数a b 总有当且仅当a b时 等号成立 文字叙述为 两数的平方和不小于它们积的2倍 适用范围 a b r 问题一 问题一 替换后得到 即 即 你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗 问题二 证明 要证 只要证 要证 只要证 要证 只要证 显然 是成立的 当且仅当a b时 中的等号成立 分析法 问题二 证明不等式 特别地 若a 0 b 0 则 通常我们把上式写作 当且仅当a b时取等号 这个不等式就叫做基本不等式 基本不等式 在数学中 我们把叫做正数a b的算术平均数 叫做正数a b的几何平均数 文字叙述为 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 适用范围 a 0 b 0 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 问题三 rt acd rt dcb a b c d e a b o 如图 ab是圆的直径 o为圆心 点c是ab上一点 ac a bc b 过点c作垂直于ab的弦de 连接ad bd od 如何用a b表示cd cd 如何用a b表示od od 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 问题三 如何用a b表示cd cd 如何用a b表示od od od与cd的大小关系怎样 od cd 如图 ab是圆的直径 o为圆心 点c是ab上一点 ac a bc b 过点c作垂直于ab的弦de 连接ad bd od 几何意义 半径不小于弦长的一半 a d b e o c a b a b a b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a b r a 0 b 0 填表比较 注意从不同角度认识基本不等式 例1 1 如图 用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用篱笆最短 最短的篱笆是多少 解 如图设bc x cd y 则xy 100 篱笆的长为2 x y m 当且仅当时 等号成立 因此 这个矩形的长 宽都为10m时 所用的篱笆最短 最短的篱笆是40m 此时x y 10 x y a b d c 若x y皆为正数 则当xy的值是常数p时 当且仅当x y时 x y有最小值 例1 2 如图 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 解 如图 设bc x cd y 则2 x y 36 x y 18 矩形菜园的面积为xym2 得xy 81 当且仅当x y时 等号成立 因此 这个矩形的长 宽都为9m时 菜园面积最大 最大面积是81m2 即x y 9 a b d c 若x y皆为正数 则当x y的值是常数s时 当且仅当x y时 xy有最大值 各项皆为正数 和或积为定值 注意等号成立的条件 一 正 二 定 三 相等 利用基本不等式求最值时 要注意 基本不等式在实际问题中的应用 例2某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池 其容积为4800m3 深为3m 如果池底每平方米的造价为150元 池壁每平方米的造价为120元 怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少 分析 水池呈长方体形 它的高是3m 底面的长与宽没有确定 如果底面的长与宽确定了 水池总造价也就确定了 因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低 根据题意 得 由基本不等式与不等式的性质 可得 即 所以 将水池的地面设计成边