高三数学函数图象的两类对称问题

高三数学函数图象的两类对称问题关于函数性质的考查，2006年高考将继续加强。其中函数图象的两类对称问题，最易混淆，比如：例1、下列四个命题中正确的是（ ）（1）若函数f（x）满足f（a-x）=f（x-a），则函数f（x）的图象关于直线x=a对称；（2）若函数f（x）满足f（a+x）=f（a-x），则函数f（x）的图象关于y轴对称；（3）函数y=f（a-x）与y=f（x-a）的图象关于y轴对称；（4）函数y=f（a+x）与y=f（a-x）的图象关于直线x=a对称；本题在训练信息反馈中发现，错误率高达百分之八九十。实际上，这四个命题都是错误的。错因分析：（1）缺乏映射的观点命题（1）实际上就是f（-x）=f（x），故f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称。命题（2）说明点M（a+x，y）与点N（a-x，y）都是函数y=f（x）上的点，而M、N的中点为A（a，y），即点M、N关于直线x=a对称，由点M、N的任意性知，函数f（x）的图象关于直线x=a对称。2、没有复合函数的观点学生往往把复合的观点与映射的观点相混淆，弄不清一个函数的内部对称与将一个函数进行两种不同的复合后的两个函数的图象的对称关系。学生将命题（3）中的a-x看作t，则x-a=-t，而后又将y=f（t）与y=f（-t）看作y=f（x）与y=f（-x），从而得出y=f（a-x）与y=f（x-a）的图象关于y轴对称，实质上，y=f（a-x）中另t=a-x，则y=f（t）是关于t的复合函数，而y=f（t）与y=f（-t）的图象关于直线t=0对称，即x=a，故函数y=f（a-x）与y=f（x-a）的图象关于直线x=a对称。3、图象变换法生疏至于命题（4），学生常与命题（2）相混，实际上，f（a+x）是由y=f（x）向左平移a个单位，f（a-x）是由y=f（-x）向右平移a个单位，而y=f（x）与y=f（-x）的图象关于y轴对称，一个向左平移a个单位，一个向右平移a个单位，其对称性不变，故y=f（a+x）与y=f（a-x）仍关于y轴对称。一般地，定义在R上的函数y=f（x）1、若满足条件f（a+x）=f（b-x），（I），则函数y=f（x）的图象关于直线x=对称。2、函数y=f（a+x）与y=f（b-x）的图象关于直线x=对称。第一类，是反映函数y=f（x）图象自身内部的对称关系，就象人体本身左、右手的对称关系一样，用映射的观点看，说明点M（a+x，y）与点N（b-x，y）都是函数y=f（x）图象上的点，而M、N的中点为P（，y），这说明M、N关于直线x=对称，由点M的任意性知，函数y=f（x）的图象关于直线x=对称。第二类中，函数y=f（x+a）与y=f（b-x）的图象关系，是研究由函数y=f（x）复合变换后得两个新的函数图象间的关系，就象研究一个人左、右移动后所成的象间的对称关系，由复合的观点、变换的方法知，将y=f（x）的图象向左平称a个单位，可得y=f（x+a）的图象，将y=f（-x）的图象向右平移b个单位，可得y=f（b-x）的图象，而y=f（x）与y=f（-x）的图象关于y轴对称，一个向左平移a个单位，一个向右平移b个单位后，得到的两函数的图象就关于直线x=对称。例2、定义于R上的函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称，则y=f（x）满足的条件为（ ）A、f（a-x）=f（x-a） B、f（a+x）=f（x-a）C、f（2a-x）=f（x） D、f（a+x）=-f（a-x）分析：由第一类对称关系知，b=a，即f（a+x）=f（a-x），由映射观点知，此即f（2a-x）=f（x），故答案为C。 注：条件A. f(ax) = f(xa) f(x) = f(x)，即f(x)为偶函数条件B. f(a + x) = f(xa) f(2a + x) = f(x)，（a0），则f（x）为以T=2a为一个周期的周期函数。条件D. f(a + x) =-f(ax) y = f(x)关于点（a，0）对称。本例考察目的：一是熟练掌握函数图象轴对称条件及其变换，二是考察变更条件结构所能推导结论。例3、如果函数y = f(x)的图象关于两条直线x=a，及x=b对称（ab），那么函数是周期函数。证明：因函数y=f（x）的图象关于直线x=a及x=b都对称，所以，对于任意tR，有f（2a-t）=f（t）=f（2b-t） 令2b-t=x，则2a-t=x+2（a-b） 代入，有：f2（a-b）+x=f（x）又ab，a-b0，因此，y=f（x）是以2（a-b）为一个周期的周期函数。注：2001年全国高考22题（）即本例的一个特殊情况。例4、（2002年湖北省八校联考题）定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在区间-1，0上单调递增，设a=f（ ），b=f（2），c=f（3），则（ ）A、cab B、bca C、cba D、abc分析：依题得f（x+2）=-f（x+1）=-f（x）=f（x），故f（x）是以2的一个周期的的周期函数。又f（x）为偶函数，且在-1，0上单调递增,故平移两个周期后,f（x）在3，4上仍单调递增。又a=f（ ）=f（2+ ）,b=f（2）=f（4）,32+ 4cab 选（A）例5、（2002年湖北八校联考题）已知函数y=f（x）的图象如右则y=f（-x）5mx0, 的大致图象为（ ）分析：因为f（x）与f（-x）的图象关于直线x=对称，故由y=f（-x）的图象知，0x时，f（x）0，x时，f（x）0，而在0，上，SinX0，故选A。例6、定义在R上的函数y=f（x），求证：（1）若满足条件f（a+x）=-f（b-x），则函数f（x）的图象关于点（，0）对称；（2）函数y=f（a+x）与y=-f（b-x）的图象关于点（，0）成中心对称。证明：（1）f（a+x）=-f（b-x），故点M（a+x，y）与点N（b-x，-y）都在函数y=f（x）的图象上，而M、N关于点（，0）对称：由点M、N的任意性知，f（x）的图象关于点（，0）对称。（2）将y=f（x）图象向左平称a个单位得y=f（a+x），将y=-f（-x）的图象向右平移b个单位得y=-f（b-x），容易知道，y=f（x）与y=-f（-x）的图象关于原点对称，一个向左平移a个单位，一个向右平移b个单位，故它们的对称中心即占（-a，0），（b，0）的中点（，0）。例7、如果函数y=f（x）的图象关于点A（a，0）和B（b，0）都对称（ab），求证f（x）是周期函数。证明：因为f（x）的图象关于点A（a，0）和B（b，0）都对称，故f（t）=-f（2a-t）=-f（2b-t） 令x=2b-t 2a-t=2（a-b）+x 代入上式f2（a-b）+x=f（x）而a-b0，f（x）是以2（a-b）为一个周期的周期函数。注：f（a+x）=-f（b-x） f（x）=-f（a+b）-x例8、已知f（x）是R上的偶函数，g（x）是R上的奇函数，且g（x）=f（x-1），若f（-2）=a，（a为常数）则f（2002）= 。解：依题得：g（-x）=f（-x-1）=f（x+1）又g（-x）=-g（x）=-f（x-1） f（x+1）=-f（x-1）故f（x）关于点（1，0）对称，又f（x）是偶函数所以f（x）也关于点（-1，0）对称，由例7知，T=4为f（x）的一个周期，故f（2002）=f（2）=f（-2）=a另外：由f（x+1）=-f（x-1）迭代有f（x+2）=-f（x）、f（x+4）=-f（x+2）=f（x）故f（x）为以4为一个周期的周期函数。注：对于一个