高中数学 专题1 数列及其数列求和教案 新人教A版必修5.doc

专题1：数列及其数列求和解读考纲（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的问题重点、考点精读与点拨一、基本知识1定义：(1) .数列：按一定次序排序的一列数(2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列(3) 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列叫做等比数列2 通项公式与前n项和公式为等差数列： 为等比数列： （q3 常用性质为等差数列，则有（1） 从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，（n1）（2）（3） 若m+n = p+q , 则：，特殊的：若m+n=2r ,则有：（4） 若则有：（5） 若（6） 为等差数列为常数)（7） 仍成等差数列（8）为等差数列，则为等差数列（p，q为常数）（9）若项数为偶数2n，若项数奇数2n1，（10）为等比数列，则有（1） 只有同号的两数才存在等比中项（2）（3） 若m+n = p+q , 则：，特殊的：若m+n=2r ,则有：（4） 为等比数列，则， ，为等比数列（）（5） 等比数列中连续n项之积构成的新数列仍是等比数列，当时，连续项之和仍为等比数列（6）二、在数列中常见问题：1、等差数列的通项公式是关于n的一次函数，（定义域为正整数集），一次项的系数为公差；等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，二次项系数为公差的一半，常数项为0. 证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：2、等差数列当首项a10且公差d0时(递减数列)，前n项和存在最大值。利用确定n值，即可求得sn的最大值（也可以用二次函数的性质或图象解）。等差数列当首项a10时（递增数列），前n项和存在最小值。3、遇到数列前n项和Sn与通项an的关系的问题应利用4、满足的数列，求通项用累加（消项）法，如：已知数列an中，a1=1,an+1=an+2n, 求an ；满足的数列，求通项用累乘（消项）法，如：已知数列an中，a1=1,an+1=an, 求an ； 三、数列求和的常用方法：(1)公式法：必须记住几个常见数列前n项和 等差数列：；等比数列： ； (2)分组求和：如：求1+1,的前n项和可进行分组即：前面是等比数列，后面是等差数列，分别求和（注：） (3)裂项法：如 ，求Sn ，常用的裂项，； (4)错位相减法：其特点是cn=anbn 其中an是等差，bn是等比 如：求和Sn=1+3x+5x2+7x3+(2n1)xn1 注意讨论x， (5)倒序求和：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。如求证：Cn0+3Cn1+5Cn2+(2n1) Cnn=(n+1)2n 名题归类例释错位相减法：例1 求数例1，3a，5a2，7a3，(2n1)an-1，(a1)的前n项和解：因 Sn=13a5a27a3(2n1)an-1， (1) (1)a得aSn=a3a25a3(2n3)an-1(2n1)an，（2）两式相减得 (1a)Sn=12a2a22a32an-1(2n1)an =2(1aa2a3an-1)(2n1)an-1 =所以:裂项求和法：例2 求和：解：， 分部求和法：例3 已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求解：首先由则倒序相加法：例4 设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：解：因为 （1） （2）（1）+（2）得 常规题型：例1已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；解： (1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4aa-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，数列b是首项为3，公比为2的等比数列，故b=32例2设二次方程x-+1x+1=0(nN)有两根和，且满足6-2+6=3(1)试用表示a；（2）例3数列中，且满足 求数列的通项公式；设，求；解：（1）由题意，为等差数列，设公差为，由题意得，.（2）若，时，故 连线高考填空题：1、（湖南卷）若数列满足：，2，3.则.解：数列满足：，2，3，该数列为公比为2的等比数列， .2、（山东卷）设为等差数列的前n项和，14，S1030，则S9.解：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意得，联立解得a1=2,d=1，所以S93、（浙江卷）设为等差数列的前项和，若,则公差为（用数字作答）。解析：设首项为，公差为，由题得4、(重庆卷) 在数列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项an=_.解析：在数列中，若， ，即是以为首项，2为公比的等比数列，所以该数列的通项.解答题：5、（北京卷）设等差数列an的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.()若a11=0,S14=98,求数列an的通项公式；()若a16，a110，S1477，求所有可能的数列an的通项公式. 解：（）由S14=98得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0,故解得d=2,a1=20.因此，an的通项公式是an=222