高三数学空间向量及其运算人教

高三数学空间向量及其运算考点1：空间向量及其加减与数乘运算1.概念(1)空间向量：在空间中我们把具有大小和方向的量叫做空间向量(2)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量 (3)空间向量的加法与数乘向量运算满足如下规律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 数乘分配律：(a+b)= a+b2.深化(1)空间向量的学习要注意把平面向量的知识迁移过来，加以类比，实际上它们本质上是一样的，只是位置范围扩大了 (2)空间向量同平面向量一样，没有大小, 能比较大小的是它们的模 (3)平面内一个平移就是一个向量，在空间中仍然如此，空间中的一个平移也是一个向量，且空间的平移包含平面的平移学习空间向量要注意在平面向量的基础上加深理解(4)空间向量的加法、减法、数乘运算，以及两个空间向量的数量积的定义、运算律与性质均与平面向量完全一样，如：向量加法的平行四边形法则和三角形法则，向量减法的三角形法则 (5)首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量因此，求空间若干向量之和时可通过平移将它们转化为首尾相接的向量首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0如ABC中外一点O，则+=，+=0迁移 体验1.1、在平行六面体ABCDABCD中，向量、是A.有相同起点的向量 B.等长的向量 C.共面向量 D.不共面向量1.2、平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若 =a， =b， =c，则下列式子中与相等的是A.a+b+c B.a+b+c C.ab+c D.ab+c考点2：空间共线向量 1.概念 (1)共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则称这些向量叫做共线向量或平行向量a平行于b记作ab. (2)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(bO)，ab的充要条件是存在实数，使a=b (3)推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t，满足关系式=+t. 2.深化 (1)空间向量定理与平面向量完全相同，是平面向量的相关知识向空间的推广 (2)对于空间任意两个向量a、b(b0)，此定理可以分解为以下两个命题：ab存在唯一实数，使a=b另一方面，若存在唯一实数使a=b，则ab.其中第二个命题是空间向量共线的判定定理 (3)利用空间向量定理及推论可解决有关平行问题及三点共线问题等3.注意空间两向量平行与空间两直线平行也是不同的，直线平行是不允许重合的，而两向量平行，它们所在的直线可以平行也可以重合迁移 体验1.3、下列命题中不正确的命题个数是若A、B、C、D是空间任意四点，则有+ +=0 |a|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件 若a、b共线，则a与b所在直线平行 对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z（其中x、y、zR），则P、A、B、C四点共面.A.1 B.2 C.3 D.41.4、A是BCD所在平面外一点，M、N分别是ABC和ACD的重心，若BD=4，试求MN的长.考点3：空间共面向量 1.概念(1)共面向量: 我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 (2)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y，使p=xa+yb (3)推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是，存在有序实数对x、y，使=x+y，或对空间任一定点O，有=+ x+y, 我们称式叫做平面MAB的向量表示式 2.深化(1)对于空间中的任意两个向量来说都是共面的，但三个向量不一定共面(2)当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需证明其中一条直线上有一点在另外两直线确定的平面内 迁移 体验1.5、设A、B、C及A1、B1、C1分别是异面直线l1、l2上的三点，而M、N、P、Q分别是线段AA1、BA1、BB1、CC1的中点.求证：M、N、P、Q四点共面.考点4：空间向量基本定理1.定理(1)空间向量基本定理:如果向量不共面，那么对空间任意的向量p, 存在一个唯一的有序实数组x, y，z,使,称为基底,称为基向量. (2)推论:设O、A、B、C是不共面的四点，对空间任意点P都存在唯一的有序数组x,y,z使.2.深化(1)如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是p|pxaybzc，x、y、zR这个集合可看作是由向量a、b、c生成的，所以我们把a，b，c叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量由上述定理可知，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底(2)推论中，若xyz，则根据共面向量定理得：P、A、B、C四点共面故可看成平面ABC的一个向量参数方程，其中x, y，z为参数.迁移 体验1.6、设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是A.a+b，ba，a B.a+b，ba，b C.a+b，ba，c D.a+b+c，a+b，c1.7、O、A、B、C为空间四个点，又、为空间的一个基底，则A.O、A、B、C四点不共线 B.O、A、B、C四点共面，但不共线C.O、A、B、C四点中任意三点不共线 D.O、A、B、C四点不共面考点5：空间向量的数量积1.概念(1)空间向量的夹角: 已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作=a，=b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作.(2)空间向量的数量积: 已知空间两个向量a、b，则|a|b|cosa，b叫做向量a、b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b2.深化(1)显然=，特别地时，称ab.(2）空间两个非零向量数量积的性质ea = ae =|a|cosab ab = 0当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时，ab = -|a|b|。特别的aa = |a|2或cos =ab| |a|b|（3）空间两个非零向量数量积的运算律交换律：a b = b a (a)b =(ab) = a(b)分配律 (a + b)c = ac + bc3.注意(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定。(2)两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab两个数量的积，书写时要严格区分。(3)在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0。因为其中cosq有可能为0。(4)已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c。在向量中ab = bc 并不一定有 a = c (5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc)迁移 体验1.8、在以下四个式子中正确的有a+bc， a（bc）， a（bc）， |ab|=|a|b|A.1个 B.2个 C.3个 D.0个1.9、已知a+3b与7a5b垂直，且a4b与7a2b垂直，则a，b=_.1.10、沿着正四面体OABC的三条棱、的方向有大小等于1、2、3的三个力f1、f2、f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦.迁移 体验答案1.1、解析：=，、共面.答案：C.1.2、解析：= + =+ （+）= + =c a+ b，故选A.1.3、解析：易知只有是正确的，对于，若O平面ABC，则、不共面，由空间向量基本定理知，P可为空间任一点，所以P、A、B、C四点不一定共面.答案：C1.4、解：连结AM并延长与BC相交于E，连结AN并延长与CD相交于E，则E、F分别是BC及CD的中点.现在= = = （）= （）=（ ）=（）=.=|= |= BD=.说明：本题的关键是利用重心这一特殊位置逐步进行转化.1.5、证明： = ， = ，=2，=2.又 = （+）， （*）A、B、C及A1、B1、C1分别共线，=2，=2.代入（*）式得= （2+2）=+，、共面.M、N、P、Q四点共面.1.6、解析：由已知及向量共面定理，易得a+b，ba，c不共面，故可作为空间的一个基底，故选C.答案：C1.7、解析：由基底意义，、三个向量不共面，但A、B、C三种情形都有可能使、共面.只有D才能使这三个向量不共面，故应选D.1.8、解析：根据数量积的定义，bc是一个实数，a+bc无意义.实数与向量无数量积，故a（bc）错，|ab|=|a|b|cosa，b|，只有a（bc）正确.答案：A.1.9、解析：由条件知（a+3b）（7a5b）=7|a|215|b|2+16ab=0，及（a4b）（7a2b）=7|a|2+8|b|230ab=0.两式相减得46ab=23|b|2，ab= |b|2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|=|b|.cosa，b=.a，b=60.答案：601.10、解：用a、b、c分别代表棱、上的三个单位向量，则f1=a，f2=2b，f3=3c，则f=f1+f2+f3=a+2b+3c，|f|2=（